甘肃省兰州市2021届新高考第二次大联考数学试卷含解析

甘肃省兰州市2021届新高考第二次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）
A ．
2116
B ．
32
C ．
2516
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设
(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD 为等边三角形，3BD =(01)DE tDC t =≤≤
AE BE ⋅2
23
()()()2
AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=
+⋅+ =2
33
322
t t -
+(01)t ≤≤ 所以当1
4t =时，上式取最小值
2116
，选A. 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。

同时利用向量共线转化为函数求最值。

2．设m ，n 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．
因为m ，n 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=， 所以向量m ，n 共线且方向相反， 所以0m n ⋅<，即充分性成立；
反之，当向量m ，n 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<，但此时m ，n 不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】
判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 3．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0 B ．1
C ．3
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ，得312n n n a a a ++++=，相加即可找到数列{}n a 的周期，再利用
2019S =6123336S a a a +++计算.
【详解】
由已知，21n n n a a a +++=①，所以312n n n a a a ++++=②，①+②，得3n n a a +=-，
从而6n n a a +=，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以60S =，
2019126123336()01214S a a a a a a =++
++++=+++=.
故选：D. 【点睛】
本题考查周期数列的应用，在求2019S 时，先算出一个周期的和即6S ，再将2019S 表示成6123336S a a a +++即可，本题是一道中档题.
4．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）
A ．3
()3x f x x =-
B ．e e ()x x
f x x --= C ．2()f x x x =-
D ．||
e ()x
f x x
=
【解析】 【分析】
根据图象可知，函数()f x 为奇函数，以及函数在()0,∞+上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出． 【详解】
首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，e e ()x x
f x x
--=为偶函数，不符合题意，排除B ；
其次，在剩下的3个选项,对其在()0,∞+上的零点个数进行判断, ||
e ()x
f x x
=在()0,∞+上无零点, 不符合
题意，排除D ；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 2
()f x x x
=-在()0,∞+上单调递减, 不符合题意，排除C. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题． 5．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8 B ．7
C ．6
D ．5
【答案】B 【解析】
根据题意满足条件的安排为：A （甲，乙）B （丙）C （丁）；A （甲，乙）B （丁）C （丙）；A （甲，丙）B （丁）C （乙）； A （甲，丁）B （丙）C （乙）； A （甲）B （丙，丁）C （乙）；A （甲）B （丁）C （乙，丙）；A （甲）B （丙）C （丁，乙）；共7种，选B.
6．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ） A ．
314
B ．
1114
C ．
114
D ．27
【答案】B 【解析】 【分析】
分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
从“八音”中任取不同的“两音”共有2
828C =种取法；
“两音”中含有打击乐器的取法共有22
8422C C -=种取法；
∴所求概率22112814
p =
=. 故选：B . 【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.
7．己知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点,M N 分别在抛物线C 上，且
30MF NF +=，直线MN 交l 于点P ，NN l '⊥，垂足为N '，若MN P '∆的面积为243，则F 到l 的
距离为（ ） A ．12 B ．10
C ．8
D ．6
【答案】D 【解析】 【分析】
作MM l '⊥，垂足为M '，过点N 作NG MM '⊥，垂足为G ，设(0)NF m m =>，则3MF m =，结合图形可得2MG m =，||4MN m =，从而可求出60NMG ∠=︒，进而可求得6MP m =，
3N P m '=，由MN P '∆的面积1
2
△MN P S MM N P '''=⋅⋅243=即可求出m ，再结合F 为线段MP 的
中点，即可求出F 到l 的距离． 【详解】 如图所示，
作MM l '⊥，垂足为M '，设(0)NF m m =>，由30MF NF +=，得3MF m =，则3MM m '=，
NN m '=.
过点N 作NG MM '⊥，垂足为G ，则M G m '
=，2MG m =， 所以在Rt MNG ∆中，2MG m =，||4MN m =，所以||1
cos ||2
MG GMN MN ∠==， 所以60NMG ∠=︒，在Rt PMM '∆中，||3MM m '=，所以6cos60
MM MP m '
==，
所以2NP m =，3N P m '=， 所以 11
3324322
MN P S MM N P m m '''=
⋅⋅=⋅⋅=△．解得4=m ， 因为||||||3||FP FN NP m FM =+==，所以F 为线段MP 的中点， 所以F 到l 的距离为||3622
MM m
p '===． 故选：D 【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题．
8．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ） A ．17 B ．4
C ．2
D ．117+
【答案】B 【解析】 【分析】
设抛物线焦点为F ，由题意利用抛物线的定义可得，当,,P M F 共线时，MP d +取得最小值，由此求得答案. 【详解】
解：抛物线焦点()0,1F ，准线1y =-， 过M 作MN l ⊥交l 于点N ，连接FM
由抛物线定义MN MF d ==，
244MP d MP MF PF ∴+=+≥==，
当且仅当,,P M F 三点共线时，取“＝”号， ∴MP d +的最小值为4. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A ．113
B ．4
C ．133
D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可. 【详解】
如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积
11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体 12121
242222422222423232
=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.
10．已知函数()ln a
f x x a x
=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤
-⎢
⎥-⎣⎦
B ．e ,11e ⎡⎫
⎪⎢
-⎣⎭ C ．e ,11e ⎡⎫
-⎪⎢
-⎣⎭
D ．[
)1,e - 【答案】C 【解析】 【分析】
对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解. 【详解】 ∵()21a f x x x +'=
= 2x a
x
+，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]
1,e 上单调递减，也不合题意.
当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(]
,e x a ∈-时，()0f x '>，
()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需
()10a f e a e =-
+≥即可，解得11e a e
≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢
-⎣⎭
. 故选C. 【点睛】
本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．
11．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米 B ．63厘米
C ．69厘米
D ．76厘米
【答案】B 【解析】 【分析】
由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【详解】
因为弧长比较短的情况下分成6等分，
所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，
故导线长度约为230203
π
π⨯=≈63(厘米). 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题. 12．已知函数()1x
f x xe
-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内
都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e
-
C ．22(,]e e e e
-
+ D ．2
(1,]e e
-
【答案】D 【解析】 【分析】
将原题等价转化为方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断
()0,1x ∈时，
()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2
()ln 1F x x x ax =-++，求导得
221
()x ax F x x
'
--=-
，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，
()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；
【详解】
函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，
等价于方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.
111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.
设2
()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x
'
--=-+=-，
若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.
设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；
当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.
因为0(0,]x e ∀∈，方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，
所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e
≤-
. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2
111ln 0x x ax -+>.
因为2
11210x ax --=，所以11
12a x x =-
，代入2111ln 0x x ax -+>，得2
11ln 10x x +->. 设()2
ln 1m x x x =+-，()1
20m x x x
'=
+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由2
11ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.
由1112a x x =-
在()1,e 上是增函数，得112a e e
<<-. 综上所述2
1a e e
<≤-， 故选：D. 【点睛】
本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC
中，AB =1BC =，23
C π
∠=
，则AC =__________． 【答案】1 【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理可得220AC AC +-=，即可解得AC 的值． 【详解】 解：
3AB =，1BC =，23
C π∠=
， ∴由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC C =+-，
可得2
13121()2
AC AC =+-⨯⨯⨯-，整理可得：220AC AC +-=，
∴解得1AC =或2-（舍去）．
故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
14．已知函数()221
1
x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长
的三角形，则实数k 的取值范围是_______.
【答案】1,42⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据三角形三边关系可知()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,将()f x 的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由1k -的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论k ,转化为()()12f x f x +的最小值与()3f x 的最大值的不等式,进而求出k 的取值范围. 【详解】
因为对任意正实数123,,x x x ,都存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形, 故()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,
()()222
11
1111111k x x kx k f x x x x x x x
-++-==+=+++++++,令113t x x =++≥, 则()1
13k y t t
-=+
≥, 当10k ->,即1k >时,该函数在[
)3,+∞上单调递减,则21,3k y +⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
； 当1k =,即1k =时,{}1y ∈,
当10k -<,即1k <时,该函数在[
)3,+∞上单调递增,则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
, 所以,当1k >时,因为()()122423k f x f x +<+≤,()32
13
k f x +<≤, 所以
2
23
k +≤,解得14k <≤； 当1k =时,()()()1231f x f x f x ===,满足条件；
当1k <时,
()()122423k f x f x +≤+<,且()32
13
k f x +≤<, 所以
2413
k +≥,解得1
12k -≤<, 综上,1
42
k -≤≤,
故答案为:1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.
15．已知点P 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，过点P 的一条直线与圆2222x y a b +=+相交于, A B
两点，若存在点P ，使得2
2
||||PA PB a b ⋅=-，则椭圆的离心率取值范围为_________.
【答案】⎫⎪⎪⎣⎭
【解析】 【分析】
设()00,P x y ，设出直线AB 的参数方程，利用参数的几何意义可得22
||||,PA PB b a ⎡⎤∈⎣⎦,由题意得到
222a b ，据此求得离心率的取值范围.
【详解】
设()00,P x y ，直线AB 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α
=+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)
代入圆2222x y a b +=+，
化简得：()2
2
2
2
2
00002cos sin 0t x y t x y a b αα++++--=，
()
22222222
120000||||PA PB t t x y a b a b x y ∴==+--=+-+， 2222
00,x y b a ⎡⎤+∈⎣⎦， 22
||||,PA PB b a ⎡⎤∴∈⎣⎦，
存在点P ，使得22
||||PA PB a b ⋅=-，
222a b b ∴-，即222a b ， 222a c ∴，
21
2
e ∴，
12
e ≤<，
故答案为：2⎫
⎪⎪⎣⎭
【点睛】
本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题.
16．已知函数()()2
3241f x ax x a x =+++--的最小值为2，则a =_________．
【答案】12
【解析】 【分析】
首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值. 【详解】
根据题意可知()()()()2222
242,24102244,2410x x x a x f x x a x x a x ⎧+++--≥⎪
=⎨-+-++--<⎪⎩
， 可以发现当2x =-或0x =时是分界点，
结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是2x =-是分界点， 故()()()2
224210a ⨯-+-⨯--=，解得12a =，故答案是1
2
. 【点睛】
本题主要考查分段函数的性质，二次函数的性质，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的*
()
n n N ∈个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为
1
2
，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种． （1）当n 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当4n =时，用X 表示要补播种的坑的个数，求X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为5
16
； （2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）将有3个坑需要补种表示成n 的函数，考查函数随n 的变化情况，即可得到n 为何值时有3个坑要补播种的概率最大．（2）n ＝1时，X 的所有可能的取值为0，1，2，3，1．分别计算出每个变量对应的概
率，列出分布列，求期望即可． 【详解】
（1）对一个坑而言，要补播种的概率33
013
3111222
P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 有3个坑要补播种的概率为312n
n
C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 欲使312n
n C ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，只需1
3311
33111221122n n n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
， 解得56n ≤≤，因为*n N ∈，所以5,6,n =
当5n =时，5
35
15216
C ⎛⎫= ⎪⎝⎭；
当6n =时，6
3615216
C ⎛⎫= ⎪
⎝⎭； 所以当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516
. （2）由已知，X 的可能取值为0，1，2，3，1.14,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
， 所以X 的分布列为
X 的数学期望422
EX =⨯
=. 【点睛】
本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题．
18．选修4-5：不等式选讲
设函数()()22,f x x a x x R a R =+--∈∈. （1）当1a =-时，求不等式()0f x >的解集；
（2）若()1f x ≥-在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()(),11,-∞-+∞；
（2）[]6,2-- 【解析】
（1）当1a =-时，将原不等式化简后两边平方，由此解出不等式的解集.（2）对a 分成
4,4,4a a a <-=->-三种情况，利用零点分段法去绝对值，将()f x 表示为分段函数的形式，根据单调
性求得a 的取值范围. 【详解】
（1）1a =-时，()0f x >可得212x x ->-，即()()2
2
212x x ->-，
化简得：()()3310x x -+>，所以不等式()0f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞.
（2）①当4a <-时，()2,232,2,22,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪---<⎪
⎪
=--+≤≤-⎨⎪
⎪
++>-⎪⎩由函数单调性可得
()min 2122
a a
f x f ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得；64a -≤<-
②当4a =-时，()()min 2,01f x x f x =-=≥-，所以4a =-符合题意；
③当4a >-时，()2,232,2,22,2a x a x a f x x a x x a x ⎧
---<-⎪⎪
⎪
=+--≤≤⎨⎪
++>⎪⎪⎩
由函数单调性可得，
()min 2122a a f x f ⎛⎫
=-=--≥- ⎪⎝⎭
，解得42a -<≤-
综上，实数a 的取值范围为[]
6,2-- 【点睛】
本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题. 19．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.
（1）若函数()f x 在()0+∞，
上单调递减，且函数()g x 在02
，上单调递增，求实数m 的值；
（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+++⋯+<
⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（*n N ∈，且2n ≥）. 【答案】（1）1；（2）见解析 【解析】
（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln
1x x +<，当02
x π<<时，sin x x <，因而()()
*111sin1sin
sin sin 0,213,221n N n n n
⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，从而不等式可证明. 【详解】
（1）∵函数()f x 在()0+∞，
上单调递减， ∴()101m
f x x
'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，
上恒成立， ∴1m ，
又∵函数()g x 在02
，
上单调递增，
∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02
，上恒成立，m 1≥，
∴综上可知，1m =.
（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数
()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，
上为减函数， ()sin g x x x =-在02
，上为增函数，而()()00,00f g ==，
∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02
x π
<<时，sin x x <. ∴()()
*111sin1sin
sin sin 0,213,221n N n n n
⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ ()111
sin1sin
sin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯
()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+
++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
122n
=-
< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
， ∴()()()
2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+⋯+<∈≥
⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，. 【点睛】
本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 20．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()2
2a b c ab -=-. （1）求角C ；
（2）若4cos sin 02c A b C π⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭，1a =，求ABC ∆的面积.
【答案】（1）3
π （2
【解析】 【分析】
（1）利用余弦定理可求cos C ，从而得到C 的值.
（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得4b a =，得到b 值后利用面积公式可求ABC S ∆. 【详解】
（1）由()2
2a b c ab -=-，得222a b c ab +-=.
所以由余弦定理，得222cos 1
22
a b c C ab +-==.
又因为()0,C π∈，所以3
C π
=.
（2）由4cos sin 02c A b C π⎛
⎫
+
+= ⎪⎝
⎭
，得4sin sin 0c A b C -+=. 由正弦定理，得4ca bc =，因为0c ≠，所以4b a =. 又因1a =，所以4b =. 所以ABC ∆
的面积11sin 14222
S ab C =
=⨯⨯⨯=.
【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
21．设函数.
(I)求的最小正周期；
(II)若且，求的值.
【答案】(I)；(II)
【解析】
【分析】
(I)化简得到，得到周期.
(II) ，故，根据范围判断，代入计算得到答案.
【详解】
(I)
，故.
(II) ，故，，
，故，，
故，故，
.
【点睛】
本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22．己知圆F 1：(x+1)1 +y 1= r 1(1≤r≤3)，圆F 1：(x-1)1+y 1= (4-r)1． （1）证明：圆F 1与圆F 1有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；
（1）已知点Q(m ，0)(m<0)，过点E 斜率为k(k≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为k 1，直线QN 的斜率为k 1，是否存在实数m 使得k(k 1+k 1)为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析，22143
x y +=（1）存在，2m =-
【解析】 【分析】
（1）求出圆1F 和圆2F 的圆心和半径，通过圆F 1与圆F 1有公共点求出12F F 的范围，从而根据
124PF PF +=可得P 点的轨迹，进而求出方程；
（1）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线方程和椭圆方
程，根据韦达定理以及111y k x m =-，212y k x m =-，可得()2
12222
(624)4(1)312
m k k k k m k m -+=-+-，根据其为定值，则有23120m -=，进而可得结果. 【详解】
（1）因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以122F F =， 因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r -，
又因为13r ≤≤，所以|4|2r r --≤，即12|4||4|r r F F r r --≤≤-+， 所以圆1F 与圆2F 有公共点，
设公共点为P ，因此124PF PF +=，所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆， 所以24a =，12c a =⇒=
，b =
即轨迹E 的方程为22
143
x y +=；
（1）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，设()11,M x y ，()22,N x y
由22
143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
消去y 得到()2222
4384120k x k x k +-+-=， 则2122843
k x x k +=+，2122412
43k x x k -=+， ①
因为1
11y k x m
=
-，
212y k x m =-，
所以()()()121212121211k x k x y y k k k k k x m x m x m x m --⎛⎫
⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
()()()()()()2212211212121111x x m x x m x x k k x m x m x m x m --+--⎛⎫--=+= ⎪
----⎝⎭
()()2
12122
12122(1)2x x m x x m
k x x m x x m -+++=-++，
将①式代入整理得()2
12222
(624)4(1)312
m k k k k m k m -+=-+- 因为0m <，
所以当23120m -=时，即2m =-时，()121k k k +=-. 即存在实数2m =-使得()121k k k +=-. 【点睛】
本题考查椭圆定理求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，灵活应用韦达定理进行计算是关键，并且观察出取定值的条件也很重要，考查了学生分析能力和计算能力，是中档题.
23．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1,AC AB AB BC ⊥=.
（1）求证：1BC ⊥平面1AB C ；
（2）若11,60AB B C CBB ⊥∠=︒，求二面角111B AA C --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）1
7
【解析】 【分析】
（1）根据菱形性质可知11BC B C ⊥，结合1AC
AB ⊥可得1OA OC OB ==，进而可证明BOA BOC ∆≅∆，
即1BC OA ⊥，即可由线面垂直的判定定理证明1BC ⊥平面1AB C ；
（2）结合（1）可证明1,,OA OB OB 两两互相垂直.即以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，||OB 为
单位长度，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面11B AA 和平面11C AA 的法向量，即可求得二面角111B AA C --的余弦值. 【详解】
（1）证明：设1
1BC B C O =，连接OA ，如下图所示：
∵侧面11BB C C 为菱形，
∴11BC B C ⊥，且O 为1B C 及1BC 的中点， 又1AC
AB ⊥，则1CAB ∆为直角三角形，
1OA OC OB ∴==，
又AB BC =，
(),BOA BOC SSS ∴∆≅∆ OA OB ∴⊥，即1BC OA ⊥，
而1,OA B C 为平面1AB C 内的两条相交直线，
1BC ∴⊥平面11AB C .
(2)
1111,,AB B C BC B C AB BC B ⊥⊥⋂=
1B C ∴⊥平面ABO ，
AO ⊂平面ABO ，
1B C AO ∴⊥，即1OA OB ⊥，
从而1,,OA OB OB 两两互相垂直.
以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，||OB 为单位长度，建立如图的空间直角坐标系O xyz -
160CBB ∠=︒，
1CBB ∴∆为等边三角形，
AB BC =，
333(0,A B C ∴， 1111333330,,,1,,0,0,AB AA BB AC AC ⎛⎫⎛⎫⎛∴=-==-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设平面11B AA 的法向量为(,,)n x y z =，则1100n AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3()0330y z x y -=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
， ∴可取(1,3,3)n =，
设平面11C AA 的法向量为m ，则11100m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
. 同理可取(1,3,3)m =-
1cos ,7
77n m
n m n m ⋅<>===⋅⨯， 由图示可知二面角111B AA C --为锐二面角，
∴二面角111B AA C --的余弦值为
17
. 【点睛】
本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值，注意建系时先证明三条两两垂直的直线，属于中档题.。