江西省赣州市石城中学2021届高三数学上学期第十二次周考试题(B)理

江西省赣州市石城中学2021届高三数学上学期第十二次周考试题
（B ）理
满分150分 时间120分钟
一、选择题(本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知复数2z i =+，则1z
i
+在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合1{|
0}x
A x x
-=≥， {|lg(21)}B x y x ==-，则=B A ( ) A ．），（21
0 B ． ），（121 C ．
]121，（ D ．]12
1[， 3．若4log 3a =，0.33b =，3log cos 19
π
20c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
4．
dx x x ))1(1(
21
2---⎰的值是（ ）
A.
3
1
4-π
B.
14
-π
C.
312-π
D.12-π
5．已知5sin 26cos()0,(0,
),2παπαα+-=∈则2cos (
)24
απ
+=（ ） A.45 B.15－ C. 35 D.15
6．给出下列四个命题： ①命题“若π
4
α=
，则tan 1α=”的逆否命题为假命题； ②命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤．则0:p x ⌝∃∈R ，使0sin 1x >； ③在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >； ④命题：“0x ∃∈R ，使003
sin cos 2
x x +=”．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
7．在中，，
，，为边上一点，且，
则
（ ）
A. B. C. D.
8．函数f (x )＝
2
1x
x -的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
9．已知:1p a =±，:q 函数22()()f x ln x a x =+为奇函数，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
10．使函数)cos(3)sin()(ϕϕ+-+=x x x f 为偶函数，且在区间π0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数的ϕ
的一个值为（ ） A ．3π-
B ．π32
C ．π6
5
D ．6π- 11.关于函数()cos cos 2f x x x =+有下列三个结论：①π是f(x)的一个周期；②f(x)在
35[
,]44
ππ
上单调递增；③f(x)的值域为[－2，2]．则上述结论中，正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
12．函数2
2
()()e x
f x x ax ax a =--+（e 为自然对数的底数，R a ∈，a 为常数）有三个
不同零点，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,0)e
-
B ．(,0)-∞
C ．1(,)e
-+∞
D ．(0,)+∞
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知(),2P m 为角α终边上一点，且tan 34πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则cos α=________．
14．设曲线ln 1
x
y x =
+在点(1,0)处的切线与直线10x ay -+=垂直，则=a ． 15．已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1
x =
对称，若实数a 满足()()2log 2f a f <，则a 的取值范围是 ．
16．已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，a=1，且
(1)(sin sin ))sin ,b A B c b C +-=-（则ABC ∆面积的最大值为____________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －b)2
＝c 2
－ab ． (1）求角C ； (2）若4cos()sin 02
c A b C π
++=，a ＝1，求△ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）
如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，点D ，E 分别在线段AA 1，CC 1上，且AD ＝
1
3
AA 1，DE//AC ，F 是线段AB 的中点． (1）求证：EF//平面B 1C 1D ；
(2）若AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AA 1＝3AB ，求直线BC 与平面B 1DE 所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
函数)2
()232sin cos 30f x x x x ωωωω=+>，其图象上相邻两个最高点之间的距离
为2
π3
． （1）求ω的值；
（2）将函数()y f x =的图象向右平移
π
6
个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，求()g x 在4π0,
3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调增区间．
20.（本小题满分12分）2021年某饮料公司计划从,A B两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对,A B两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图.
从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在[0,60)的受访者中有20%会购买，评分在[60,80)的受访者中有60%会购买，评分在[80,100]的受访者中有90%会购买. (Ⅰ)在受访的100万人中，求对A款饮料评分在60分以下的人数（单位:万人）；
(Ⅱ)现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率；
(Ⅲ)如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你理由.
21.（错题再现）已知函数2
()ln ()2
a f x x x x x a a R =--+∈，在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求a 的取值范围；
（2）记两个极值点为12,x x ，且12x x >，证明：2
12e x x ⋅>.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线C ：2
=2sin 3ρρθ+，直线l ：sin()23
π
ρθ+
=.
（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）设点P 的直角坐标为(0,4)，直线l 与曲线C 相交于M N 、两点，求2
2
PM PN +的值
23．设()311f x x x =-++的最小值为k . （1）求实数k 的值；
（2）设m ，n ∈R ，224m n k +=，求证：
22
11312
m n +≥+.
数学（理）答案
一一、1-5 DCDAD 6-10 BBCCC 11-12 BA 二、13. 552 14. 21 15. ），（44
1
16.43 三、17.
19.
18
．
（
1
）
函
数
()223cos 2sin cos 33cos2sin22sin 2(0)3πf x x x x x x ωωωωωωω⎛
⎫=+-=+=+> ⎪⎝
⎭，
其图象上相邻两个最高点之间的距离为
2π2π23ω=，3
2ω∴=，()2sin 3π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭．
（2）将函数()y f x =的向右平移π
6个单位，可得π2sin 32sin 36π36πy x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎣⎦的图
象；
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()3
2sin 2
π6y g x x ⎛⎫==- ⎪
⎝⎭的图象．
由4π0,3x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，可得311π,266π6πx ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
令32π2π2262πππx k k -
≤-≤+，求得4π2π4π4π
3939
k k x -≤≤+， 故()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦和10π4π,93⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ 20．依题意，函数的定义域为（1，＋∞）． （1）当m ＝4时，()()215
4ln 1622
f x x x x =-+--．
()()()22547106111
x x x x f x x x x x ---+=+-==
---'， 令
，解得或；令，解得．
可知函数()f x 的单调递增区间为（1，2）和（5，＋∞），单调递减区间为．
（2）()()()2364211
x m x m f x x m x x -+++=+-+=
'--． 若函数()y f x =有两个极值点，则()()()2
3460
1360312
Δm m m m m =-+-+>⎡⎤⎣⎦-+++⎧⎪⎪⎪
⎨>+>⎪⎪⎪⎩，解得3m >． 20.(Ⅰ)由对A 款饮料的评分饼状图，得对A 款饮料评分在60分以下的频率为为0.050.150.2+=，
∴对A 款饮料评分在60分以下的人数为1000.220⨯=（万人）
(Ⅱ)设受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性为事件C .
记购买A 款饮料的可能性为20%为事件1A ；购买A 款饮料的可能性为60%为事件2A ；购买A 款饮料的可能性为90%为事件3A ；购买B 款饮料的可能性为20%为事件1B ；购买B 款饮料的可能性为60%为事件2B .购买B 款饮料的可能性为90%为事件3B . 则()10.050.150.2P A =+=，()20.10.20.3P A +==，()30.150.350.5P A +==， 由用频率估计概率得：()1550.1100P B +=
=，()215200.35100P B +==，()315400.55100
P B +== 事件i A 与j B 相互独立，其中,1,2,3i j =.
()()213132P C P A B A B A B ∴=++()()()()()()
213132P A P B P A P B P A P B =++0.30.10.50.10.50.350.255=⨯+⨯+⨯=
∴该受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性的概率为0.255 ；
(Ⅲ)从受访者对A ，B 两款饮料购买期望角度看：A 款饮料购买期望X 的分布列为：
X
0.2 0.6 0.9
P
0.2
0.3 0.5
B 方案“选择倾向指数”Y 的分布列为：
Y
0.2 0.6
0.9
P
0.1 0.35 0.55
()0.20.20.60.30.90.50.67E X ∴=⨯+⨯+⨯=，()0.20.10.60.350.90.550.725E Y =⨯+⨯+⨯=，
根据上述期望可知()()E X E Y <，故新品推介应该主推B 款饮料. 21解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根； 即方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根；
转化为函数ln y x =与函数y ax =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，如图． 可见，若令过原点且切于函数ln y x =图象的直线斜率为k ，只须0a k <<． 令切点()00,ln A x x ， 故00
1
x x k y x ==
'=，又00ln x k x =
故0
00
ln 1x x x =，解得，0x e =， 故1k e =
，故a 的取值范围为10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
(2)由(1)可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，
即11ln x ax =， 22ln x ax =，作差得()1
122
ln
x a x x x =-，即1212
ln x x a x x =- 对于2
12e x x ⋅>，取对数得12ln 2x x >，即12ln ln 2x x +>
又因为()111122ln ln x x x a ax x x a =+=++，所以122a x x >
+，得()121212
2ln x x x x x x ->+ 令
12x t x =，则1t >，()121212
2ln x x x x x x ->+，即2(1)
ln 1t t t ->+ 设2(1)()ln 1
t g t t t -=-+， 1t >，22(1)()0(1)t g t t t '
-=
>+，所以函数()g t 在(1,)+∞上单调递增，
所以()(1)0g t g >=， 即不等式2(1)
ln 1
t t t ->
+成立， 故所证不等式2
12e x x ⋅>成立．
22（1）由曲线C ：2
=2sin 3ρρθ+得直角坐标方程为2
2
+y =23x y +， 即C 的直角坐标方程为：2
2
+(1)=4x y -. 由直线l ：sin()23
π
ρθ+
=
展开的sin cos 4ρθθ=，
40y +-=．
（2）由（1）得直线l 的倾斜角为23π
.所以l
的参数方程为1,24,
2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），
代入曲线C
得：250t ++=.
设交点M N 、所对应的参数分别为12t t 、
，则1212+=5t t t t -⋅=
22
222121212+=(+)217PM PN t t t t t t +=-⋅=.
11 23.（1）()42,1,
31124,11,42,1,
x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=-++=-+-<<⎨⎪-≥⎩
当1x =时，()f x 取得最小值，即()12k f ==.
（2）证明：依题意，2242m n +=，则()22416m n ++=. 所以22111m n ++()2222111
4116m n m n ⎛⎫⎡⎤=+++⨯ ⎪⎣⎦+⎝⎭ ()2
222411561n m m n ⎡⎤
+⎢⎥=+++⎢⎥⎣
⎦(13562
≥+=，
当且仅当()22
22411n m m n +=+，即22m =，20n =时，等号成立. 所以22113
12m n +≥+.。