包装袋设计

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包装盒包装盒形状和尺寸的最优设计形状和尺寸的最优设计形状和尺寸的最优设计
陈超卓陈超卓 陈迪陈迪 方秀飞
摘要
本文解决的是包装盒的形状和尺寸的最优设计问题，目的是通过建立一个数学模型研究包装盒的形状和尺寸如何才能节省钱最多。

问题一，通过实际测量饮料盒，长、宽等数据，以此作为原始数据进行研究。

问题二，通过计算得到，高与底之比为1：2
问题三，通过假设模型比较阐述标准型的包装盒为最优设计的原因。

问题四，我们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写的一篇短文。

一、问题重述
我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为250毫升的伊利优酸乳、蒙牛酸酸乳等) 的包装盒的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的包装盒来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个包装盒的话，可以节约的钱就很可观了。

现在我们小组通过研究包装盒的形状和尺寸的最优设计问题，来完成以下的任务：
1．取一个饮料量为250毫升的包装盒，例如250毫升的伊利优酸乳，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如包装盒各部分的长度、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2．设包装盒是一个底面为正方形的长方体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的包装盒的形状和尺寸，例如说，底边和高之比，等等。

3．利用你们对所测量的包装盒的洞察和想象力，做出你们自己的关于包装盒形状和尺寸的最优设计。

4．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(要求：500~1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

二、模型假设
1、本文研究包装盒形状和尺寸的最优设计，不考虑具体的用料，也不考虑包装盒的工艺过
程。

2、测量设备不完善，实际测量允许有一定的误差。

3、为了研究方便，模型不考虑厚度和封口处的密封条长度。

4、经过多个包装盒的研究，发现折角大多为45度，所以我们假设研究的几个模型的折角都为45度。

5、近似认为250ml的饮料与250cm3体积相等。

三、符号说明
V：本论文中几个模型中涉及的总容积的大小。

L：模型的长度。

W：模型的宽度。

H：模型的总高度。

h1：折角的高度。

h2：盒体的高度。

四、模型分析
本题解决的是实际生活中常见的问题，即设计出理想饮料盒：在体积一定的情况下，设计出表面积最小的饮料盒。

首先，实际测量现在市面上买的饮料盒的相关数据，比如长、宽、高等作为原始数据。

接下来进行最优设计，先从简单入手，首先假设饮料盒的形状为正方形为底的长方体，其次，假设饮料盒的形状为正方体，再者，假设饮料盒长、宽、高之比为2：2：1，最后和标准型的比较，从这四个方面设计出我们认为的最优设计。

接下来自己设计饮料盒的形状，分别从几个方面考虑，设计出美观、方便、成本低的饮料盒，最后谈谈设计这个模型的感想。

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五、模型模型的建立和的建立和的建立和求解求解
第一问第一问：：
首先，我们取蒙牛酸酸乳250ml 的纸盒饮料进行测量得出结果，如表1。

（单位：厘米）
表1 注：以此作为今后解题的基本数据。

第二问第二问：：
我们把包装盒近似认为是体积值一定的长方体（见图1），则设体积为V ，设长、宽、高分别为x 、y 、z ，总表面积为S ，然后根据要求，求其最小表面积S 。

(x=L,y=W,z=h2)
图1包装盒模型
求解：
依题意得，yz zx xy S 22++===∗∗+∗+∗x z x z x x 222xz xx 42+xx xz 242∗≥
xx xz S 242∗≥∴
当且仅当xx xz 24=时，即x z =2时取等号，所以高与底之比为1：2时为它的最优设计。

同理，我们假设模型为正方体时，可以算出它的最小面积。

名称 长度（L ） 宽度（W ） 总高度（H ） 底面高度（h1） 蒙牛酸酸乳 6.20 4.00
16.60 2.00
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依题意得，≥++=yz zx xy S 22232223yz zx xy ∗∗323yz zy xy ∗∗∗=
323yz zy xy S ∗∗∗≥∴
当且仅当yz zy xy ==时，即z y x ==时取等号。

即同样体积的长方体中，
正方体的表面积最小。

我们把实际例子中的250ml 代入上述公式，得到cm z y x 3.6≈==。

因此可以算出14.2383.63.666222=∗∗=∗∗=++=x x yz zx xy S cm 3
第三问第三问：：
（一）我们研究为什么标准型的包装盒为最优设计
我们在研究问题的过程中发现，实际包装盒存在封口的面积。

于是我们假设四种情况的包装盒的模型，即正方体、长方体（长：宽：高=2：2：1）、标准型（蒙牛酸酸乳），在考虑封口面积和不考虑封口面积的两个角度分析问题。

再根据模型纸盒，可以得到四个模型的相关数据，见表2，以及模型展开图，见图2。

（单位：厘米）
名称
长 宽 高 正方形为底的长方体
7.92 7.92 3.96 正方体
6.30 6.30 6.30 长方体
5.00 5.00 10.00 标准型 6,20
4.00 10.60
表2
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图2模型纸盒张开图
1、 不考虑封口
1）正方形为底的长方体：
)22(21h W h L W L S ∗+∗+∗==2(7.92*7.92+7.92*3.96+7.92*3.96)
=250.91 cm 2
2）正方体：
W L S ∗∗=62=6*6.3*6.3=238.14cm 2
3）长方体：
)22(23h W h L W L S ∗+∗+∗==2(5*5+5*10+5*10)=250cm 2
4）标准型：
)22(24h W h L W L S ∗+∗+∗==2(6.2*4+6.2*10.6+4*10.6)=265.84cm 2
2、考虑封口
1）正方形为底的长方体：
)212()22(5h h W L S +∗+==(2*7.92+2*7.92)*(2*3.96+3.96)=376.36 cm 2
2）正方体：
)212()22(6h h W L S +∗+== (2*6.3+2*6.3)*(2*3.15+6.3)=317.52 cm 2
3）长方体：
)212()22(7h h W L S +∗+==(2*5.0+2*5.0)*(2*2.5+10.0)=300cm 2
4）标准型：
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)212()22(8h h W L S +∗+==(2*6.2+2*4.0)*(2*2.0+10,6)=297.84 cm 2
由以上计算可得表3数据（单位：cm 2） 名称
表面积（有封口） 表面积（没有封口）
正方形为底的长方体
250.91 376.36 正方体
317.52 238.14 长方体
300.0 250.0 标准型 297.84
265.84
表3
我们分别研究了四个模型的所构成的外形，四者比较之下，我们认为标准型的包装盒外形美观，携带方便，像正方体的话，底部略大，携带不方便。

同时从表3数据可得标准型的表面积最小，即生产同样体积的饮料，标准型的用料最省。

所以从经济学角度和美学角度考虑，我们认为标准型的包装盒为最优设计。

（二）我们设想的包装盒
我们根据前四个模型得出的结论和规律，设计我们的包装盒为圆柱体造型。

模型分析与求解：
如图3所示，
图3圆柱体模型
设饮料盒的底面半径为r，高为h，表面积为S，则
当且仅当2πr2＝πrh＝πrh时，不等式中的等号成立。

由此可以得出h=2r
即当高和圆柱底面直径相等时，可使圆柱的表面积最小，因而饮料盒的用料也最省。

我们把实际例子中的250ml代入上述公式，可得r=3.27cm,h=6.54cm
S＝2πr2+2πrh=2πr2+πrh+πrh =201.45 cm2
因此，我们假设的模型的面积比标准型的饮料盒小，即用料省，但是在生产工艺复杂，而且上底和下底的边缘容易磨损，造成纸盒破裂。

第四问短文
这学期刚接触这门课时，还不明白什么是“数学建模”，只知道何为“数学”。

我们先来说说“数学”，数学就是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，与各种各样的应用问题紧密相关。

它的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，因为科学技术的发展和计算机的普及，解决问题也需要更精确，所以数学的广泛应用是在所难免的。

然而为什么会有“数学建模”呢？个人理解可能是对现实世界中的某些抽象复杂的问题，仅仅靠简单数学是不能精确解决的吧。

所以需要运用“数学建模”来解体。

我们小组通过本学期对这门课的认真学习和数次的实践，了解到数学建模就是把现实中的实际问题加以提炼抽象得到一个数学的模型 ，再对该模型进一步的求解，把抽象的东西返还到现实中。

构造模型过程的本质是：对实际现象的定量研究，而定量研究的重要性和挑战在于怎样建立能够更好地了解该现象,并可以应用数学方法来解决的这个问题. 而实际现象通常都是极为复杂的, 不经过理想化和简化是很难进行定量研究的. 简单说就是
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用数学语言描述实际现象的过程。

可知其两个很重要的属性是合理性和简易性。

例如为了包装盒形状和尺寸的最优设计，我们先对各种饮料包装盒的有关数据进行测量和比较，再将它们的形状简化为正方体，设变量和参数，然后解析或近似地求解该数学问题，最后验证结论的合理性，这就是一个数学建模。

数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤：
1. 问题描述及分析：对某个实际问题进行仔细观察并熟悉，了解实际情况，再分析问题。

2. 模型假设：洞察问题的各因素及主要矛盾难点，对问题作具体化和简化，提出合理的假设（包括情况假设、方法假设），整理思路。

3. 建立模型：寻找合适的数学方法来反映问题，根据某种“规律”(已知的各学科中的定律, 甚至是经验的规律) ，建立变量和参数间确定的数学关系试，建立模型。

4.模型求解：找到合适的算法解析模型或近似地求解该数学问题. 往往需要运用复杂的数学理论和方法, 近似方法和算法解决。

5.验证模型：用某种方法来验证模型及其结果的正确、可行，预测实际问题中出现的现象。

从我们小组对本次的试题的把握过程来看，我们认为数学建模中存在以下几个难点：
1.怎样从实际情况出发做出合理假设, 从而得到可行的数学模型；
2.问题中的数据多，问题的数学关系式建立及其求最合理的值；
3.模型求解后，不一定就符合实际情形，如不符合就需要及时对原模型及时修改再解，如此重复直至得到的结果符合实际情况；
4.问题较为开放，包装盒有多种，要搞出最优设计创新是难点；
5.验证模型的正确性和可行性，寻找合理的验证方法和准确的数据也是难点。

备注：
成员分工：
陈超卓：搜集资料，计算，绘制图形表格。

陈迪：测量数据，搜集资料，计算。

方秀飞：整理，总结文章（第四问）。

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