2020届甘肃省天水市第一中学高三上学期第四次段考数学(文)试题(解析版)

2020届甘肃省天水市第一中学高三上学期第四次段考数学
（文）试题
一、单选题
1．设集合{|A x y ==，{|(1)(3)0}B x x x =+-<，则()
R A B =I ð（ ）
A ．[1,3)
B ．(1,3)
C ．(1,0][1,3)-U
D ．(1,0](1,3)-U 【答案】B
是函数的定义域，B 是不等式的解集，分别求出后再由集合的运算法则计算． 解：
由题意{|10}{|1}A x x x x =-≥=≤，{|13}B x x =-<<，
{|1}R C A x x =>，
∴(){|13}(1,3)R C A B x x =<<=I ．
故选：B ．
本题考查集合的运算，解题时需先确定集合,A B 中的元素，然后才可能利用集合运算法则计算．
2．以下四个命题：
①“若x y =，则22x y =”的逆否命题为真命题
②“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 ③若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题
④对于命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，则p ⌝为：x R ∀∈，210x x ++≥
其中真命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】C
①由原命题与逆否命题同真同假即可判断；
②由函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”，则1a >，即可判断； ③由若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题即可判断出正误；
④由p ⌝的定义即可判断出正误；
解：
对于①，由于原命题“若x y =，则22x y =”为真命题，即逆否命题也为真命题，故
①对；
对于②，“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”为真命题，但“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”，则1a >，故②对；
对于③，若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题即可，故③错；
对于④， 对于命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，由p ⌝的定义可知p ⌝：x R ∀∈，
210x x ++≥，故④对；
故选：C
本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
3．已知0.3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
【答案】B
分析：分别判断出a ，b ，c 的大致范围，即可比较出它们的大小.
详解：0.3log 20a =<，0.121b =>，sin 789sin 6901c c ︒︒==⇒<<. b c a ∴>>.
故选：B.
点睛：(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
4．函数f (x )=Asin (ωx +φ)，（A ，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则f (x )=（ ）
A ．()243f x sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
B ．()243f x sin x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
C ．()4823
9f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()48239f x sin x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ 【答案】A
由图知，得到A =2，3
274324
T ππ=-，求出T ，根据周期公式求出ω，又y = f (x )的图象经过7,224π⎛⎫-
⎪⎝⎭，代入求出φ，从而得到解析式()2sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭． 解： 由图知，A =2，3274324T ππ=
-，又ω＞0， ∴T =2πω=2
π，∴ω=4， 又y = f (x )的图象经过7,224π⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ∴7342242
k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ， ∴φ=2k π+
3
π，k ∈Z ， 又|φ|＜π，∴φ=3π， ∴()2sin 43f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
. 故选：A ．
本题考查由y =A sin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查识图能力与运算能力，属中档题．
5．已知F 1、F 2为椭圆22
1259
x y +=的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若2212F A F B +=，则|AB |= ( )
A ．6
B ．7
C ．5
D ．8
【答案】D
运用椭圆的定义，可得三角形ABF 2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB 的长． 解： 椭圆22
259
x y +=1的a=5， 由题意的定义，可得，|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a ，
则三角形ABF 2的周长为4a=20，
若|F 2A|+|F 2B|=12，
则|AB|=20﹣12=8．
故答案为D
本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．
6．定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时，()20192019log x f x x =+，则函数()
f x 的零点的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
【答案】C
当0x >时，先利用零点判定定理进行判断，然后结合奇函数的性质进行判断即可． 解：
当0x >时，2019()2019log x f x x =+，
结合指数与对数函数的单调性可知2019()2019log x f x x =+，在(0,)+∞上单调递增， f Q （1）0>，0x →时，()0f x <， 则()f x 在(0+)∞，
上有唯一的零点， 因为奇函数()f x 的图象关于原点对称，故当0x <时也有唯一零点，且(0)0f =， 综上可得，程()0f x =的实根个数为3个.
本题主要考查了函数零点个数的判断，考查了指数对数函数的图象性质，零点判定定理及奇函数性质的应用是求解的关键．
7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b =1，
a b c b -+=sinC sinA sinB sinC
+-，若A =2B ，则△ABC 的周长为（ ） A ．3
B ．4 C
．2+ D
．3+【答案】D
由正弦定理化简已知可得b 2+c 2-a 2=bc ，利用余弦定理可求cos A =12
，结合范围A ∈(0，π)，可求A ，根据已知可求B ，利用三角形内角和定理可求C ，根据正弦定理可求a ，c 的值，即可得三角形的周长．
解： ∵
a b c b -+=sinC sinA sinB sinC
+-， ∴由正弦定理可得a b c b -+=c a b c +-，整理可得b 2+c 2-a 2=bc ， ∴cos A =2222b c a bc
+-=2bc bc =12， ∵A ∈(0，π)，∴A =
3π， ∵A =2B ，∴B =6π，C =π-A -B =2
π， ∵b =1，∴1362
a
c sin sin sin π
π
π==，解得a
，c =2，
∴△ABC
的周长为3a b c ++=+
故选D ．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属基础题．
8．已知0,
0a b >>，若不等式313n a b a b +≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A ．9
B ．12
C ．16
D ．20
【答案】C
可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可
Q 0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭
，()31333339110216b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭
，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤
故选：C
本题考查基本不等式求最值，属于基础题
9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（ ）
A ．22
B ．3
C ．5
D ．2
【答案】B
根据三视图还原出三棱锥的直观图，求出三棱锥的各个侧面面积即可求出侧面面积的最大值。

解：
由三棱锥的三视图可知，三棱锥的直观图（如下图）P ABC -，可在边长为1的正方体中截取，
由图可知，112CP =+=112AP =+=112AC =+=
所以侧面1222ABP S AB AP ∆=⋅⋅=， 侧面1222
BCP S BC CP ∆=⋅⋅=， 侧面13sin 2ACP S AC CP ACP ∆=
⋅⋅∠= 故侧面的面积最大值为
32
故选：B
本题考查三视图还原直观图，考查学生的空间想象能力，属于中档题。

10．函数cos x x
y e =的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
根据函数为偶函数去掉A,B ，再根据函数值去掉C.
解：
令()cos x x
f x e =，则()()f x f x -=，函数为偶函数，排除AB 选项；
当x →+∞时，
110x x e e =→，而[]cos 1,1x ∈-，则()cos 0x x f x e
=→， 排除选项C . 本题选择D 选项.
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
11．已知双曲线()222210,0x y a b
a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H ，且224PF F H =，则此双曲线的离心率为（ ）
A ．263
B ．43
C ．13
D ．53
【答案】D 利用2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H 可求出H 的坐标，再利用224PF F H =求出P 的坐标（用,,a b c 表示），将P 的坐标代入双曲线的方程后可求离心率. 解：
双曲线的渐近线为b y x a =±
，取一条渐近线为b y x a
=， 则直线()2:a a ac F H y x c x b b b =--=-+， 由a ac y x b b b y x a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2a x c ab
y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，故2,a ab H c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为224PF F H =，故224PF F H =-u u u u r u u u u r ，从而()2,4,p p a ab c x y c c c ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭
， 所以2
434p p a x c c ab
y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，将P 的坐标代入双曲线的方程可以得到：
22
222
4431a ab c c c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，化简可得29250e -=，所以53e =， 故选D.
圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．
12．已知函数32
()631f x ax x x =+-+在区间(1,2)上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(],3-∞-
B ．7,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
C ．73,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
D ．7,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
【答案】A
题目条件等价于只需2()31230f x ax x '=+-≤在区间(1,2)上恒成立即可，转化为根据不等式恒成立求参数范围，利用分离参数求解.
解：
由题：函数32
()631f x ax x x =+-+在区间(1,2)上是减函数， 2()3123f x ax x '=+-，不可能为常数函数，
只需2()31230f x ax x '=+-≤在区间(1,2)上恒成立即可， 即()214,1,2a x x x ≤-∈，令11,,12t t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
， 只需214,,12a t t t ⎛⎫≤-∈ ⎪⎝⎭
恒成立， 217,1,43,24t t t ⎛⎫⎛⎫∈-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 所以(],3a ∈-∞-.
故选：A
此题考查根据函数的单调性求参数的范围，转化为处理导函数的关系，解决不等式恒成立求参数范围的问题.
二、填空题 13．已知向量()1,2a =-r ，3b =r ，7a b -=r r ，则|
a b +=r r ______.
【答案】3.
先通过7a b -=r r 及()1,2a =-r ，3b =r 求出a b ⋅r r 的值，
再由2222a b a b a b +=++⋅r r r r r r 即可求得a b +r r .
解：
∵7a b -=r r ，∴2227a b a b +-⋅=r r r r ，25a =r ，23b =r ，∴21a b ⋅=r r ，
∴22229a b a b a b +=++⋅=r r r r r r ，∴3a b +=r r .
故答案为：3.
本题主要考查平面向量的运算问题，综合性稍强，属基础题.
14．已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
且2z x y =-的最大值为_____．
【答案】3
画出不等式组对应的可行域，平移动直线20x y z -+=可得z 的最大值． 解：
不等组对应的可行域如图所示，
当动直线20x y z -+=过A 是z 有最大值，由2250y x y =⎧⎨
+-=⎩ 得12
x y =⎧⎨=⎩，故()1,2A ，此时max 3z =，填3．
二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍 ，而
2
1
y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率． 15．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2
＋y 2
－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|＝________. 【答案】6
求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l ：x +ay ﹣1＝0经过圆C 的圆心（2，1），求得a 的值，可得点A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB |的值． 解：
∵圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2 ＝4， 表示以C （2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l ：x +ay ﹣1＝0经过圆C 的圆心（2，1）， 故有2+a ﹣1＝0，∴a ＝﹣1，点A （﹣4，﹣1）． ∵
AC ==
，CB ＝R ＝2， ∴切线的长|AB
|==6．
故答案为6．
本题主要考查圆的切线长的求法，直线和圆相切的性质的合理运用，关键由圆的对称轴可知直线经过圆心求出a 值.
16．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2
x y e -=的切线，则k =________.
【答案】1或
1
e
分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案。

解：
设y kx b =+与ln y x =和2
x y e -=的切点分别为12
122(,),(,ln )x x e x x -，由导数的几何意
义可得12
2
1x k e
x -==
，曲线在2
x y e -=在点121(,)x x e -处的切线方程为11221()x x y e e x x ---=-，即11221(1)x x y e x x e --=+-，曲线ln y x =在点22(,ln )x x 处
的切线方程为222
1
ln ()y x x x x -=
-，即221ln 1y x x x =+-，则
11222121
(1)ln 1
x x e
x x e x --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩
，解得21x =，或2
x e =，所以1k =或1e 。

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题。

三、解答题
17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312S =，6919a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2
3
n a n b n -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）2n a n =+；（2）1233
2
n n n n T +++-=.
（1）先求出13,1a d ==，即得数列{}n a 的通项；（2）利用分组求和求出数列{}n b 的前n 项和n T . 解：
（1）由题得1111
12125819a a d a d a d a d ++++=⎧⎨+++=⎩，
解之得13,1a d ==，
所以3(1)12n a n n =+-⨯=+， 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =+.
（2）由题得3n
n b n =+，
所以数列{}n b 的前n 项和n T 1
2
3
(3333)(123)n
n =+++++++++L L ，
所以123(13)333
(1)(31)(1)132222
n n n n n n n n T n n +-++-=++=-++=
-.
本题主要考查等差数列的通项公式基本量的计算，考查等差数列的通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．已知向量sin 2,sin 6m x x π⎛⎫⎛
⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
v ，()1,sin n x =v ，()f x m n =⋅u r r .
（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；
（2）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若122B f ⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
，
b c ==a 的值．
【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间为3[,],4
4
k k k Z π
π
ππ+
+
∈；（2）
1a =+1a =-+（1）由向量的数量积的运算公式和三角恒等变换的公式化简可得
()1
222
f x x =
+，再结合三角函数的性质，即可求解．
（2）由（1），根据1
()22B
f =
，解得sin 3
B =，利用正弦定理，求得sin 5
C =，
再利用余弦定理列出方程，即可求解． 解：
（1）由题意，向量(sin(2),sin )6
m x x π
=+
v ，()1,sin n x =v
，
所以()21(1cos 2)
sin(2)sin sin 2cos 26222x x x x f x m n x π-++=++
=⋅=u r r
1
22
x =
+， 因为2ω=，所以函数的最小正周期为2T π
πω
==，
令
3222,22k x k k Z π
πππ+≤≤
+∈，解得3,44
k x k k Z π
π
ππ+≤≤+∈，
所以函数的单调递减区间为3[,
],44
k k k Z ππ
ππ++∈．
（2）由（1）函数的解析式为()1222
f x x =
+，
可得11
()222B
f B =
+=，解得sin 3
B =，
又由b c ==sin sin c B C b =
=
因为b c >，所以B C >，所以C 为锐角， 所以221015cos 1sin 1(
)5C C =-=-=， 由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，可得23523a a =+-， 即22320a a -+=，解得31a =+或31a =-．
本题主要考查了向量的数量积的运算，三角恒等变换的应用，以及正弦定理和余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解. 19．如图，ABCD 是平行四边形，AP ⊥平面ABCD ，//BE AP ，2AB AP ==，
1BE BC ==，60CBA ∠=o .
（1）求证：//EC 平面PAD ； （2）求四面体B ACE -的体积. 【答案】（1）见解析；（23（1）由已知条件推导出平面//BCE 平面PAD ,由此能证明//EC 平面PAD ; （2）利用等体积法,根据椎体体积公式算出B ACE -的体积. 解：
（1）证明：//BE AP Q ，BE ⊄平面PAD ，AP ⊂平面PAD
//BE ∴平面PAD .同理可证//BC 平面PAD . BC BE B =Q I ，∴平面//BCE 平面PAD .
EC ⊂Q 平面BCE ，//EC ∴平面PAD ·
（2）PA ⊥Q 平面ABCD ，//BE AP ，BE ABCD ∴⊥平面 即BE ABC ∴⊥平面，B ACE E ABC V V --∴=·
在ABC ∆中，2AB =，1BC =，60ABC ∠=o
11sin 212222
ABC S AB BC ABC ∆∴=
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=
·
1113326
E ABC ABC V S BE -∆=⋅=⨯=
故四面体B ACE -
的体积为6
本题求证线面平行并求三棱锥的体积,着重考查了空间直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定与性质和椎体的体积公式等知识,属于中档题.
20．已知抛物线()2
:20E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、
()22,B x y 两点，满足124y y =-.
（1）求抛物线E 的方程；
（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求2212
11
k k +的最小值.
【答案】（1）2
4y x =；（2）
92
. （1）设直线AB 的方程为2
p
x my =+
，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立，消去x ，利用韦达定理并结合条件124y y =-可求出实数p 的值，由此得出抛物线E 的方程；
（2）由（1）得出直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线E 的方程联立，
并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出
2212
11k k +关于m 的表达式，可得出2212
11k k +的最小值. 解：
（1）因为直线AB 过焦点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设直线AB 的方程为2p x my =+，
将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px ⎧
=+⎪
⎨⎪=⎩，消去x 得
2220y mpy p --=，
所以有2124y y p =-=-，0p >Q ，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程2
4y x =；
（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+，
联立抛物线的方程2
440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，
则有1113m k y =+，22
13m k y =+， 因此22
2
22221212121211331111=269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()22
1212222122212122484926926954162
y y y y m y y m m m m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅
=+-.
因此，当且仅当0m =时，22
1211k k +有最小值92
.
本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题. 21．(本小题满分12分)
已知函数()2
2ln f x x ax x =-+（其中a 是实数）．
（1）求的单调区间；
（2）若设
，且
有两个极值点1x 2x ，12x x <，求()()
12f x f x -取值范围．（其中e 为自然对数的底数）．
【答案】（1）详见解析（2）221804,4ln39e e ⎛⎫--- ⎪⎝⎭
，
解：试题分析：(1)求出()f x 的定义域()0,+∞，()2´
222
2x ax f x x a x x
-+=-+=，
由此利用导数性质和分类讨论思想能求出()f x 的单调区间.
(2)推导出()()21211211
4f x f x x lnx x -=
-+，令()2214h x x lnx x
=-+，1(x )2e <<，则()()
2
2´3
210x h x x --=<恒成立，由此能求出()()12f x f x -的取值
范围
试题解析：（1）()2
2f x x ax lnx =-+Q (其中a 是实数)，
()f x ∴的定义域()0,+∞，()2´
222
2x ax f x x a x x
-+=-+=，
令()2
22g x x ax =-+，n =2a -16,对称轴x 4
a
=
，()02g =， 当n =2
a -16≤0，即-44a ≤≤时，()´
0f x ≥，
∴函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间，
当n =2a -16>0,即4a <-或4a 时，> 若4a <-，则()´
0f x >恒成立，
()f x ∴ 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间．
若a >4，令()´
0f x =，得
1x =2164a a --，2x =2
164
a a +-，
当x ∈(0,1x )U (2x ,+)∞时，()´0f x >，当x ∈（12x x ，）时，()´
0f x <
()f x ∴的单调递增区间为（0，1x ），（2x +∞，），单调递减区间为（12x x ，）
综上所述当4a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间，
当4a >时，()f x 的单调递增区间为（0，1x ）和（2x +∞，），单调递减区间为（12x x ，）
(2)由(1)知，若()f x 有两个极值点，则a >4，且1202
a
x x +=
>，121x x =，1201x x ∴<<<又211220x ax -+=Q ，111a 2x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，12023e a e ⎛
⎫+<< ⎪⎝⎭，
11111
33
e x e x +
<+<+， 又101x <<，解得
111
3x e
<<，
令()2
214h x x lnx x =-+，1(x )2e << 则()()
2
2´3
210x h x x --=<恒成立
()h x ∴在113e ，⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减，()113
h h x h e ⎛⎫
⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即()()2
1221804439
e f x f x ln e -
-<-<- 故()()12f x f x -的取值范围为2
2180(443)9
e ln e ---，
点睛：在含有参量的导数求单调区间需要进行分类讨论，将所有的情况讨论完整．在求范围时往往要把参量消去，然后根据范围求出结果．
22．在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()22
2:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN
∆的面积．
【答案】(1)cos 2ρθ=-,2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)
12
． 试题分析：（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得
cos 2ρθ=-，22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）将4
π
θ=
代入
22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=得1222,2ρρ== 所
以2MN =
1
2
.
试题解析：
（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，
2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=
（2）将4
π
θ=
代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=
得23240ρρ-+=得1222,2ρρ== 所以2MN =
因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积为111sin 4522
⨯=o 【考点】坐标系与参数方程.
23．设函数()|||1|5()f x x m x m R =-++-∈． （1）当2m =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()2f x ≥-，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）(,2][3,)-∞-⋃+∞ （2）(,4][2,)-∞-+∞U
（1）利用零点分段讨论法，把绝对值符号去掉可得解集； （2）先求()f x 的最小值，然后求解绝对值不等式即可. 解：
（1）当2m =时，()|2||1|5f x x x =-++-．
当1x ≤-时，()(2)(1)50f x x x =---+-≥，解得2x -≤； 当12x -<<时，()(2)150f x x x =--++-≥， 无解．
当2x ≥时，()2150f x x x =-++-≥， 解得3x ≥；
综上，原不等式的解集为(,2][3,)-∞-⋃+∞．
（2）∵()|||1|5|()(1)|5f x x m x x m x =-++-≥--+- |1|52m =+-≥- 当且仅当()(1)0x m x -+≤等号成立 ∴|1|3m +≥，
∴13m +≥或13m +≤-， 即2m ≥或4m ≤-，
∴实数m 的取值范围是(,4][2,)-∞-+∞U ．
本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的求解一般转化为分段函数求解，不等式有关的最值常用a b a b a b +≥±≥-来实现，侧重考查数学运算的核心素养.。