北京海淀区高三理科数学一模试题.doc

高三第二学期期中练习 数 学（理科）
20XX ．5
学校________________ 班级_______________姓名_________________
参考公式:
三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=
l c c S )(2
1
/+=台侧， 其中/
c 、c 分别表示上、下底面周长，l 表
)]sin()[sin(21
sin cos βαβαβα--+=
示斜高或母线长 )]cos()[cos(21
cos cos βαβαβα-++= 台体的体积公式
)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-= h S S S S V ）（台体++=//3
1
其中S /、S 分别表示上、下底面积，h 表示高
一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 函数y =
x
x --2)1(log 2的定义域是 ( )
(A) (1,]2 (B) (1, 2) (C) (2, +∞) (D) (-∞,2)
(2) 极坐标系内，点（2,
2
π
）关于直线 1cos =θρ 的对称点坐标为 ( ) (A) (4,22π) (B) (2, 4
π
) (C) (0, 0) (D) (2, 0)
(3) 直角梯形ABCD 中，AB//DC, AB = 2CD, ∠A = 45
, AD = 2. 以直线AB 为轴将梯形ABCD 旋转一周所得旋转体的体积为 ( )
B
D
A C
(A)
π328 (B)π3
4
(C) π3210 (D) π24 (4) 已知复数i z +=1，复数23-+=z z ω，那么ω的三角形式为 （ ）
(A) 2)4sin 4(cos
2ππ
i + (B) 2)43sin 43(cos 2π
πi + (C) 2)45sin 45(cos 2ππi + (D) 2)4
7sin 47(cos 2π
πi +
(5) 函数y = cosx (-π< x < 0) 的反函数为 ( )
(A) y = arccosx (-1 < x < 1) (B) y = - arccosx (-1 < x < 1) (C) y = -π+ arccosx (-1 < x < 1) (D) y =π- arccosx (-1 < x < 1)
(6) 将正方体的纸盒展开(如图)，直线AB, CD 在原正方体中的位置关系是 ( ) (A) 平行 (B)垂直 (C) 相交且成60
角 (D) 异面且成60
角
(7)从7人中选出5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（ ）
（A ）5551057P P C 种 （B ）5551057P C P 种 （C ） 57510C C 种 （D ）5
1057P C 种
(8) 已知a, b 是直线，γβα,,,是平面，给出下列命题：①b a a =βαβα ,//,//，则b a //；②γβγα⊥⊥,,则βα//；③b a b a ⊥⊥⊥,,βα,则βα⊥；④αγββα⊥a ,//,//，则γ⊥a . 其中正确命题的序号是 ( )
(A) ①②④ (B) ①③④ (C) ②④ (D) ②③
（9）等比数列{a n }公比为q, 则“a 1 > 0, 且q > 1”是“对于任意自然数n, 都有a n+1 > a n ”的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
（10）已知f (x )是奇函数，定义域为{x | x ∈R, x ≠0}. 又f (x )在区间(0, +∞)上是增函数，且f (-1) = 0, 则满足f (x) > 0的x 的取值范围是 ( ) (A) (1, +∞) (B) (0, 1) (C) (-1, 0) (1, +∞) (D) (-∞, -1) (1, +∞)
（11）若不论k 为何值，直线y = k(x – 2) + b 与曲线x 2 – y 2 = 1总有公共点，则b 的取值范围是 ( )
(A) )3,3(- (B) []3,3- (C) (-2, 2) (D) [-2, 2]
（12）在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛（每两队之间赛两场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.积分多的前两名可出线（积分相等则要比净胜球数或进球总数）.赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为 （ ） (A) 22 (B) 23 (C) 24 (D) 25
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上. (13) 若 (x +x )n 的展开式中第三项系数为36，则自然数n 的值是_________. (14) 若集合{(x, y )| x + y – 2 = 0且x – 2y + 4 = 0}⊂{(x, y )| y = 3x + b }, 则b = _________ . (15) 现有两个定值电阻,串联后等效电阻值为R,并联后等效电阻值为r.若R=k r ,则实数k 的 取值范围是 ________________.
(16) 已知函数f (x) = |x 2 –2ax + b | (x ∈R).给出下列命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0) = f (2)时f (x )的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2
–b < 0，则f (x )在区间[a , +∞)上是增函数；④f (x )有最大值|a 2
–b |. 其中正确命题的序号是___________________ .
三.解答题:本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分12分) 已知3)2
(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++
=θ
θθ
x x x x f . （I ）化简)(x f 的解析式;
（II ）若πθ≤≤0,求θ使函数)(x f 为偶函数;
（III ）若)(x f 为偶函数, 求满足)(x f =1,],[ππ-∈x 的x 的集合.
(18) (本小题满分12分)
解关于x 的不等式:]1)2([log )1(log 42+->-x a x (1>a )
(19) (本小题满分12分)
如图所示，正四棱锥P-ABCD 中,侧棱PA 与底面ABCD 所成角的正切值为2
6. （I ）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小 ;
(II) 若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值; (III) 在侧面PAD 上寻找一点F, 使EF ⊥侧面PBC.试确定F 点的位置, 并加以证明.
B
C
P
D
E
(20) (本小题满分12分)
矩形ABCD 的顶点A 、B 在直线m x y +=2上,C 、D 在抛物线x y 42
=上,该矩形的外接圆方程为042
2
=---+t y x y x .
(I)求矩形ABCD 对角线交点M 的坐标; (II)求此矩形的边长,并确定t m ,的值.
(21) (本小题满分12分)
这是一个计算机的程序的操作说明： (1)初始值x = 1，y = 1, z = 0, n = 0；
(2) n = n + 1 （将当前n + 1的值赋予新的n ）； (3) x = x + 2（将当前x + 2的值赋予新的x ）； (4) y = 2y （将当前2y 的值赋予新的y ）； (5) z = z + xy (将当前z + xy 的值赋予新的z ); (6)如果z > 7000，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行； (7)打印n, z ； (8)程序终止.
由语句（7）打印出的数值为______,_______. 以下写出计算过程：
(22) (本小题满分14分) 已知函数x
x
a x f 22)(-
=. (I)将)(x f y =的图象向右平移两个单位,得到函数)(x g y =,求函数)(x g y =的解析式; (II)函数)(x h y =与函数)(x g y =的图象关于直线1=y 对称,求函数)(x h y =的解析式. (III)设)()(1
)(x h x f a
x F +=,已知)(x F 的最小值是m 且72+>m ,求实数a 的取值范围.
高三数学期中练习（理科）参考答案
20XX ．5
一．选择题（每小题5分，共60 分）
(1) B (2) A (3) A (4) D (5) B (6) D (7) D (8) B (9) A (10) C (11) B (12) C
二．填空题 (每小题4分，共16分)
(13) 9 (14) 2 (15) [4, +∞﹚ (16) ③
三.解答题
(17) 本小题满分12分
解：(I) ]1)2
(cos 2[3)2sin()(2
-+
++=θ
θx x x f 2分
=)]2cos(3)2sin(θθ+++x x 4分 =)6
2cos(2π
θ-
+x
（或)3
2sin(2)(π
θ++=x x f 6分
（II ） 当6
π
θ=
时,)(x f 为偶函数. 8分
(III) 由2
1
2cos ,12cos 2,1)(=∴=∴=x x x f 10分 .6
65],,[ππππ±=±
=∴-∈x x x 或 ∴所求x 的集合是=x x {}.6
65π
π±=±x 或 12分
（18）本小题满分12分
解：原不等式可化为]1)2([log )1(log 222+->-x a x 1分
原不等式成立的必要条件是⎩⎨⎧>+->-.01)2(,01x a x ⇔⎪⎩
⎪
⎨
⎧->>.12,1a x x 3分 由 1>a 且 0111)12(>-=--a a , 故 .1
2a
x -> 5分
∴原不等式等价于⎪⎩⎪
⎨⎧
+->-->.
1)2()1(,122
x a x a
x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧
>--->.
0)2)((,
12x a x a
x 7分 若,21<<a 则⎪⎩⎪⎨⎧
><-
>2
12x a x a x 或
又0)1()12(2<--=
--a a a a ， ∴a a
<-1
2. 9分 ∴21
2><<-
x a x a
或. 若2=a , 则 ⎪⎩⎪⎨⎧≠>.
2,
2
3x x ∴23>x 且.2≠x 10分 若a >2,则⎪⎩⎪⎨⎧><->.
2,
12a x x a
x 或 ∵ 2>2-a 1, ∴ 21
2或<<-
x a
a x >. 12分 综上,当1< 2<a 时 ,不等式的解集是{x 1
2或a x a
<<-2>x }
当 2=a 时 , 不等式的解集是{
x
23
>
x 且2≠x } 当 a >2时 , 不等式的解集是{x 21
2或<<-x a
a x >}
(19) 本小题满分12分
D
O
C
P
G F B
M E
解：(Ⅰ) 连结AC,BD 交于O,连结PO. ∵P-ABCD 为正四棱锥, ∴PO ⊥底面ABCD.
作PM ⊥AD 于M,连结OM, ∴OM ⊥AD.
∴ ∠PMO 为侧面PAD 与底面
ABCD 所成二面角的平面角. 2分 ∵ PO ⊥底面ABCD,
∴ ∠PAO 为PA 与底面ABCD 所成的角.
∴tg ∠PAO=
26. 设AB=a , ∴ AO=
,22a MO=2
a
. ∴PO=
26⨯a a 2322=. ∴tg ∠PMO=3=MO
PO .
∴ ∠PMO=
60，即侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为
60. 4分 (Ⅱ) 连结EO,∵E 为PB 的中点，O 为BD 的中点，∴EO//PD.
∴∠AEO 为异面直线AE 与PD 所成角 6分 ∵ Rt △PAO 中, AO=
,22a PO=,23a ∴PA=a 2
5. ∴EO=
2
1
PD=a 45.由AO ⊥截面PDB,可知AO ⊥EO. 在Rt △AOE 中 tg ∠AEO=
105
2
=EO AO . 即异面直线AE 与PD 所成角的正切值是105
2
. 8分
(Ⅲ) 延长MO 交BC 于N,连结PN,取PN 中点G ,连结EG,MG .
∵P-ABCD 为正四棱锥且M 为AD 的中点, ∴N 为BC 中点. ∴BC ⊥MN,BC ⊥PN. ∴BC ⊥平面PMN. ∴平面PMN ⊥平面PBC.
∵PM=PN, ∠PMN=
60,∴△PMN 为正三角形, ∴MG ⊥PN, ∴MG ⊥平面PBC. 取AM 中点为F,连结FE, 则由EG//MF 且EG=MF 得到MFEG 为平行四边形,
∴FE//MG. ∴FE ⊥平面PBC. 12分 (20) 本小题满分12分
解: (I)∵M 是矩形外接圆的圆心,外接圆的方程为4
17)2()2
1(2
2+=-+-t y x ∴ M 点坐标为(
)2,2
1
. 3分 (II) ∵CD//AB, ∴可设CD 的直线方程为n x y +=2.
与抛物线方程联立,消x ,得0222
=+-n y y (*) 设弦CD 的中点为N,则2
2122,12n
n y x y y y N N D C N -=-==+=
. 由MN ⊥CD,得
21-=--N M N M x x y y ,即 21
2
1-=n ,解得4-=n . 6分
由方程(*),684=-=-n y y D C ,
53)()(22=-+-=
D C D C x x y y CD 8分
N 点坐标为（
)1,25，N 关于M 的对称点是N /坐标为（-)3,2
3
， N /
在直线AB 上，代入方程可得.6=m 10分 M 点到CD 的距离为,55
4
21=--=
MN ∴522==MN AD . 圆半径r 满足,4
65
||||2
2
2
=
+=NC MN r ∴.12=t 12分 即此矩形的分别边长为.12,6,52,53==t m (21) 本小题满分12分
解: 设n= i 时,x ,y ,z 的值分别为i i i z y x ,,,.
依题意,.2,110+==-n n x x x ∴{}n x 是等差数列, 12+=n x n . 2分
.2,110-==n n y y y ∴{}n y 是等比数列, n
n y 2=. 4分
.,010n n n n y x z z z +==- 5分 ∴n n n y x y x y x z +++= 2211=n
n 2)12(2725233
2
⋅+++⋅+⋅+⋅ ∴=n z 21
4
3
2
2
)12(2)12(272523+⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅n n
n n
以上两式相减,得 z n =1
3
2
2)12(22222223+⋅++⋅--⋅-⋅-⋅-n n
n
=22)12(2)12(22
112
+⋅-=⋅+++-+++n n n n n 9分
依题意,程序终止时：7000,70001≤>-n n z z ，
即⎩
⎨⎧≤+->+-+.700022)32(,700022)12(1n
n n n 可求得7682,8==z n . 12分 (22) 本小题满分14分 解: (I) 2
2
2
2
)2()(---
=-=x x a x f x g . 2分
(II) 设)(x h y = 图象上一点P ),(y x ,
点P 关于1=y 的对称点为Q )2,(y x -, 4分 由Q 在)(x g y =的图象上, ∴y a x x -=-
--22
22
2
, 于是-=2y 2
2
2
2
--+
x x a , 即 =)(x h -22
2
2
2
--+x x a . 7分
(III) 2)21
)(14(2)411(244222
121)(+-+-=+-
+-=x x x x x x a a a a x F . 8分 (1) 当0<a 时,
04
1
1<-a , ,014<-a 由x
x )2
1(,2值域是),0(+∞,可得,2)(<x F 这与72)(+>≥m x F 矛盾;
(2) 当410≤
<a 时, 04
1
1>-a ,,014≤-a )(x F 是(-+∞∞,)上的增函数, 设,)(0m x F =则当0x x <时, ,)(m x F <这与已知矛盾. (3) 当4≥a 时,
04
1
1≤-a ,,014>-a )(x F 是(-+∞∞,)上的减函数, 设,)(0m x F =则当0x x >时, ,)(m x F <这与已知矛盾. 11分 由(1),(2),(3)可知,
.441<<a 此时04
1
1>-a ,,014>-a
24)14)(4(22)21)(14(2)411(
2)(+--=+--≥a
a a a a x F x x , 当且仅当x x a a )2
1
)(14(2)411(
-=-,即a
a a x --=4)
14(42时,
)(x F 取得最小值 24)
14)(4(2
+---=a
a a m .
由72+>m 及441<<a 得⎪⎩
⎪⎨
⎧<<>--,441,47
4)14)(4(a a a a 解得, 22
1
<<a . 14分
说明:其它正确解法按相应步骤给分.。