2020版高中数学高二选修2-1教案及练习归纳整理35巩固练习空间向量的直角坐标运算(提高)

【巩固练习及参考答案解析】
一、选择题
1.在空间直角坐标系O —xyz 中,下列说法正确的是( )
A.向量AB 的坐标与点B 的坐标相同
B.向量AB 的坐标与点A 的坐标相同
C.向量AB 的坐标与向量OB 的坐标相同
D.向量AB 与向量OB OA -的坐标相同 2.(2015 云南一模)已知(3,2,5)a =-,(1,,1)b x =-,且2a b ⋅=,则x 的值为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
3.已知向量a=(1,1,0),b=(－1,0,2),且ka ＋b 与2a －b 互相垂直,则k 值是( ). A.1 B.
15 C.35 D.75
4.已知△ABC 的三个顶点为A(3,3,2),B(4,－3,7),C(0,5,1),则BC 边上的中线长为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
5.已知a=(cos α,1,sin α),b=(sin α,1,cos α),则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ). A.90° B.60° C.30° D.0°
6.(2015 青海校级期中)已知P(3cos α,3sin α,1)和Q(2cos β,2sin β,1),则|PQ|的取值范围是( )
A.[1,5]
B.(1,5)
C.[0,5]
D.[0,25]
7.(2015春 保定期末)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,直线A 1C 与BD 所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90° 二、填空题
8.已知a =(2,－1,3),b =(―4,2,x),且a ⊥b ,则x 的值是________。

9.若(1,,2)λ=a ,(2,1,2)=-b ,且a 与b 夹角的余弦值为
8
9
,则λ等于 10.已知a ＝｛8,-1,4｝,b ＝｛2,2,1｝,则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为 .
11.已知向量a=(0,－1,1),b=(4,1,0),||a b λ+=且0λ>,则λ=________.
三、解答题
12.设231(,,)a a a a =,231(,,)b b b b =,且a b ≠,记||a b m -=, 求a b -与x 轴正方向的夹角的余弦值.
13.已知空间三点A (0,2,3),B (－2,1,6),C (1,－1,5)
⑴ 求以向量,AB AC 为一组邻边的平行四边形的面积S;
⑵ 若向量a 分别与向量,AB AC 垂直,且|a |＝3,求向量a 的坐标. 14.如下图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点.
A
C 1
(1)证明AD ⊥D 1F ;
(2)求AE 与D 1F 所成的角; (3)证明面AED ⊥面A 1D 1F .
15. 如下图,直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中,CA =CB =1,∠BCA
=90°,棱AA 1=2,
M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.
A x
N (1)求的长;
(2)求cos 〈11BA CB ，〉的值; (3)求证:A 1B ⊥C 1M .
【答案与解析】
1.【参考答案】D
【试题解析】空间向量的坐标有两种形式可以得到: (1)将向量的起点移到原点,终点坐标就是向量的坐标;
(2)向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

2.【参考答案】C
【试题解析】∵(3,2,5)a =-,(1,,1)b x =-, ∴3252a b x ⋅=-+-=,
解得x=5 故选C 。

3.【参考答案】D
【试题解析】 ka ＋b=(k ―1,k,2),2a ―b=(3,2,―2),
且(ka ＋b)·(2a ―b)=3(k ―1)＋2k ―4=0,∴7
5
k =。

4.【参考答案】B
【试题解析】法一:BC 边上的中线长|||
1()|2
AD AB AC −−→
−−→−−→
=+1
|
(2,4,4)|32
=--=。

法二:由中点坐标公式可得BC 边上的中点为D （2，1，3）,再由两点间的距离公式可得||3AD =
5.【参考答案】A
【试题解析】 ∵a ＋b=(cos α＋sin α,2,sin α＋cos α),a ―b=(cos α―sin α,0,sin α―cos α),
∴(a ＋b)·(a ―b)=cos 2α―sin 2α＋sin 2α―cos 2α=0,∴(a ＋b)⊥(a ―b)。

6.【参考答案】A
【解答】∵P(3cos α,3sin α,1)和Q(2cos β,2sin β,1),
∴||PQ =
∴|PQ|的取值范围是[1,5]。

故选:A 。

7.【参考答案】D
【试题解析】如图,分别以D 1A 1,D 1C 1,D 1D 三直线为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体的边长为1,则:
A 1(1,0,0),C(0,1,1),D(0,0,1),B(1,1,1);
∴1
(1,1,1)AC =-,(1,1,0)BD =--,
∴10AC BD ⋅= ∴1AC BD ⊥; 则A 1C ⊥BD;
∴直线A 1C 与BD 所成角为90°。

故选D 。

8.【参考答案】
103
【试题解析】a ⊥b ⇒a ·b =0,即2×(―4)＋(―1)×2＋3x=0,∴103
x =。

9.【参考答案】―2或
255
【试题
解
析
】
∵
cos ,||||
⋅〈〉=
a b a b a b ,∴
89==
, ∴λ=―2或
2
55。

10.【参考答案】95
【试题解析】 S=|a ||b |sin 〈a , b 〉求得. 11.【参考答案】3
【试题解析】 ∵a=(0,―1,1),b(4,1,0),∴λa ＋b=(4,1―λ,λ)。

∵||a b λ+=,∴16
＋(1―λ)2＋λ2=29。

∴λ=3或λ=―2。

∵λ＞0,∴λ=3。

12.【试题解析】
取x 轴正方向的任一向量(,0,0)c x =,设所求夹角为α, ∵22331111()(,,)(,0,0)()a b c a b a b a b x a b x -⋅=---⋅=- ∴1111()()cos ||||
a b c a b x a b
mx m a b c α-⋅--=
==-⋅,即为所求.
13.【试题解析】 ⑴
1
(2,1,3),(1,3,2),cos 2
||||AB AC AB AC BAC AB AC ⋅=--=-∴∠=
=
∴∠BAC ＝60°,||||sin 6073S AB AC ∴== ⑵ 设a ＝(x,y,z),
则230,a AB x y z ⊥⇒--+=222
320,||33a AC x y z a x y z ⊥⇒-+==⇒++=
解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1,∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1,－1,－1).
14.【试题解析】
取D 为原点,DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系,取正方体棱长为2,则A (2,0,0)、A 1(2,0,2)、D 1(0,0,2)、E (2,2,1)、F (0,1,0).
(1)∵·D 1 =(2,0,0)·(0,1,－2)=0,∴AD ⊥D 1F . (2)∵·D 1=(0,2,1)·(0,1,－2)=0, ∴AE ⊥D 1F ,即AE 与D 1F 成90°角. (3)∵·D 1=(2,2,1)·(0,1,－2)=0, ∴DE ⊥D 1F .∵AE ⊥D 1F ,∴D 1F ⊥面AE D. ∵D 1F 面A 1D 1F ,∴面AED ⊥面A 1D 1F .
15.【试题解析】
(1)依题意得B (0,1,0),N (1,0,1),
∴｜BN ｜=222)01()10()01(-+-+-=3. (2)A 1(1,0,2),B (0,1,0),C (0,0,0),B 1(0,1,2),
∴1BA =(1,－1,2),1CB =(0,1,2),1BA ·1CB =3,｜1BA ｜=6,｜1CB ｜=5. ∴cos 〈1BA ,1CB 〉11CB BA ⋅=
10
30. (3)证明:C 1(0,0,2),M (
21,2
1,2), B A 1=(－1,1,－2),M C 1=(21,2
1
,0),∴B A 1·M C 1=0,∴A 1B ⊥C 1M .。