高二级数学圆锥曲线测试及答案.doc

（12）圆锥曲线
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．231y x -=所表示的曲线是
（ ）
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．双曲线的一部分
D ．椭圆的一部分
2．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线距离是
（ ）
A ．
55
8 B ．
5
45
C ．
33
8 D ．
33
4 3．已知椭圆
116
252
2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为
（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
4．连接双曲线122
22=-b y a x 与12222=-a
x b y 的四个顶点构成的四边形的面积为S 1，连接它们的的四个焦点
构成的四边形的面积为S 2，则S 1：S 2的最大值是 （ ）
A ．2
B ． 1
C ．
21
D ．
4
1 5．与椭圆
1251622=+y x 共焦点，且两准线间的距离为3
10的双曲线方程为 （ ）
A ．14522=-x y
B ．1452
2=-y x
C ．13
52
2=-x y
D ．13
52
2=-y x 6．设k>1，则关于x ，y 的方程(1-k) x 2+ y 2=k 2-1所表示的曲线是
（ ）
A ．长轴在y 轴上的椭圆
B ．长轴在x 轴上的椭圆
C ．实轴在y 轴上的双曲线
D ．实轴在x 轴上的双曲线
7．双曲线122
22=-a
y b x 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是
（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
2
3
8．动点P 到直线x +4=0的距离减去它到M （2，0）的距离之差等于2，则点P 的轨迹是（ ）
A ．直线
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
O
A B
C x
y 9．抛物线y =-x 2 的焦点坐标为 （ ）
A ．(0,
4
1) B ． (0, -
4
1) C ．(
4
1, 0) D ． (-
4
1, 0) 10．过抛物线x y 42
=的焦点F 作倾斜角为3
π
的弦AB ，则|AB|的值为 （ ）
A ．
73
8 B ．
3
16 C ．38 D ．73
16
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．椭圆142
2=+y m x 的一个焦点坐标是（0，1），则m= ． 12．双曲线x 2
-4
2
y =1截直线y =x +1所得弦长是 ． 13．已知抛物线y 2=2x ，则抛物线上的点P 到直线l ：x-y +4=0的最小距离是 ． 14．已知直线x - y =2与抛物线交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共76分）
15．求两焦点的坐标分别为（-2，0），（2，0），且经过点P （2，3
5
）的椭圆方程．（12分）
16．已知抛物线C 的准线为x =4
p
-
（p>0），顶点在原点，抛物线C 与直线l :y =x -1相交所得弦的长为32，求p 的值和抛物线方程．（12分）
17．已知椭圆：13
42
2=+y x 上的两点A （0，3）和点B ，若以AB 为边作正△ABC ，当B 变动时，计算△ABC 的最大面积及其条件．（12分）
18．已知双曲线经过点M （6,6），且以直线x = 1为右准线． （1）如果F （3，0）为此双曲线的右焦点，求双曲线方程； （2）如果离心率e=2，求双曲线方程．（12分）
19．设F 1，F 2为椭圆14
92
2=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|
||
||,|||2121PF PF PF PF 求
>的值．（14分）
20．已知动圆过定点P （1，0），且与定直线1:-=x l 相切，点C 在l 上． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程；
（Ⅱ）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点．
（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由；
（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围． （14分）
参考答案（12）
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
D
D
C
A
C
C
D
B
B
二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．3 12．
23
8
13．
427 14．（4，2）
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）[解析]：由题意可知，c=2，设椭圆方程为12222=+b
y a x ，则2
222=-b a ①
又点P （2，35）在椭圆上，所以1
3522
2
22
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b
a ②，
联立①②解得，52
=b 或9
202
-=b （舍去），92
=a 故所求椭圆方程是
15922=+y x 16．（12分）[解析]：由题意，可设C 的方程为
)0(2>=p px y ，C 与直线l :y =x -1相交于A 、B 两点，
由此可得01)2()1-x (1
-x y 222=++-⇒=⇒⎩⎨
⎧==x p x px px
y
)2(21p x x +=+，121=x x
所以，2212212
)()(y y x x AB -+-== 221221)]1()1[()(---+-x x x x
=221
)(2x x - ]4)[(221221x x x x -+= 8)2(22-+=p p p 822+== 2)23(
因为p>0，所以解得
132+-=p ， 故抛物线方程为x y )132(2+-=．
17．（12分）[解析]：由题意可设B （2cos θ, 3sin θ
），
则
7sin 6sin )sin 1(3cos 42222
+--=-+=θθθθAB
因为S △
ABC
=212AB ·
60sin =3·4
2
AB =
3·
4
16
)3(sin 2++-θ
所以当θsin =-1时，即B 点移动到（0，-3）时，△ABC 的面积最大，且最大值为33．
18．（12分）[解析]：（1）设P （x ，y ）为所求曲线上任意一点，由双曲线定义得
1
6)06()36(161)0()3(12
222--+-=
-=--+-=-=MF x y x x PF
e =
3
化简整理得16
32
2=-y x （2）a b b a c a c a
c
e 3,,22222=∴+==⇒==
又 因此，不妨设双曲线方程为132
2
22=-a
y a x ， 因为点M （
6,6）在双曲线上，所以
136
622=-a
a ，得42=a ，122=
b 故所求双曲线方程为
112
42
2=-y x 19．（14分）[解析]：由已知得52||,6||||2121==+F F PF PF ． 根据直角的不同位置，分两种情况
若20|)|6(||,||||||,902121221222112+-=+==∠PF PF F F PF PF F PF 即则
解得2
7||||34
||,314||
2121=∴==
PF PF PF PF 若2121222122121|)|6(||20.||||||,90PF PF PF PF F F PF F -+=+==∠即则
解得2|
||
|2
||4||2121
=∴
==PF PF PF PF ． 20．（14分）[解析]：（Ⅰ）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，
所以曲线M 的方程为x y 42=．
O
A B
C x
y
（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨
⎧=--=--=x
y x y x y 4)
1(3)1(32由消y 得
.3,3
1
,03103212===+-x x x x 解得
所以A 点坐标为)332,
31(，B 点坐标为（3，32-），.3
16
2||21=++=x x AB
假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形， 则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=-++=+++2
22222)316()32()13
1(,)316()32()13(y y 由①－②得,)3
32()34()32(42222-+=++y y
.9
3
14-
=y 解得 但9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解．
因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形． （ii ）解法一：
设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由321
)1(3=⎩⎨
⎧-=--=y x x y 得，
即当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，故32≠y ．
又22223
34928)332()311(||y y
y AC +-=-+--=，
22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9
256
)316(||22=
=AB ． 当222||||||AB AC BC +>，即9
256
334928342822+
+->++y y y y ， 即CAB y
∠>
,39
2
时为钝角． 当222||||||AB BC AC +>，即9
256
342833492822+
++>+-y y y y ， 即CBA y ∠-<时33
10为钝角．
又222||||||BC AC AB +>，即2234283
349289256y y y y ++++->， 即0)3
2(,0343342
2<+<++
y y y ． 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角． 因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9
323
310≠>-<y y y 或． 解法二：
以AB 为直径的圆的方程为222)3
8()332()35(=++-y x ．
① ②
圆心)33
2
,3
5(-
到直线1:-=x l 的距离为38，
所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G )3
3
2,1(-
-． 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G
点不重合，且A ，B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角． 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角． 过点A 且与AB 垂直的直线方程为9
3
21).31(33332=
-=-=-
y x x y 得令． 过点B 且与AB 垂直的直线方程为)3(33
32-=
+x y ． 令33
101-
=-=y x 得． 又由321
)
1(3=⎩⎨
⎧-=--=y x x y 解得，所以，当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共 线，不构成
三角形．
因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵y 的取值范围是).32(9
323310≠>-<y y y 或。