安徽省黄山市高三第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试
数学（文）试题
参考公式：如果事件A 、B 互斥, 那么()()()P A B P A P B +=+
如果事件A 、B 互斥独立, 那么()()().P AB P A P B =
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}()(){}
R 2,1,0,1,2,|120A B x x x =--=-+≥ð，则A
B =（ ）
A ．{}1,0,1-
B ．{}1,0-
C ．{}2,1,0--
D ．{}2,1,2-
2. 复数()()
2
13i z a a =+-，若0z <，则实数a 的值是（ ）
A ． 1 C ．1- D ． 3. 在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？ ” (加增的顺序为从塔顶到塔底). 答案应为 （ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 4.已知函数()2
112
f x ax bx =
++，其中{}{}2,4,1,3a b ∈∈，从()f x 中随机抽取1个，则它在(]
,1-∞-上是减函数的概率为 （ ） A ．
12 B ．34 C. 1
6
D ．0 5. 在ABC ∆中，()()()2,0,2,0,,B C A x y -，给出ABC ∆满足条件，就能得到动点A 的轨迹方程
下表给出了一些条件及方程：
则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（ ）
A ．312,,C C C
B ．123,,
C C C C.321,,C C C
D ．132,,C C C 6.已知x 的取值范围是[]0,8，执行下面的程序框图，则输出的3y ≥的概率为（ ）
A ．
13 B ．12 C. 23 D ．3
4
7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．．4 D
8.若圆()2
2
31x y -+=上只有一点到双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线的距离为1，则该双
曲线离心率为 （ ） A
B
9. 已知21log 3
252
,1log 3,cos
6
a b c π
-=-=-=，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C. c a b << D ．b c a <<
10.已知1,,m x y >满足约束条件405001x y mx y m x -+≥⎧⎪
-+-≤⎨⎪≤≤⎩
,若目标函数
()0,0z ax by a b =+>>的最大值为3，则12
a b
+
（ ） A ．有最小值
B
C.
有最小值
113- D
．有最大值113
- 11. 函数()(
))
ln 00x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩与()1g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．R
B ．(],e -∞- C.[),e +∞ D ． ∅ 12.
将函数4
y x π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的图象向左平移3
个单位，得函数()4y x πϕϕπ⎛⎫
=+< ⎪⎝⎭
的图象(如图) ，
点,M N 分别是函数()f x 图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设MON θ∠=，则()tan ϕθ-的值为（ ）
A ．1．2 C.1．2-第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知13,,1,2222a b a b ⎛⎫==+=
⎪ ⎝⎭
，则b 在a 方向上的投影为 ． 14.已知抛物线2:8C y x =，点()0,4P ，点A 在抛物线上，当点A 到抛物线准线l 的距离与点A 到点P 的距离之和最小时，延长AF 交抛物线于点B ，则AOB ∆的面积为 ．
15.已知两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图（1）将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上. 以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立. 则短轴长为4cm ，长轴为6cm 的椭球体的体积为 3
cm ．
16.对正整数n ，设曲线()2n
y x x =-在3x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列
2n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和等于 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17.ABC ∆ 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量 (
)
()3,1,cos 1,sin m n A A ==+，
且m n 的值为2（1）求A ∠的大小；
（2）若a B ==
，求ABC ∆的面积. 18. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD ∆
是边长为2的等边三角形，PC M =在PC 上，且PA 面MBD .
（1）求证:M 是PC 的中点； （2）求多面体PABMD 的体积.
19. 全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数()AQI ，数据统计如下：
（2）由頻率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；
（3）在空气质量指数分别为51100-和151200-的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气都为良”发生的概率.
20. 设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y D a b a b
+=>>的左、右焦点，过2F 作倾斜角为3π的
直线交椭圆D 于,A B 两点，1F 到直线AB 的距离为D 的四个顶点得到的
菱形面积为（1）求椭圆D 的方程；
（2）设过点2F 的直线l 被椭圆D 和圆()()2
2
:224C x y -+-=所截得的弦长分别为
,m n ，当m n 最大时，求直线l 的方程.
21.已知函数()()
21x
f x ax x e =+-.
（1）若0a <时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()ln x
g x e
f x x -=+，过()0,0O 作()y
g x =切线l ，已知切线l 的斜率为e -，
求证：222
22
e e e a -++-<<-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为ρ=
()1,0P 的直线l 交曲线C 于,A B 两点. （1）将曲线C 的极坐标方程的化为普通方程；
（2）求PA PB 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()()2,1f x x g x x x =-=+-. （1）解不等式()()f x g x >；
（2）若存在实数x ，使不等式()()()R m g x f x x m -≥+∈能成立，求实数m 的最小值.
安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试
数学（文）试题参考答案
一、选择题
1-5:BDDBA 6-10: BCACA 11-12：CD
二、填空题
13.1
4-
14.16π 16.1332
n +-
三、解答题
17. 解：
(1)
3cos sin 2sin 3m n A A A π⎛
⎫==+ ⎪⎝
⎭
sin 136A
A ππ⎛
⎫∴+=⇒= ⎪⎝
⎭.
(2)
cos sin B B =
∴=
,由sin sin b a B A =
得6
3221
2
b ==
，
())1sin 22sin sin cos cos sin 22
ABC S ab C A B A B A B ∆∴=
=+=
+=.
18. 解：(1)证明：连AC 交BD 于E ，连.ME ABCD 是矩形，E ∴是AC 中点.又PA 面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线，,PA ME M ∴∴是PC 的中点.
(2)取AD 中点O ，连OC .则PO AD ⊥，由面PAD ⊥底面ABCD ，得PO ⊥面ABCD ，
,3PO OC OC CD ∴⊥==∴==，
11133
23323,23,3322222
P ABCD M BCD PABMD V V V --∴=
===∴==.
19. 解：(1)
20
0.00450,100,2040105100,25n m m n
⨯=
∴=++++=∴=, 4025105
0.008;0.005;0.002;0.00110050100501005010050
====⨯⨯⨯⨯.
(2)平均数95 ，中位数87.5.
(3) 在空气质量指数为51100-和151200-的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽収的5天中，将空气质量指数为51100-的4天分别记为,,,a b c d ；将空气质量指数为
151200-的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：
()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 共10种，其中
事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 共6种，所以事件A “两天都为良”发生的概率是()63
105
P A =
=. 20. 解：(1)设1F 坐标为(),0c -，2F 坐标为()(),0,0c c >，则直线AB 的方程为
)
y x c
=-，即
2
y c
-===
；又
22
1
2225,5,1
2
S a b ab a b
==∴===，
∴椭圆D的方程为
2
21
5
x
y
+=.
(2)易知直线l的斜率不为0
，可设直线l的方程为2
x ty
=+，则圆心C到直线l
的距离为
d=，
所以2
2
2
1
5
x ty
n x
y
=+
⎧
⎪
==⎨
+=
⎪⎩
，得()
22
5410
t y ty
++-=，
)
2
122
1
5
t
m y y
t
+
∴=-=
+
，
2
851
t
m n
+
∴==≤
=，
即t=等号成立），所以直线方程为20
x-=或20
x-=.
21. 解：(1) 由已知得：()()()
2
'2121
x x
f x ax a x e x ax a e
⎡⎤
=++=++
⎡⎤
⎣⎦
⎣⎦. ①若
1
2
a
-<<，当
1
2
x
a
>--或0
x<时，()
'0
f x<；当
1
02
x
a
<<--时，()
'0
f x>，所以()
f x的单调递增区间为
1
0,2
a
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
；单调递减区间为()
1
,0,2,
a
⎛⎫
-∞--+∞
⎪
⎝⎭
. ②若()2
11
,'0
22
x
a f x x e
=-=-≤，故()
f x的单调递减区间为()
,
-∞+∞；③若
1
2
a<-，当
1
2
x
a
<--或0
x>时，()
'0
f x<；当
1
20
x
a
--<<时，()
'0
f x>；所以()
f x的单调递增区间为
1
2,0
a
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
；单调递减区间为()
1
,2,0,
a
⎛⎫
-∞--+∞
⎪
⎝⎭
.
综上，当
1
2
a
-<<时，()
f x单调递增区间为
1
0,2
a
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
；单调递减区间为(),0
-∞，
12,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭
. 当12a =-时，()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当12
a <-时，()f x 单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ；单调递减区间为1,2a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭
,()0,+∞. (2)()()22
21ln 1,'ax x g x ax x x g x x ++=++-=,设切点()20000,ln 1x ax x x ++-，斜率为2000
21ax x e x ++=- ① 所以切线方程为()22
00000001ln 1()ax x y ax x x x x x ++-++-=- ，将()0,0代入得：()20000ln 1ax x x ex -++-= ② 由 ① 知0020
12ex x a x ---=代入②得： ()0012ln 30e x x ++-=，令()()12ln 3u x e x x =++-,则()2'10u x e x
=++>恒成立， ()u x ∴在()0,+∞单增，且()011120,0,1u e u x e e ⎛⎫=-><∴<< ⎪⎝⎭，2
0200011111222ex x e a x x x ⎛⎫⎛⎫--+∴==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0
1t x =，则1t e <<，则()21122e a t t t +=-- 在()1,e 递减，且()()2222221,,2222
e e e e e e a a e a ++++=-=-∴-<<-. 22. 解：(1)
由ρ=()221sin 2ρθ+=，得曲线C 的普通方程为2
212x y +=. (2)由题意知，直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数）
，将1cos sin x t y t αα
=+⎧⎨=⎩代入2
212
x y +=得()222cos 2sin 2cos 10t t ααα++-=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12222111,1cos 2sin 1sin 2PA PB t t ααα⎡⎤===∈⎢⎥++⎣⎦
，PA PB ∴的取值范围为
1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 23. 解：（1）由题意不等式()()f x g x >可化为21x x x -+>+，当1x <-时，()()21x x x --+>-+，
解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时，()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时，21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()()f x g x >的解集为{|31x x -<<或}3x >.
（2）由不等式()()()R m g x f x x m -≥+∈可得
()min 21,21m x x m x ≥-++∴≥-++，
()21213,3x x x x m -++≥--+=∴≥，故实数m 的最小值是3.。