镇江市初中数学三角形真题汇编及答案解析

镇江市初中数学三角形真题汇编及答案分析
一、选择题
1．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直 角三角形两条直角边长分别为 a 和 b ．若 ab 8，大正方形的边长为
5，则小正方形的边
长为(
)
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】 C 【分析】 【剖析】
由题意可知：中间小正方形的边长为 a ﹣ b ，依据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求
出小正方形的边长．
【详解】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为： a ﹣ b ，
1 1
∵每一个直角三角形的面积为：
ab ＝
×8＝ 4，
2
2
∴依据 4×1
ab ＋（ a ﹣ b ） 2＝ 52＝ 25，
2
得 4×4＋（ a ﹣ b ）2 ＝25，∴（ a ﹣ b ） 2＝ 25﹣16＝ 9，∴a
﹣ b ＝ 3（舍负），
应选：
C ．【点睛】
本题考察勾股定理，解题的重点是娴熟运用勾股定理以及完整平方公式，本题属于基础题型．
2．把一副三角板如图甲搁置，此中∠ ACB=∠DEC=90°，∠ A-45 °，∠ D=30°，斜边 AB=6，
DC=7，把三角板 DCE 绕着点 C 顺时针旋转 15°获得 △D CE （如图乙），此时 AB 与 CD 交于
1
1
1
点 O ，则线段 AD 1 的长度为（ ）
A．32B．5C．4D．31
【答案】 B
【分析】
【剖析】
【详解】
由题意易知：∠CAB=45°，∠ ACD=30°，
若旋转角度为15°，则∠ ACO=30°+15°=45°．
∴∠ AOC=180°－∠ ACO－∠ CAO=90°．
在等腰 Rt△ABC中， AB=6，则 AC=BC=32 ．
同理可求得： AO=OC=3．
在 Rt△AOD1 中， OA=3， OD1=CD1－ OC=4，
由勾股定理得： AD1=5．应选 B．
3．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A＝ 90°， BD 是∠ ABC的均分线，DE⊥ BC 于
E，若 BC＝10cm，则△DEC的周长为（）
A．8cm B． 10cm C． 12cm D． 14cm
【答案】 B
【分析】
【剖析】
依据“AAS证”明ABD≌EBD .获得 AD＝DE， AB＝ BE，依据等腰直角三角形的边的关系，求其周长 .
【详解】
∵BD 是∠ABC的均分线，
∴ ∠ ABD＝∠ EBD.
又∵∠A＝∠ DEB＝ 90°， BD 是公共边，
∴ △ABD≌△ EBD (AAS)，
∴AD＝ ED， AB＝ BE，
∴△DEC的周长是 DE＋ EC＋ DC
＝AD＋ DC＋ EC
＝AC＋ EC＝ AB＋ EC
＝BE＋EC＝ BC
＝10 cm.
应选 B.
【点睛】
本题考察了等腰直角三角形的性质，角均分线的定义，全等三角形的判断与性质. 掌握全等三角形的判断方法（即SSS、 SAS、 ASA、 AAS和 HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的重点．
4．如图，在 ? ABCD中， E 为边 AD 上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠ B＝48°，∠ ECD＝25°，则∠ D′EA 的度数为（）
A．33°B． 34°C． 35°D． 36°
【答案】 B
【分析】
【剖析】
由平行四边形的性质可得∠D＝∠ B，由折叠的性质可得∠定理可得∠ DEC，即为∠ D'EC，而∠ AEC易求，从而可得∠D'＝∠ D，依据三角形的内角和D'EA 的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠ B＝48°，
由折叠的性质得：∠D' ＝∠ D＝48°，∠ D'EC＝∠ DEC＝ 180°﹣∠ D﹣∠ ECD＝ 107°，∴∠ AEC=180°﹣∠ DEC=180°﹣ 107°＝73°，
∴∠ D'EA＝∠ D'EC﹣∠ AEC＝107°﹣ 73°=34°.
应选： B．
【点睛】
本题考察了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题
型，娴熟掌握上述基本知识是解题重点．
5．如图 ,已知△ABD 和△ACD对于直线A D 对称；在射线AD 上取点 E,连结 BE, CE,如图 : 在射线 AD 上取点 F 连结 BF, CF,如图 ,依此规律，第n 个图形中全等三角形的对数是（）
n(n1)
A． n B． 2n-1C．D． 3(n+1)
2
【答案】 C
【分析】
【剖析】
依据条件可得图 1 中△ABD≌△ ACD有 1 对三角形全等；图 2 中可证出△ABD≌△ ACD，△BDE≌△ CDE，△ABE≌△ ACE有 3 对全等三角形；图3中有 6 对全等三角形，依据数据可剖析出第n 个图形中全等三角形的对数．
【详解】
∵AD 是∠ BAC的均分线，
∴∠ BAD=∠ CAD.
在△ABD 与△ACD中，
AB=AC，
∠BAD=∠ CAD，
AD=AD，
∴△ ABD≌△ ACD.
∴图 1 中有 1 对三角形全等；
同理图 2 中 ,△ABE≌△ ACE，
∴BE=EC，
∵△ ABD≌△ ACD.
∴BD=CD，
又 DE=DE，
∴△ BDE≌△ CDE，
∴图 2 中有 3 对三角形全等；
同理：图 3 中有 6 对三角形全等；
n n1
由此发现：第n 个图形中全等三角形的对数是.
2
应选 C.
【点睛】
考察全等三角形的判断，找出数字的变化规律是解题的重点.
6．如图，在VABC中，AB AC，点E在AC上，ED BC 于点D，DE的延伸线交 BA 的延伸线于点 F ，则以下结论中错误的选项是
（）
A．AE CE B．
D．DEC
1
C．AF AE BAC
2
1
BAC 90
B
2
【答案】 A
【分析】
【剖析】
由题意中点 E 的地点即可对 A 项进行判断；
过点 A 作 AG⊥BC于点 G，如图，由等腰三角形的性质可得∠
1
BAC ，易得ED∥1=∠2=
2
AG，而后依据平行线的性质即可判断 B 项；
依据平行线的性质和等腰三角形的判断即可判断 C 项；
由直角三角形的性质并联合∠
1
BAC 的结论即可判断D项，从而可得答案．1=
2
【详解】
解： A、因为点E在AC上，点 E 不必定是 AC 中点，因此AE , CE不必定相等，因此本选项结论错误，切合题意；
B、过点 A 作 AG⊥ BC于点 G，如图，∵ AB=AC，∴∠ 1=∠2=1
BAC ，2
∵ ED BC ，∴ED∥AG，∴DEC21
BAC ，因此本选项结论正确，不切合题2
意；
C、∵ ED∥ AG，∴∠ 1=∠ F，∠ 2=∠ AEF，∵∠ 1=∠2，∴∠ F=∠ AEF，∴AF AE ，因此本选项结论正确，不切合题意；
D、∵ AG⊥ BC，∴∠ 1+∠ B=90 °，即
1
BAC90 ，因此本选项结论正确，不切合B
2
题意．
应选： A．
【点睛】
本题考察了等腰三角形的判断和性质、平行线的判断和性质以及直角三角形的性质等知
识，属于基本题型，娴熟掌握等腰三角形的判断和性质是解题的重点．
7．如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB 于点 M ，若 CD＝ 8 cm， MB＝2 cm，则直径 AB 的长为（）
A．9 cm B． 10 cm C． 11 cm D． 12 cm
【答案】B
【分析】
【剖析】
由 CD⊥ AB，可得 DM=4 ．设半径OD=Rcm，则可求得OM 的长，连结OD，在直角三角形DMO 中，由勾股定理可求得OD 的长，既而求得答案．
【详解】
解：连结OD，设⊙ O 半径 OD 为 R,
∵AB 是⊙ O 的直径，弦CD⊥ AB 于点 M ，
1
∴DM=CD=4cm，OM=R-2,
2
在 RT△OMD 中，
OD2=DM2+OM2即 R2=42+(R-2)2,
解得： R=5,
∴直径 AB 的长为 :2 ×5=10cm．
应选 B．
【点睛】
本题考察了垂径定理以及勾股定理．注意掌握协助线的作法及数形联合思想的应用．
8．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为设筷子淹没在杯子里面的长度为 hcm，则15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，h 的取值范围是（）
A． h≤15cm
【答案】 C
B． h≥8cm C． 8cm≤ h≤17cm D． 7cm≤ h≤16cm
【分析】
【剖析】
筷子淹没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离以以下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾
股定理可求得 .
【详解】
当筷子笔挺直立在杯中时，筷子淹没水中距离最短，为杯高=8cm
AD 是筷子， AB 长是杯子直径， BC 是杯子高，当筷子以以下图斜卧于杯中时，淹没在水中
的距离最长
由题意得： AB=15cm， BC=8cm，△ABC 是直角三角形
∴在 Rt△ABC中，依据勾股定理，AC=17cm
∴8cm ≤h ≤17cm
应选： C
【点睛】
本题考察勾股定理在实质生活中的应用，解题重点是将题干中生活实例抽象成数学模型，
而后再利用有关知识求解.
9．把一副三角板如图（1）搁置，此中∠ACB＝∠ DEC＝90°，∠ A＝ 45°，∠ D＝ 30°，斜边
AB＝ 4， CD＝ 5．把三角板DCE绕着
点
C 顺时针旋转15°获得△D1CE1（如图2），此时AB 与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）
A．13B．5C．22D．4
【答案】 A
【分析】
试题剖析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ ACD=30°．
若旋转角度为15°，则∠ ACO=30°+15°=45°．
∴∠ AOC=180°-∠ ACO-∠CAO=90°．
在等腰 Rt△ABC中， AB=4，则 AO=OC=2．
在 Rt△AOD1中， OD1=CD1-OC=3，
由勾股定理得： AD1= 13．
应选 A.
考点 : 1.旋转； 2.勾股定理 .
10．如图，□ ABCD的对角线AC、BD 交于点 O， AE 均分 BAD 交 BC 于点 E，且∠ ADC＝1
60°， AB＝BC，连结 OE．以下结论：① AE＝CE；②S△ABC＝AB?AC；③S△ABE＝2S△AOE；
2
1
④ OE ＝BC,建立的个数有（）
4
A．1 个B．2 个C．3 个D．4
【答案】 C
【分析】
【剖析】
利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ ADC=60°，∠ BAD=120°，利用角均分线的性质证明
1
△ABE 是等边三角形，而后推出AE=BE=BC，再联合等腰三角形的性质：等边平等角、三
2
线合一进行推理即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ ABC=∠ ADC=60°，∠ BAD=120°，
∵AE 均分∠ BAD ，
∴∠ BAE=∠ EAD=60°
∴△ ABE 是等边三角形，
∴ A E=AB=BE ，∠ AEB=60°，
∵ A B= 1
BC ，
2
∴ A E=BE=1
BC ，
2
∴ A E=CE ，故 ① 正确； ∴∠ EAC=∠ ACE=30°
∴∠ BAC=90°，
∴S △ABC = 1
AB?AC ，故 ② 错误；
2
∵ B E=EC ，
∴E 为 BC 中点， O 为 AC 中点，
∴S △ABE =S △ACE=2 S △AOE ，故 ③ 正确；
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AC=CO ，
∵ AE=CE ， ∴EO ⊥ AC ，
∵∠ ACE=30°，
∴EO= 1
EC ，
2
∵ E C=1
AB ，
2
∴OE= 1
BC ，故 ④ 正确；
4
故正确的个数为 3 个，
应选： C ．
【点睛】
本题考察平行四边形的性质，等边三角形的判断与性质．注意证得
△ABE 是等边三角形是
解题重点．
11． 两组邻边分别相等的四边形叫做 “筝形 ”，如图，四边形 ABCD 是一个筝形，此中
AD=CD， AB=CB，詹姆斯在研究筝形的性质时，获得以下结论：① AC⊥ BD；
1
② AO=CO=AC；③△ABD≌△ CBD，
2
此中正确的结论有（）
A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
【答案】 D
【分析】
试题分析：在△ABD 与△CBD 中，
AD CD
{AB BC ，
DB DB
∴△ ABD≌△ CBD（ SSS），
故③ 正确；
∴∠ ADB=∠ CDB，
在△AOD 与△COD 中，
AD CD
{ ADB CDB ，
OD OD
∴△ AOD≌△ COD（ SAS），
∴∠ AOD=∠ COD=90°， AO=OC，
∴AC⊥ DB，
故①②③正确；
应选 D．
考点：全等三角形的判断与性质．
12．如图，长方形 ABCD沿 AE 折叠，使 D 点落在 BC 边上的 F 点处，∠ BAF=600，那么∠DAE 等于（）
A．45°B． 30 °C． 15°D． 60°
【答案】 C
【分析】
【剖析】
先依据矩形的性质获得∠DAF=30°，再依据折叠的性质即可获得结果．【详解】
解：∵ ABCD是长方形，
∴∠ BAD=90°，
∵∠ BAF=60°，
∴∠ DAF=30°，
∵长方形ABCD沿 AE 折叠，
∴△ ADE≌△ AFE，
∴∠ DAE=∠ EAF=1
∠DAF=15°．
2
应选 C．
【点睛】
图形的折叠实质上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，因此折叠前后的两个图
形是全等三角形，重合的部分就是对应量．
13．如图，△ABC的角均分线CD、 BE 订交于 F，∠ A＝ 90°， EG∥ BC，且 CG⊥ EG于 G，下
列结论：① ∠ CEG＝ 2∠DCB；② ∠ADC＝∠ GCD；③ CA 均分∠ BCG；④ ∠DFB＝1
∠2
CGE．此中正确的结论是()
A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】 B
【分析】
【剖析】
依据平行线的性质、角均分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理挨次判断即可得出答案．
【详解】
① ∵EG∥ BC，
∴∠ CEG=∠ ACB，
又∵ CD是△ABC的角均分线，
∴∠ CEG=∠ ACB=2∠ DCB，故正确；
② ∵∠ A=90°，
∴∠ ADC+∠ ACD=90°，
∵CD 均分∠ ACB，
∴∠ ACD=∠ BCD，
∴∠ ADC+∠ BCD=90°．
∵EG∥ BC，且 CG⊥ EG，
∴∠ GCB=90°，即∠ GCD+∠ BCD=90°，
∴∠ ADC=∠ GCD，故正确；
③条件不足，没法证明CA 均分∠ BCG，故错误；
④ ∵∠ EBC+∠ ACB=∠ AEB，∠ DCB+∠ ABC=∠ ADC，
∴∠ AEB+∠ ADC=90°+ 1
（∠ ABC+∠ ACB）=135°，
2
∴∠ DFE=360°-135 °-90 °=135°，
∴∠ DFB=45°= 1
∠ CGE，，正确．
2
应选 B．
【点睛】
本题主要考察了角均分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三
角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答本题的重点．
14．如图，在△ABC中， AC=BC，∠ ACB=90°，点 D 在 BC上， BD=3， DC=1，点 P 是 AB 上的动点，则PC+PD的最小值为（）
A．4B． 5C． 6D． 7
【答案】 B
【分析】
试题分析：过点C
作
CO AB
于
O CO
到
C′OC′=OC DC′AB
于
P ⊥，延伸，使，连结，交，连
接 CP．
此时 DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵ DC=1， BC=4，∴ BD=3，连结 BC′，由对称性可知∠
C′BE=∠ CBE=45 °，∴∠ CBC′ =90，°∴ BC′⊥ BC，∠ BCC′=∠ BC′C=45 °，∴ BC=BC′ =4，依据勾股定理可得 DC′=BC '2BD 2=3242=5．应选B．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点
A（﹣ 2， 0）， B（ 0，3），以点
C，则点 C 的横坐标介于（）
A 为圆心，AB
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【答案】 B
【分析】
【剖析】
先依据点 A，B 的坐标求出 OA， OB 的长度，再依据勾股定理求出AB 的长，即可得出 OC 的长，再比较无理数的大小确立点 C 的横坐标介于哪个区间．
【详解】
∵点 A， B 的坐标分别为（﹣ 2，0），（ 0，3），
∴OA＝2， OB＝ 3，
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB＝22 +3213
∴AC＝AB＝13，
∴OC＝13﹣ 2，
∴点 C 的坐标为（13 ﹣2，0），
∵3 134，
∴1 1322，
即点 C 的横坐标介于 1 和 2 之间，
应选： B．
【点睛】
本题考察了弧与x 轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的重点．
16．如图，在△ABC中，点
点 E，以下说法错误的选项是（D 为 BC 的中点，连结
）
AD，过点 C 作CE∥ AB 交AD 的延伸线于
A．△ABD≌△ ECD B．连结BE，四边形ABEC为平行四边形
C． DA＝ DE
【答案】 D
D． CE＝ CD
【分析】
【剖析】
依据平行线的性质得出∠B=∠ DCE，∠ BAD=∠ E，而后依据AAS证得△ABD≌△ ECD，得出AD=DE，依据对角线相互均分获得四边形ABEC为平行四边形，CE=AB，即可解答．
【详解】
∵CE∥ AB，
∴∠ B=∠DCE，∠ BAD=∠E，
在△ABD 和△ECD中，
B=DCE
BAD=E
BD=CD
∴△ ABD≌△ ECD（AAS），
∴DA=DE， AB=CE，
∵AD=DE， BD=CD，
∴四边形ABEC为平行四边形，
应选： D．
【点睛】
本题考察平行线的性质，三角形全等的判断和性质以及平行四边形的性判断，解题的重点
是证明△ABD≌△ ECD．
17．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的极点 A 在 x 轴的正半轴上，极点 B 的坐标为(3， 3 )，点C的坐标为(1， 0)，点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则PA＋ PC 的最小值为 ( )
2
A．13
B．31C． 3+ 19D．2 7 222
【答案】 B 【分析】
如图，作点 A 对于 OB 的对称点点 D ，连结 CD 交 OB 于点 P ，此时 PA ＋ PC 最小，作 DN ⊥ x 轴交于点 N ，
∵B （ 3， 3 ），∴ OA=3， AB= 3 ，∴ OB=2 3 ，∴∠ BOA=30 °，
∵在 Rt △AMO 中，∠ MOA=30°， AO=3，∴ AM =1.5，∠ OAM=60°，∴∠ ADN=30°，
∵在 Rt △AND 中，∠ ADN=30°，AD=2AM =3，∴ AN=1.5， DN= 3
3 ，
2
∴ C N=3－ 1
－ 1.5=1，
2
2
2
2 2
3 2 =
31 31
∴CD
=CN +DN =1 +（
2
3 ） ，∴ CD=
.
4
2
应选 B.
点睛：本题重点在于先借助轴对称的性质确立出 P 点的地点，而后联合特别角
30°以及勾
股定理计算 .
18． 如图，已知 AE=AD ，AB=AC ， EC=DB ，以下结论：
① ∠C=∠ B ； ② ∠ D=∠ E ； ③ ∠ EAD=∠ BAC ； ④ ∠ B=∠ E ；此中错误的选项是 ( )
A ．①②
B ． ②③
C ． ③④
【答案】 D
【分析】
【剖析】
【详解】
D ．只有 ④
解：因为 AE ＝ AD ， AB ＝ AC ， EC ＝ DB ；
因此 △ABD ≌△ ACE(SSS)；
因此∠ C ＝∠ B ，∠ D ＝∠ E ，∠ EAC=∠ DAB ；
因此 ∠EAC-∠ DAC=∠DAB-∠ DAC ；
得∠ EAD=∠ CAB ．
因此错误的结论是 ④ ，
应选 D ．
【点睛】
本题考察了全等三角形的判断方法，依据已知条件利用 SSS证明两个三角形全等，还考察了全
等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，全等三角形的对应边相等．
19．如图 ,已知 AC=FE,BC=DE,点 A,D,B,F在一条直线上,要利用“ SSS证”明△ABC≌△ FDE,还能够增添的一个条件是()
A． AD=FB B． DE=BD C． BF=DB D．以上都不对
【答案】 A
【分析】
∵A C=FE，BC=DE，
∴要利用“SSS证”明△ABC≌△ FDE，需增添条件“AB=DF”或“AD=BF”.
应选 A.
20．如图，在V ABC中， C 90 ，CAB 60 ，按以下步骤作图：
①分别以 A ，B为圆心，以大于1
P和Q．AB 的长为半径画弧，两弧分别订交于点
2
②作直线 PQ 交AB于点 D ，交BC于点E，连结AE．若CE4，则AE的值为（）A．4 6B．4 2C．4 3D．8
【答案】 D
【分析】
【剖析】
依据垂直均分线的作法得出PQ 是 AB 的垂直均分线，从而得出∠EAB＝∠ CAE＝ 30°，即可得出 AE 的长．
【详解】
由题意可得出：PQ 是 AB 的垂直均分线，
∴AE＝ BE，
∵在△ABC 中，∠ C＝ 90°，∠ CAB＝ 60°，
∴∠ CBA＝ 30°，
∴∠ EAB＝∠ CAE＝ 30°，
∴CE＝1
AE＝ 4，2
∴AE＝ 8．
应选 D．
【点睛】
本题主要考察了垂直均分线的性质以及直角三角形中， 30°所对直角边等于斜边的一半，依据已知得出∠ EAB＝∠ CAE＝ 30°是解题重点．。