直线与平面垂直的课件

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棱台体积公式推导(棱台的高就是两底面间的距离)
例4 推导棱台的体积公式
V棱台
1 3
(S
SS S )h (S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高)
证明：如图示,设PO
'
h,OO '
h,则
h
h h
S ，∴h S
S h. S S P
∴V棱台 VP ABCD VP ABCD
证明线面垂直的方法 ③ a // b,a b
④ 串串
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证明线线垂直方法
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求斜线和平面所成的角的一般步骤：
1．作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足 和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为 斜线和平面所成的角；
2．证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角； （注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影）
若a⊥α，β // α， 则直a⊥线βa．与平面β有怎样的位置关系？
探究新知 6. 直线与平面垂直的性质 性质1：若a⊥α，m⊂α，则a⊥m. 性质2：(直线与平面垂直的性质定理)
垂直于同一平面的两条直线平行.
a⊥α b⊥α
a//b
性质3：若a⊥α，c α，且c⊥a，则c//α.
“串串” 性质4：若α//β，l⊥α，则l⊥β.
a⊥α b⊥α
a//b
线面垂直线线平行
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问题6目前为止，我们都学习了哪些证明直线与直线平行的方法？
证明线线平行常用的方法 （1）线线平行定义：证共面且无公共点． （2）基本事实4（平行的传递性）：证两线同时平行于第三条直线. （3）线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． （4）线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. （5）面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
是否有类似的性质呢?
（1）如图①，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直 线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系? 互相平行平行
（2）如图②，已知直线a，b和平面α．如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定
平行吗? 平行
D
A
①
D
C
B
C
ab
②
α
A
B
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问题7 直线与平面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”之间的联系与 转化．你能将该性质定理中的平面换成直线，或者将垂直关系变为平行关系， 得出一些新的结论吗？
若a⊥α，b⊥a， 则直b//线α 或b与b平面α．α有怎样的位置关系？
若a⊥α，β⊥α， 则a直//线β或a与a平β面．β有怎样的位置关系？
1 S(h h) 1 Sh
3
3
1 Sh 1 h(S S) 33
第八章 立体几何初步
8.6.2 直线与平面垂直（2）
2023/4/1
引入
1. 直线与平面垂直的定义：“任意”
定义的运用：l
b
l
b
线面垂直
定义
线线垂直
2. 点到平面的距离 垂线段的长度
3. 直线和平面垂直的判定定理 线线垂直线面垂直
关键：在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直
① 线面垂直的定义． ② 线面垂直的判定定理．
3．求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小． 4．结论：将求出的角转化为线面角
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变式 1 在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点. 求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值．
解：取 AA1 的中点 M，连接 EM，BM. ∵E 是 DD1 的中点，四边形 ADD1A1 为正方形，∴EM∥AD. 又在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD⊥平面 ABB1A1， ∴EM⊥平面 ABB1A1， 从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 内的射影， ∴∠EBM 是直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角． 设正方体的棱长为 2，则 EM＝AD＝2，BE＝ 22＋22＋12＝3. 于是在 Rt△BEM 中，sin∠EBM＝EBME ＝23， 即直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为23.
A
B
l
∵l // α， ∴l//A1B1， ∴四边形AA1B1B是矩形，∴AA1=BB1.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α
A1
B1
∵A，B是直线l上任意两点，∴直线l上各点到平面α的距离相等.
通过此例题可知，若一条直线与一个平面平行，那这条直线上任意一点到 平面的距离相等，我们把这个距离叫做直线到这个平面的距离.
如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都 相等，我们把它叫做这两个平面间的距离.
三垂直: ①直线与平面垂直; ②平面内直线与斜线在平面内的射影垂直; ③平面内的一条直线与斜线垂直.
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6. 直线与平面垂直的性质
下面我们研究直线与平面α垂直的性质，即探究在直线a与平面α垂直的条件 下能推出哪些结论.
问题5 我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中
已知a⊥α，b⊥α，求证：a∥b.
β
证明：假设a与b不平行，记b∩α＝O．
b
过O作直线b′∥a，则b与b′是交于点O的两条不同的直线．
记b与b′确定的平面为β． 设α∩β＝c，则有a⊥c，b⊥c．
c
O
∵ b′∥a，∴ b′⊥c．
这与“平面β内，过一点O有且仅有一条直线与c垂直”相矛盾．
直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行．
性质5：若l⊥α，l⊥β，则 α//β
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b
a
c
m
l
β α
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例3 如图，直线l平行于平面α求，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.
证明：过直线l上任意两点A, B分别作平面α的垂线AA1, BB1, 垂足分别为A1, B1.
∵AA1⊥α，BB1⊥α， ∴AA1//BB1.
β
设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α=A1B1.
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5. 三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和
这条斜线垂直.
定理
线射垂直 线斜垂直
P
三垂线定理的逆定理:
逆定理
O
平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直，则它也和这条
Al
斜线的射影垂直.
涉及的几何元素： 一面；
四线: ①平面的斜线; ②平面的垂线; ③斜线在平面内的射影; ④平面内的一条直线.