嘉定区封浜高级中学高二数学上学期期中试题含解析
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
故填： .
【点睛】本题考查数学归纳法证明的第二步:归纳递推， 从“ ”需将“ ”代入所需证明的表达式中，明确其具体含义，是个易错点，属于中档题。
10.如果 ,则实数a的取值范围是_____
【答案】
【解析】
试题分析：首先 时,结论成立，当 时，由题意 ，则 ，即 ，综上 ．
考点：数列的极限．
11。在平面直角坐标系中，已知点 、 ， 、 是 轴上的两个动点，且 ,则的 最小值为____．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查矩阵乘法的运算，属于基础题.
7.执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为_____________
【答案】
【解析】
【分析】
输入 时， ，不满足，进而可得 ，得到 ,满足条件,输出 即可
【详解】输入 ,则 ， ,否,则 ；
当 时,则 , ，是，则输出 ，
故答案为：
16.已知正整数数列 中， ,且对任意大于1的整数 ，点 总在直线 上,则 等于（ ）
A. 3B. 2C。 1D。 0
【答案】A
【解析】
【分析】
将点 代入直线 即可判断出 为等差数列，进而求出 的通项公式。再代入 求解即可。
【详解】由题意 ，故 ,所以 是以 为首项， 为公差的等差数列.所以 ，故 ,
9。用数学归纳法证明等式“ ”时，从 到 时，等式左边需要增加的是______。
【答案】
【解析】
【分析】
由数学归纳法可知 时，左端为 ,到 时,左端 ，从而可得解。.
【详解】用数学归纳法证明等式 时,
当 时，左边所得的项是 ；
假设 时,命题成立,左端为 ；
则当 时,左端为 ，
所以从“ ”需增添的项是 .
【答案】3
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程，求解公比即可．
【详解】等比数列｛an｝的通项公式为a =qn﹣1（n∈N*)，可得a1=1，
因ห้องสมุดไป่ตู้ = ，所以数列的公比不是1，
，an+1=qn．
可得 = = = = ,
可得q=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．
所以 是 的充要条件.
故选：B。
【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及平面向量共线条件的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合平面向量的共线定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能,属于基础题.
14。无穷数列4 ， ，1， ， ， 的各项和为（ ）
A。 B. C. D。
【答案】A
【解析】
二、选择题（共20分，每题5分)
13。如果 ， ，则 是 的（ ）
A。 充分条件B. 充要条件C. 必要条件D. 非充分非必要条件
【答案】B
【解析】
分析】
根据行列式的运算性质，求得 ，得到 ,再由 ，可得到 ，即可判定，得到结论.
【详解】根据行列式的运算性质，可得 ，即 ，可得 ，
反之：若 ，可得 ,即 ，
（2）利用数学归纳法证明:当 时,易证命题成立；假设 时，命题成立,利用该归纳假设,去证明当 时,命题也成立
【详解】（1)由题,当 时， ，则 ，即 ,
当 时, ,则 ，即 ,
当 时, ，则 ，即
（2) ,
证明：①当 时, ，命题成立;
②假设当 时,命题成立，即 ，
则当 时, ，
则 ,即 ,
所以 ,
所以当 时,命题也成立
由①②知，命题对 都成立，即
【点睛】本题考查已知 与 的关系求项，考查数学归纳法的应用,考查推理论证的能力，考查运算能力
21.我们把一系列向量 按次序排成一列,称之为向量列，记作 。已知向量列 满足 且 。
（1）证明数列 是等比数列；
(2)求 间的夹角 ;
（3）设 ,问数列 中是否存在最小项？若存在，求出最小项;若不存在，请说明理由。
（2）由题, ，则
，即
,即
则 所成钝角为
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查数量积的应用，考查反三角函数求角，考查运算能力
20。已知数列 的前 项和为 ， ,
（1）分别计算 ；
（2）猜想通项公式 ,并用数学归纳法证明之。
【答案】（1） ；（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分别令 , , 代入 中求解即可；
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在,最小项为
【解析】
【分析】
（1)通过向量模的定义计算即可证明;
(2）由数量积的定义求解即可;
(3）通过假设数列 中的第 项最小，找出数列的单调性计算即可
【详解】（1）证明：根据题意,
得 ,
当 时，
所以,数列 是首项为 ，公比为 的等比数列
（2）由(1）可得，
，
所以
【分析】
利用等比数列的前 项和公式，结合极限的计算，求得所求数列各项和
【详解】由题观察可得, ，即 是首项为 ，公比为 的等比数列,则 ,则无穷数列的各项和为
故选：A
【点睛】本题考查无穷等比数列各项和的计算，考查极限的运算，属于基础题
15。若 ，则下列各式中不正确的是（ ）
A. B。 C。 D。
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意在线段中得到 与 和 的位置关系，根据向量共线定理对逐个选项逐一判断即可得到结果.
【详解】∵ ，故可得 与 和 的位置关系如图所示：
且 ，
由向量共线定理可得 ， ， ， ,
可得不正确的为A，
故选:A.
【点睛】本题主要考查了向量共线定理，由题意得到 与 和 的位置关系是解题的关键,属于中档题.
【解析】
【分析】
由余子式的定义可得5的余子式为 ,求解即可
【详解】由题， 5的余子式为
故答案为:
【点睛】本题考查余子式的值，考查运算能力，属于基础题
4.计算： ____________
【答案】
【解析】
【分析】
利用数列的极限的运算法则化简求解即可
【详解】 ,
故答案为:
【点睛】本题考查数列极限的运算法则的应用，属于基础题
【点睛】本题考查程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论,是基础题
8.向量 ，则向量 在向量 方向上的投影是_______
【答案】
【解析】
【分析】
根据方向投影的定义可得 ,代入求解即可
【详解】由题，向量 在向量 的方向上的投影为
故答案为:
【点睛】本题考查向量中投影 应用,考查运算能力
（3）数列 中存在最小项，
由（1）可得， ，
所以 ，
假设 中的第 项最小，由 , ，
所以 ,
当 时,有 ,由 得 ，
即 ,则 ，整理得 ，
解得 或 （舍)，
所以 时，即有 ,
由 ，得 ，又 ,
所以
故数列 中存在最小项,最小项是
【点睛】本题考查向量的模的应用，考查等比数列的证明,考查数量积的应用，考查数列的单调性的应用，考查运算能力
19。在 中, ,边 的中点分别是 ，若 。
（1）分别用 表示 和 ；
(2）求 所成钝角的大小(结果用反三角函数表示）。
【答案】（1） ， ；（2） （答案形式不唯一）.
【解析】
【分析】
(1）根据题意可得 ， ,整理即可；
（2)利用数量积求向量 和 的夹角余弦值，再利用反三角函数表示钝角即可
【详解】（1）由题,可得 ,
5。已知 ,则向量 的坐标为__________
【答案】
【解析】
【分析】
由 可知 ，可求得 ，代入 的坐标中即可
【详解】由题，当 ,则 ,即 ，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查向量的坐标表示，考查已知向量垂直求参问题,考查运算能力
6。 , ，则 _______。
【答案】
【解析】
【分析】
根据矩阵乘法运算法则直接求解即可得到结果。
【答案】—3
【解析】
【分析】
据题意可设E(0，a），F（0，b）,从而得出｜a﹣b|=2,即a=b+2，或b=a+2,并可求得 ，将a=b+2带入上式即可求出 的最小值,同理将b=a+2带入，也可求出 的最小值．
【详解】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
∴ ;
∴a=b+2，或b=a+2;
且 ；
∴ ；
当a=b+2时, ；
∵b2+2b﹣2的最小值为 ；
∴ 的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时， 的最小值为﹣3．
故答案为:﹣3．
【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．
12.设等比数列 的通项公式为 ，前 项和为 ．若 ，则 ______．
【详解】 ,
,
,
①当 时,方程有唯一解, ,即 ；
②当 时, ， ,方程组无解；
③当 时, ,方程组有无穷多解，设 ，则原方程组 解
可表示为 。
【点睛】本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想
18。已知 ,点 满足
（1）若 ，求 的值；
（2）当 为何值时，点 在直线 上？
【答案】（1） 或 ；（2）
上海市嘉定区封浜高级中学2019—2020学年高二数学上学期期中试题(含解析）
一、填空题（共54分,前6题每题4分,后6题每题5分）
1。线性方程组 的系数矩阵是_________________
【答案】
【解析】
【分析】
系数矩阵就是由方程组的系数组成的矩阵,由方程组写出矩阵即可
【详解】由题,由系数矩阵定义即可得系数矩阵为
故答案为:
【点睛】本题考查系数矩阵的定义,属于基础题
2.已知向量 ，则向量 的模为__________
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的模的定义可得 ,求解即可
【详解】由题， ,
故答案为：
【点睛】本题考查向量的模,考查向量的坐标表示，是基础题
3。在三阶行列式 中,5的余子式的值为_______
【答案】
【解析】
【分析】
（1）先求出 ， ，可得 ，则 ，求解即可；
(2）由（1)解得 ,将坐标代入 中即可求得 值
【详解】(1）由题， ， ，
因为 ，
所以 ,即 ,解得 或
（2）由（1）可知
因为 ，所以
因为点 在直线 上,
则 ，即
【点睛】本题考查向量的坐标表示,考查向量的线性运算,考查向量的模的应用，考查运算能力
所以
故选：A.
【点睛】本题主要考查等差数列用定义判定的方法。
三、解答题（共76分，14+14+14+16+18）
17。利用行列式讨论关于 的方程组 解的情况.
【答案】①当 时，方程组有唯一解 ;②当 时，方程组无解;③当 时，方程组有无穷多解,可表示为 .
【解析】
【分析】
由题，可得 ，分别讨论方程组有唯一解,无解，无穷多解的情况即可
【点睛】本题考查数学归纳法证明的第二步:归纳递推， 从“ ”需将“ ”代入所需证明的表达式中，明确其具体含义，是个易错点，属于中档题。
10.如果 ,则实数a的取值范围是_____
【答案】
【解析】
试题分析：首先 时,结论成立，当 时，由题意 ，则 ，即 ，综上 ．
考点：数列的极限．
11。在平面直角坐标系中，已知点 、 ， 、 是 轴上的两个动点，且 ,则的 最小值为____．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查矩阵乘法的运算，属于基础题.
7.执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为_____________
【答案】
【解析】
【分析】
输入 时， ，不满足，进而可得 ，得到 ,满足条件,输出 即可
【详解】输入 ,则 ， ,否,则 ；
当 时,则 , ，是，则输出 ，
故答案为：
16.已知正整数数列 中， ,且对任意大于1的整数 ，点 总在直线 上,则 等于（ ）
A. 3B. 2C。 1D。 0
【答案】A
【解析】
【分析】
将点 代入直线 即可判断出 为等差数列，进而求出 的通项公式。再代入 求解即可。
【详解】由题意 ，故 ,所以 是以 为首项， 为公差的等差数列.所以 ，故 ,
9。用数学归纳法证明等式“ ”时，从 到 时，等式左边需要增加的是______。
【答案】
【解析】
【分析】
由数学归纳法可知 时，左端为 ,到 时,左端 ，从而可得解。.
【详解】用数学归纳法证明等式 时,
当 时，左边所得的项是 ；
假设 时,命题成立,左端为 ；
则当 时,左端为 ，
所以从“ ”需增添的项是 .
【答案】3
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程，求解公比即可．
【详解】等比数列｛an｝的通项公式为a =qn﹣1（n∈N*)，可得a1=1，
因ห้องสมุดไป่ตู้ = ，所以数列的公比不是1，
，an+1=qn．
可得 = = = = ,
可得q=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．
所以 是 的充要条件.
故选：B。
【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及平面向量共线条件的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合平面向量的共线定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能,属于基础题.
14。无穷数列4 ， ，1， ， ， 的各项和为（ ）
A。 B. C. D。
【答案】A
【解析】
二、选择题（共20分，每题5分)
13。如果 ， ，则 是 的（ ）
A。 充分条件B. 充要条件C. 必要条件D. 非充分非必要条件
【答案】B
【解析】
分析】
根据行列式的运算性质，求得 ，得到 ,再由 ，可得到 ，即可判定，得到结论.
【详解】根据行列式的运算性质，可得 ，即 ，可得 ，
反之：若 ，可得 ,即 ，
（2）利用数学归纳法证明:当 时,易证命题成立；假设 时，命题成立,利用该归纳假设,去证明当 时,命题也成立
【详解】（1)由题,当 时， ，则 ，即 ,
当 时, ,则 ，即 ,
当 时, ，则 ，即
（2) ,
证明：①当 时, ，命题成立;
②假设当 时,命题成立，即 ，
则当 时, ，
则 ,即 ,
所以 ,
所以当 时,命题也成立
由①②知，命题对 都成立，即
【点睛】本题考查已知 与 的关系求项，考查数学归纳法的应用,考查推理论证的能力，考查运算能力
21.我们把一系列向量 按次序排成一列,称之为向量列，记作 。已知向量列 满足 且 。
（1）证明数列 是等比数列；
(2)求 间的夹角 ;
（3）设 ,问数列 中是否存在最小项？若存在，求出最小项;若不存在，请说明理由。
（2）由题, ，则
，即
,即
则 所成钝角为
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查数量积的应用，考查反三角函数求角，考查运算能力
20。已知数列 的前 项和为 ， ,
（1）分别计算 ；
（2）猜想通项公式 ,并用数学归纳法证明之。
【答案】（1） ；（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分别令 , , 代入 中求解即可；
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在,最小项为
【解析】
【分析】
（1)通过向量模的定义计算即可证明;
(2）由数量积的定义求解即可;
(3）通过假设数列 中的第 项最小，找出数列的单调性计算即可
【详解】（1）证明：根据题意,
得 ,
当 时，
所以,数列 是首项为 ，公比为 的等比数列
（2）由(1）可得，
，
所以
【分析】
利用等比数列的前 项和公式，结合极限的计算，求得所求数列各项和
【详解】由题观察可得, ，即 是首项为 ，公比为 的等比数列,则 ,则无穷数列的各项和为
故选：A
【点睛】本题考查无穷等比数列各项和的计算，考查极限的运算，属于基础题
15。若 ，则下列各式中不正确的是（ ）
A. B。 C。 D。
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意在线段中得到 与 和 的位置关系，根据向量共线定理对逐个选项逐一判断即可得到结果.
【详解】∵ ，故可得 与 和 的位置关系如图所示：
且 ，
由向量共线定理可得 ， ， ， ,
可得不正确的为A，
故选:A.
【点睛】本题主要考查了向量共线定理，由题意得到 与 和 的位置关系是解题的关键,属于中档题.
【解析】
【分析】
由余子式的定义可得5的余子式为 ,求解即可
【详解】由题， 5的余子式为
故答案为:
【点睛】本题考查余子式的值，考查运算能力，属于基础题
4.计算： ____________
【答案】
【解析】
【分析】
利用数列的极限的运算法则化简求解即可
【详解】 ,
故答案为:
【点睛】本题考查数列极限的运算法则的应用，属于基础题
【点睛】本题考查程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论,是基础题
8.向量 ，则向量 在向量 方向上的投影是_______
【答案】
【解析】
【分析】
根据方向投影的定义可得 ,代入求解即可
【详解】由题，向量 在向量 的方向上的投影为
故答案为:
【点睛】本题考查向量中投影 应用,考查运算能力
（3）数列 中存在最小项，
由（1）可得， ，
所以 ，
假设 中的第 项最小，由 , ，
所以 ,
当 时,有 ,由 得 ，
即 ,则 ，整理得 ，
解得 或 （舍)，
所以 时，即有 ,
由 ，得 ，又 ,
所以
故数列 中存在最小项,最小项是
【点睛】本题考查向量的模的应用，考查等比数列的证明,考查数量积的应用，考查数列的单调性的应用，考查运算能力
19。在 中, ,边 的中点分别是 ，若 。
（1）分别用 表示 和 ；
(2）求 所成钝角的大小(结果用反三角函数表示）。
【答案】（1） ， ；（2） （答案形式不唯一）.
【解析】
【分析】
(1）根据题意可得 ， ,整理即可；
（2)利用数量积求向量 和 的夹角余弦值，再利用反三角函数表示钝角即可
【详解】（1）由题,可得 ,
5。已知 ,则向量 的坐标为__________
【答案】
【解析】
【分析】
由 可知 ，可求得 ，代入 的坐标中即可
【详解】由题，当 ,则 ,即 ，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查向量的坐标表示，考查已知向量垂直求参问题,考查运算能力
6。 , ，则 _______。
【答案】
【解析】
【分析】
根据矩阵乘法运算法则直接求解即可得到结果。
【答案】—3
【解析】
【分析】
据题意可设E(0，a），F（0，b）,从而得出｜a﹣b|=2,即a=b+2，或b=a+2,并可求得 ，将a=b+2带入上式即可求出 的最小值,同理将b=a+2带入，也可求出 的最小值．
【详解】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
∴ ;
∴a=b+2，或b=a+2;
且 ；
∴ ；
当a=b+2时, ；
∵b2+2b﹣2的最小值为 ；
∴ 的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时， 的最小值为﹣3．
故答案为:﹣3．
【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．
12.设等比数列 的通项公式为 ，前 项和为 ．若 ，则 ______．
【详解】 ,
,
,
①当 时,方程有唯一解, ,即 ；
②当 时, ， ,方程组无解；
③当 时, ,方程组有无穷多解，设 ，则原方程组 解
可表示为 。
【点睛】本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想
18。已知 ,点 满足
（1）若 ，求 的值；
（2）当 为何值时，点 在直线 上？
【答案】（1） 或 ；（2）
上海市嘉定区封浜高级中学2019—2020学年高二数学上学期期中试题(含解析）
一、填空题（共54分,前6题每题4分,后6题每题5分）
1。线性方程组 的系数矩阵是_________________
【答案】
【解析】
【分析】
系数矩阵就是由方程组的系数组成的矩阵,由方程组写出矩阵即可
【详解】由题,由系数矩阵定义即可得系数矩阵为
故答案为:
【点睛】本题考查系数矩阵的定义,属于基础题
2.已知向量 ，则向量 的模为__________
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的模的定义可得 ,求解即可
【详解】由题， ,
故答案为：
【点睛】本题考查向量的模,考查向量的坐标表示，是基础题
3。在三阶行列式 中,5的余子式的值为_______
【答案】
【解析】
【分析】
（1）先求出 ， ，可得 ，则 ，求解即可；
(2）由（1)解得 ,将坐标代入 中即可求得 值
【详解】(1）由题， ， ，
因为 ，
所以 ,即 ,解得 或
（2）由（1）可知
因为 ，所以
因为点 在直线 上,
则 ，即
【点睛】本题考查向量的坐标表示,考查向量的线性运算,考查向量的模的应用，考查运算能力
所以
故选：A.
【点睛】本题主要考查等差数列用定义判定的方法。
三、解答题（共76分，14+14+14+16+18）
17。利用行列式讨论关于 的方程组 解的情况.
【答案】①当 时，方程组有唯一解 ;②当 时，方程组无解;③当 时，方程组有无穷多解,可表示为 .
【解析】
【分析】
由题，可得 ，分别讨论方程组有唯一解,无解，无穷多解的情况即可