北京市丰台区2019-2020学年数学高二第二学期期末达标检测试题含解析

北京市丰台区2019-2020学年数学高二第二学期期末达标检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下面给出了四种类比推理：
①由实数运算中的=⋅⋅a b b a 类比得到向量运算中的=⋅⋅a b b a ；
②由实数运算中的 (⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)类比得到向量运算中的(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)； ③由向量a 的性质2
2
||=a a 类比得到复数z 的性质2
2
||z z =；
④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义； 其中结论正确的是 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量数量积的定义、复数的运算法则来进行判断． 【详解】
①设a 与b 的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅，cos b a b a θ⋅=⋅，则a b b a ⋅=⋅成立； ②由于向量的数量积是一个实数，设a b m ⋅=，b c n ⋅=，
所以，()a b c mc ⋅⋅=表示与c 共线的向量，()
a b c na ⋅⋅=表示与a 共线的向量， 但a 与b 不一定共线，()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅不一定成立；
③设复数(),z x yi x y R =+∈，则2
22z x y =+，()(
)2
2
22
2z x yi x y
xyi =+=-+是一个复数，所以
2
2z z =不一定成立；
④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的．故选D ． 【点睛】
本题考查数与向量、向量与复数之间的类比推理，在解这类问题时，除了考查条件的相似性之外，还要注意定义的理解，考查逻辑推理能力，属于中等题． 2．已知函数()2
ln f x x x =-与()()()
()2
1
222g x x m m R x =-+
-∈-的图象上存在关于()1,0对称的
点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),1ln2-∞- B ．(],1ln2-∞-
C ．()1ln2,-+∞
D ．[
)1ln2,-+∞ 【答案】D
【解析】 【分析】
由题意可知()()2f x g x =--有解，即1
ln 2m x x
=+在()0,+∞有解，求导数，确定函数的单调性，可知m 的范围. 【详解】
∵函数()2
ln f x x x =-与()()()
()2
1
222g x x m m R x =-+
-∈-的图象上存在关于()1,0对称的点，∴
()()2f x g x =--有解，
∴ 2
2
1ln 2x x x m x -=--
+，∴ 1ln 2m x x =+在()0,+∞有解，2212x m x
-'=， ∴函数在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， ∴ 1
ln 11ln22
m ≥+=-，故选D. 【点睛】
本题考查利用导数求最值，考查对称性的运用，关键是转化为1ln 2m x x
=+在∞（0，+）有解，属于中档题．
3．若复数(1)(2)ai i +-是纯虚数（a 是实数，i 是虚数单位），则a 等于（ ） A ．2 B ．-2
C ．
1
2
D ．12
-
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】
∵复数（1+ai ）（1﹣i ）＝1+a+（1a ﹣1）i 是纯虚数，∴20
210a a +=⎧⎨-≠⎩
，解得a ＝﹣1．
故选B ． 【点睛】
本题考查了复数的乘法运算、纯虚数的定义，属于基础题． 4．在回归分析中，2R 的值越大，说明残差平方和（ ） A ．越小 B ．越大
C ．可能大也可能小
D ．以上都不对
【答案】A 【解析】
分析：根据2R 的公式和性质，并结合残差平方和的意义可得结论．
详解：用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果时，当2R 的值越大时，模型的拟合效果越好，此时说明残差平方和越小；当2R 的值越小时，模型的拟合效果越差，此时说明残差平方和越大． 故选A ．
点睛：主要考查对回归分析的基本思想及其初步应用等知识的理解，解题的关键是熟知有关的概念和性质，并结合条件得到答案． 5．函数3
()ln f x x x
=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,e C ．(),3e D ．()3,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
3
()ln f x x x
=-，
∴函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，
∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-3e =1-3
e
＜0， ∴f(3)·f(e)＜0，
∴在区间（e ，3）内函数f(x)存在零点. 故选C.
6．以下四个命题中是真命题的是 ( )
A ．对分类变量x 与y 的随机变量2k 观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大
B ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0
C ．若数据123,,,...n x x x x 的方差为1，则1232,2,2,...2n x x x x 的方差为2
D ．在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好 【答案】D 【解析】 【分析】
依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，即可得到答案. 【详解】
依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，选项D 是正确的．
本题主要考查了线性相指数的知识及其应用，其中解答中熟记相关指数的概念和相关指数与相关性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．设函数()
n
f x '
是()n f x 的导函数，0()(cos sin )x
f x e x x =+，1()f x '=2()f x '=
，
*
1())n f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ）
A ．(cos sin )x e x x +
B ．(cos sin )x e x x -
C ．(cos sin )x e x x -+
D ．(cos sin )x e x x --
【答案】B 【解析】
分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案
详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），
∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ，
∴f 1（x ）'
f x e x cosx ，
∴f 1′（x ）e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'
f x =e x （cosx ﹣sinx ），
∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ，
∴f 3（x ）=e x sinx ，
∴f 3′（x ）=e x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ，
∴f 5（x ）=e x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ），
∴f 7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，
∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin x
e
x x -，
点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
8．已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆2
21x y m
+=的离心率为
A ．
3
B ．2
C ．
3
或2 D ．
2
【答案】A 【解析】 【分析】
由1，m ，9构成一个等比数列，得到m=±1．当m=1时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣1时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率． 【详解】
∵1，m ，9构成一个等比数列， ∴m 2=1×9， 则m=±1．
当m=1时，圆锥曲线2x
m +y 2=13
； 当m=﹣1时，圆锥曲线2x m
+y 2
=1是双曲线，故舍去，
故选A ． 【点睛】
本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．
9．某学校高三模拟考试中数学成绩X 服从正态分布()75,121N ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（ ）人．
参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=） A ．261
B ．341
C ．477
D ．683
【解析】
分析：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是0.6826，根据概率求出位于6486（，）这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果．
详解：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是(75117511)0.682?6P X －
＋＝<<，则估计数学成绩在75分到86
分之间的人数约为1
10000.682?63412
⨯⨯≈人. 故选B .
点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关
75X =于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．
10．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）
A ．
932
B ．
516
C ．38
D ．
716
【答案】C 【解析】
分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和．
详解：设小正方形的边长为12，高为2
2
；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，
所以
21
222
322P 82222
+⨯⨯=
=⨯， 故选C ．
点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型． 11．设函数()()21,04,0
x
log x x f x x ⎧-<=⎨
≥⎩，则()()233f f log -+=（ ）
A ．9
B ．11
C ．13
D ．15
【答案】B 【解析】 【分析】
根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】
∵函数2log (1),0
()4,0x
x x f x x -<⎧=⎨≥⎩
， ∴()2l 23
og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=1．
故选B ． 【点睛】
本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．
12．若变量x y ，满足约束条件1
11x y y x x +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
，则2z x y =+的取值范围是( )
A ．[]
1,2 B ．[]
1,4
C ．[]
2,4
D ．[]
1,3
【答案】B 【解析】
分析：根据约束条件画出平面区域，再将目标函数2z x y =+转换为2y x z =-+，则z 为直线的截距，通过平推法确定z 的取值范围.
详解：（1）画直线1x y +=，-1y x =和1x =，根据不等式组确定平面区域，如图所示.
（2）将目标函数2z x y =+转换为直线2y x z =-+，则z 为直线的截距. （3）画直线2y x =-，平推直线，确定点A 、B 分别取得截距的最小值和最大值.
易得(0,1)A ,联立方程组11x y x =⎧⎨-=⎩,解得1
2
x y =⎧⎨=⎩，B 坐标为(1,2)
（4）分别将点A 、B 坐标代入2z x y =+，min 1z =，max 4z =
∴2z x y =+的取值范围是[]1,4
故选B.
点睛：本题主要考查线性规划问题，数形结合是解决问题的关键. 目标函数z ax by =+型线性规划问题解题步骤： （1）确定可行区域
（2）将z ax by =+转化为-a z y x b b
=+，求z 的值，可看做求直线a z
y x b b =-+，在y 轴上截距z b
的最值。

（3）将a
y x b =-
平移，观察截距z b
最大（小）值对应的位置，联立方程组求点坐标。

（4）将该点坐标代入目标函数，计算Z 。

二、填空题：本题共4小题
13．在如图三角形数阵中，从第3行开始，每一行除1以外，其它每一个数字是它上一行的左右两个数字之和.已知这个三角形数阵开头几行如图所示，若在此数阵中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4:5:6，则这一行是第__________行（填行数）.
【答案】98 【解析】 【分析】
通过杨辉三角可知每一行由二项式系数构成，于是可得方程组，求出行数. 【详解】
三角形数阵中，每一行的数由二项式系数,0,1,2,
k
n
C k n =，组成.如多第n 行中有14
15
k n k n C k C n k -=
=-+，1
15
6k
n k n C k C n k ++==-，那么9445116k n n k -=⎧⎨-=⎩，解得9844n k =⎧⎨=⎩
，因此答案为98. 【点睛】
本题主要考查杨辉三角，二项式定理，意在考查学生数感的建立，计算能力及分析能力，难度中等.
14．若()*212n
x n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝
⎭N 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________. 【答案】1 【解析】
分析：利用二项式系数的性质求得n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．
详解：212n
x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数和为264n =，，则6n = ； 则6
221122n x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭展开式的通项公式为626631661212r r r r r r
r r r T C x x C x ----+=⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅（）（）（），
令630r -=，求得2r ，可得展开式中的常数项是22
4612240C ⋅-⋅=（
）， 故答案为1．
点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 15．复数z 满足21z i -+=，则z 的最小值是___________．
1 【解析】 【分析】
点z 对应的点在以()2,1-为圆心，1为半径的圆上，要求||z 的最小值，只要找出圆上的点到原点距离最小的点即可，求出圆心到原点的距离，最短距离要减去半径即可得解. 【详解】 解：
复数z 满足21z i -+=，
∴点z 对应的点在以()2,1-为圆心，1为半径的圆上，
要求||z 的最小值，只要找出圆上的点到原点距离最小的点即可，
1
1 【点睛】
本题考查复数的几何意义，本题解题的关键是看出复数对应的点在圆上，根据圆上到原点的最短距离得到要求的距离，属于基础题．
16．函数()(
)2
ln 2f x x =-的定义域为______.
【答案】()
2,2- 【解析】 【分析】
根据()f x 有意义，需满足220x ->，解出x 的范围即可． 【详解】
要使()f x 有意义，则：220x ->；
22x ∴-<<；
()f x ∴的定义域为()
2,2-．
故答案为：()
2,2-． 【点睛】
本题主要考查函数定义域的求法，以及对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，属于容易题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，多面体ABCDEF 中，,,BA BC BE 两两垂直，且AB
EF ，CD
BE ，2AB BE ==，
1===BC CD EF .
(Ⅰ) 若点G 在线段AB 上，且3=BG GA ，求证: CG 平面ADF ； (Ⅱ)求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值； (Ⅲ)求锐二面角B DF A --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ7；（Ⅲ21
【解析】
试题分析：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连接,,MF GH DH ，由已知条件推导出四边形CDHG 是平行四边形，从而得到CG DH ，即可证明CG 平面ADF ；（Ⅱ）以B 点为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用法向量即可求出直线DE 与平面ADF
所成的角的正弦值；（Ⅲ）分别求出平面ADF 的法向量和平面BDF 的法向量，利用向量法即可求出二面角B DF A --的余弦值.
试题解析：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连接,,MF GH DH ，则有AG GM =，//MF BE . ∵AH HF =，
∴1//
2GH MF ，又∵1
//,//2
CD BE BE MF ，∴//CD GH ， ∴四边形CDHG 是平行四边形， ∴CG DH ，
又∵CG ⊄平面ADF ，DH ⊂平面ADF ，∴CG 平面ADF ；
（Ⅱ）如图，以B 点为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则()()()0,0,2,1,0,0,1,1,0,A C D ()()0,2,0,0,2,1E F ，
()1,1,0DE =-，()1,1,2DA =--，()0,2,1FA =-，
设平面ADF 的一个法向量()1,,n x y z =，则有
2020
n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎨
⋅=-+=⎩，化简，得32x y z y =⎧⎨=⎩， 令1y =，得()13,1,2n =，
设直线DE 与平面ADF 所成的角为θ，则有7
sin 7
n DE n DE
θ⋅=
=
⋅， ∴直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值为
77
；
（Ⅲ）由已知平面ADF 的法向量()13,1,2n =，()0,2,1BF =，()1,10BD = 设平面BDF 的一个法向量()2,,n x y z =，则有
∴22200n BF y z n BD x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，∴
2x y
z y
=-⎧⎨
=-⎩，令1y =-，则()21,1,2n =-， 设锐二面角B DF A --的平面角为α，
则121212
cos cos ,n n n n n n α⋅==
⋅ 21
7146
=
=⋅， ∴锐二面角B DF A --的余弦值为
21
7
. 18．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？ 【答案】（1）115（2）186 【解析】 【分析】 【详解】
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，
红球4个，取法有种， 红球3个和白球1个，取法有种； 红球2个和白球2个，取法有
种；
根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有12490115++=种． （2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.
第一种，4红1白，取法有41
466C C =种； 第二种，3红2白，取法有32
4660C C ⋅=种， 第三种，2红3白，取法有23
46120C C ⋅=种，
根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有660120186.++=
19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率33
e =，左、右焦点分别为12,F F ，且2F 与抛物线2
4y x
=的焦点重合.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，求AC BD +的最小值.
【答案】（1）椭圆的标准方程为22132x y +=；
（2）AC BD +的最小值为3
5
. 【解析】
试题分析：（1）由题可知）抛物线2
4y x =的焦点为()1,0，所以1c =，然后根据离心率可得a 值，从而
得出椭圆标准方程（2）根据题意则需求出AC 和BD 的长度表达式，显然可以根据直线与椭圆的弦长公式
求得，所以设()11,B x y ，()22,D x y ，直线BD 的方程为()1y k x =+，代入椭圆方程22132
x y +=
，
12BD x x =-=
AC
的长度，然后化简即得
)
2221
113223AC BD k k k ⎛⎫+=++ ⎪+
+⎝⎭
)
(
)())
(
)()
)
(
)
2
2
2
2222
2
2
2
2
2
2
1
1
13223251
32234
2k k k k k k k
k +++=
≥
=
=
++⎡⎤
++++⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦
.
解析：
（1）抛物线2
4y x =的焦点为()1,0，所以1c =，
又因为13
c e a
a =
==
，所以a = 所以2
2b =，所以椭圆的标准方程为22
132
x y +=.
（2）（i ）当直线BD 的斜率k 存在且0k ≠时，
直线BD 的方程为()1y k x =+，代入椭圆方程22
132
x y +=，
并化简得(
)
2
222
326360k x k x k +++-=.
设()11,B x y ，()22,D x y ，则2122632k x x k +=-+，2122
36
32
k x x k -=
+，
12BD x x =-=
)22132
k k +=
+.
易知AC 的斜率为1k
-
，
所以)
2222111
12332k k AC k k
⎫
+⎪+⎝⎭==+⨯+
. )2
221113223AC BD k k k ⎛⎫+=++ ⎪
++⎝⎭
)
(
)(
)
)
()()
2
2
222
22221
1
322332232k k k k k k ++=≥++⎡⎤+++⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦
)(
)2
22
212514
k k +=
=
+.
当21k =，即1k =±时，上式取等号，故AC BD +
（ii ）当直线BD
的斜率不存在或等于零时，易得35
AC BD +=
>
. 综上，AC BD +
的最小值为
5
. 点睛：本题要熟悉椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系问题，在求解椭圆中的最值问题时务必先求出表达式结合不等式即可得出结论，同时直线与椭圆的弦长公式也要非常熟悉 20． [选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a a =++.
（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求a 的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式2
()4f x k k ≥--恒成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）1a =-（2）[1,2]- 【解析】
试题分析：（1）由条件得12x a a +≤-，进而得2112a x a a -≤+≤-，解得不等式对应解集为
{|24}x x -≤≤，即可得解；
（2）不等式()2
4f x k k ≥--恒成立，只需()2
min 4f x k k ≥--，从而得解.
试题解析：
解：（1）因为21x a a ++≤，所以12x a a +≤-， 所以2112a x a a -≤+≤-，所以113a x a -≤≤-. 因为不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，
所以12
134
a a -=-⎧⎨
-=⎩，解得1a =-.
（2）由（1）得()12f x x =--.不等式()2
4f x k k ≥--恒成立， 只需()2
min 4f x k k ≥--，
所以224k k -≥--，即220k k --≤，
所以k 的取值范围是[]
1,2-.
21．已知函数()2
ln f x x ax =-（a ∈R ）．
（1）讨论y ＝f （x ）的单调性；
（2）若函数f （x ）有两个不同零点x 1，x 2，求实数a 的范围并证明12x x e >． 【答案】（1）见解析；（2）10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，证明见解析
【解析】 【分析】
（1）先求得函数的单调区间，然后求函数的导数，对a 分成0,0a a ≤>两种情况，分类讨论函数的单调区间.（2）令()0f x =，分离常数a ，构造函数()2ln x
g x x
=，利用导数求得()g x 的单调区间和最大值，
结合图像求得a 的取值范围.构造函数()()e F x g x g x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
（x >，利用导数证得()0F x >在)
+∞成立，从而证得()e g x g x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
在
)
+∞上成立.根据()g x 的单调性证得12x x e >.
【详解】
函数的定义域为()0,x ∈+∞
()2121
2ax f x ax x x
-=
'+=- 当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上为增函数；
当0a >时，()0f x '=，x =
，()0f x ⎛ ' ⎝
在有()0f x '>，
在()f x ⎫
+∞⎪'⎪⎭
在有()0f x '<，
即()()0f x f x ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
在上为增函数，在上为减函数， 综上：当0a ≤时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数；
当0a >时，()()0f x f x ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
在上为增函数，在上为减函数.
（2）()2
ln f x x ax =-有两个不同的零点，即2ln 0x ax -=有两个不同的根，
即2ln x
a x
=
有两个不同的根，
即()2ln x
y a
g x x
==
与 有两个不同的交点； ()312ln x
g x x -'=，()()()
0,g x e e +∞在，为增函数，为减函数， ()
12g
e e
=，当1x >时，()0g x >
()g x 图像如图所示：
故10,
2a e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
. 由上设120x e x <<< 令()()e F x g x g x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
（x e > ()()()
()422322ln 1x e x e e F x g x g x x x e --⎛⎫=+= ⎪⎝'''⎭
当x e >
()0F x '>，故()()e F x g x g x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
在)
,e +∞上为增函数，
(0F
e =，从而有()(
)
0,F x e >+∞在成立，
即()e g x g x ⎛⎫
>
⎪⎝⎭
，而)
2,x e ∈+∞
则()22e g x g x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭，又因为()()12g x g x >
所以()()122e g x g x g x ⎛⎫
>> ⎪⎝⎭
，
又(12
,
e
x e x ∈，()(0g x e 在，上为增函数， 故12
e
x x >
，即证12x x e >. 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查利用导数研究零点问题，考查利用导数证明不等式，综合性很强，属于难题.
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4
ρθπ
+=. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.
【答案】（1）1C ：2
213
x y +=，2C ：40x y +-=；
（2）min PQ =31(,)22P . 【解析】
试题分析：（1）1C 的普通方程为2
213
x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；
（2）由题意，可设点
P 的直角坐标为,sin )αα⇒P 到2C 的距离
π
()sin()2|
3d αα=
=+-
⇒
当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31
(,)22.
试题解析： （1）1C 的普通方程为2
213
x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.
（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C
的距离()d α的最小值，π
()sin()2|
3d αα==+-.
当且仅当π2π()6
k k α=+
∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31
(,)22.
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．。