2021-2022年高考数学二轮专题复习知能专练十六直线与圆

2021年高考数学二轮专题复习知能专练十六直线与圆
一、选择题
1．已知直线l 的倾斜角为
π
4
，直线l 1经过点A (3,2)，B (－a,1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( )
A ．－4
B ．－2
C ．0
D ．2
解析：选B 由题知，直线l 的斜率为1，则直线l 1的斜率为－1，所以2－1
3＋a ＝－1，所
以a ＝－4.又l 1∥l 2，所以－2
b
＝－1，b ＝2，所以a ＋b ＝－4＋2＝－2，故选B.
2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )
A. 2
B.82
3
C. 3
D.833
解析：选B 由l 1∥l 2，得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋2
3＝0，所以l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
6－2312
＋－1
2
＝82
3
. 3．(xx 届高三·深圳五校联考)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2
＋y 2
＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
解析：选D 因为曲线x 2
＋y 2
＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝9，若圆(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.
4．(xx·嘉兴模拟)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )
A.45
π B.3π4
C ．(6－25)π
D.5π4
解析：选A 法一：设A (a,0)，B (0，b )，圆C 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，b
2，2r ＝a 2＋b 2
，由题知
圆心到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a ＋b 2－45
＝r ，即|2a ＋b －8|＝25r ，2a ＋b ＝8±25r ，由(2a ＋b )2
≤5(a 2
＋b 2
)，得8±25r ≤25r ⇒r ≥
2
5
，即圆C 的面积S ＝πr 2
≥4π5.
法二：由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点
O 到直线2x ＋y －4＝0的距离，此时2r ＝
45
，得r ＝
2
5
，圆C 的面积的最小值为S ＝πr 2
＝4π5.
5．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2
＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33
|AB ―→
|，那么k 的取值范围是( )
A ．(3，＋∞)
B ．[2，＋∞)
C ．[2，22)
D ．[3，22)
解析：选C 当|OA ―→＋OB ―→|＝33|AB ―→
|时，O ，A ，B 三点为等腰三
角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋
y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA ―→＋OB ―→
|>
3
3
|AB ―→|，又直线与圆x 2＋y 2
＝4存在两交点，故k <2 2.综上，k 的取值范围为[2，22)．
6．(x x·成都模拟)圆心在曲线y ＝2
x
(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的
方程为( )
A ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝5 B ．(x －2)2
＋(y －1)2
＝5 C ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝25 D ．(x －2)2
＋(y －1)2
＝25
解析：选A 由圆心在曲线y ＝2x
(x >0)上，设圆心坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ，2a (a >0)，又圆与直线2x ＋y ＋1
＝0相切，所以圆心到直线的距离d 等于圆的半径r ，而d ＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2a ＋2a ＋122
＋1
2
＝
2a ＋2a ＋15
≥
22a ·2
a ＋1
5
＝5，当且仅当2a ＝2
a ，即a ＝1时取等号，此时圆的面积最小，圆心坐标为(1,2)，
圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x －1)2
＋(y －2)2
＝5.
7．若三条直线l 1：4x ＋y ＝3，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：x －my ＝2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．6个
解析：选C 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若
l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－14
；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，
则m ＝1或－5
3
.故实数m 的取值最多有4个，故选C.
8．若圆(x －3)2
＋(y ＋5)2
＝r 2
上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径
r 的取值范围是( )
A ．(4,6)
B ．[4,6]
C ．(4,5)
D ．(4,5]
解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0之间的距离为1，则有|m ＋2|
5
＝1，
m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y
－7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.
9．(xx·合肥质检)设圆x 2
＋y 2
－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)且与圆C 交于A ，
B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )
A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0
B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0
C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0
D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0
解析：选B 由题可知，圆心C (1,1)，半径r ＝2.当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|
k 2
＋1
＝1，解得k ＝－3
4，所以直线l 的
方程为y ＝－3
4
x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.
综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选B.
10．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )
A ．x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 B ．x 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫y ±332＝13
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2
＝43 D.⎝
⎛⎭
⎪⎫x ±
332＋y 2
＝13 解析：选C 设圆的方程为(x ±a )2
＋y 2
＝r 2
(a >0)，圆C 与y 轴交于
A (0,1)，
B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝1
2∠ACB ＝12
×120°
＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |＝3，所以a ＝|OC |＝3
3
，即圆心坐标
为
⎝ ⎛⎭⎪⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±332＝43.所以圆的方程为⎝
⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2
＝43，故选C.
二、填空题
11．设直线l 1：(m ＋1)x －(m －3)y －8＝0(m ∈R)，则直线l 1恒过定点________；若过原点作直线l 2∥l 1，则当直线l 2与l 1的距离最大时，直线l 2的方程为________．
解析：由(m ＋1)x －(m －3)y －8＝0，得m (x －y )＋x ＋3y －8＝0，令⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y ＝0，
x ＋3y －8＝0，得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝2，所以l 1恒过定点A (2,2)．当l 2⊥AO (O 为坐标原点)时，直线l 1与l 2的距离最大，此时
k AO ＝1，k 2＝－1，所以直线l 2的方程为y ＝－x .
答案：(2,2) y ＝－x
12．(xx·温州模拟)圆x 2
＋y 2
－2y －3＝0的圆心坐标是________，半径是________． 解析：化圆的一般式方程为标准方程，得x 2
＋(y －1)2
＝4，由此知该圆的圆心坐标为(0,1)，半径为2.
答案：(0,1) 2
13．已知点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2
＋y 2
－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为________________；圆C 与圆C ′的公共弦的长度为________．
解析：因为圆C 的方程为x 2
＋y 2
－6x －2y ＝0，即(x －3)2
＋(y －1)2
＝10，其圆心为(3,1)，半径为10，又因为点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，所以令a ＝3，b ＝1可得，
其关于直线l 的对称点(2,2)，所以圆C ：x 2＋y 2
－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的圆心为(2,2)，半径为10，即圆C ′：(x －2)2
＋(y －2)2
＝10；圆C 与圆C ′的圆心的距离为d ＝
2－3
2
＋2－1
2
＝2，所以两圆公共弦的长度为2
10
2
－⎝
⎛⎭
⎪⎫222
＝38. 答案：(x －2)2
＋(y －2)2
＝10
38
14．已知圆O ：x 2
＋y 2
＝r 2
与圆C ：(x －2)2
＋y 2
＝r 2
(r >0)在第一象限的一个公共点为P ，过点
P 作与x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点A ，B (异于P 点)，且OA ⊥OB ，则直线OP 的斜率是
________，r ＝________.
解析：两圆的方程相减得，4x －4＝0，则点P 的横坐标x ＝1.易知P 为AB 的中点，因为OA ⊥OB ，所以|OP |＝|AP |＝|PB |，所以△OAP 为等边三角形，所以∠APO ＝60°，因为AB ∥x 轴，所以∠POC ＝60°，所以直线OP 的斜率为 3.设P (1，y 1)，则y 1＝3，所以P (1，3)，代入圆O ，解得r ＝2.
答案： 3 2
15．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2
＋(y －a )2
＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.
解析：依题意，圆C 的半径是2，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于3
2
×2＝3，于是有|1·a ＋a －2|a 2
＋1
＝3，即a 2
－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 答案：4±15
16．(xx 届高三·浙江省名校联考)设圆C ：(x －3)2
＋(y －5)2
＝5，过圆心C 作直线l 交圆于
A ，
B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．
解析：如图，A 为PB 的中点，而C 为AB 的中点，因此，C 为PB 的四等分点．而C (3,5)，P 点的横坐标为0，因此，A ，B 的横坐标分别为2,4，将A 的横坐标代入圆的方程中，可得A (2,3)或A (2,7)，根据直线
的两点式得到直线l 的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝0.
答案：2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝0
17．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
解析：取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：
假设在四边形ABCD中任取一点P，在△APC中，有AP＋PC＞AC，在△BPD中，有PB＋PD＞BD，而如果P在线段AC上，那么AP＋PC＝AC；同理，如果P在线段BD上，那么BP＋PD＝BD.
如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是AC与BD的交点．易求得P(2,4)．答案：(2,4)
[选做题]
1．(xx届高三·湖北七市(州)联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的( ) A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 C 圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝|1－3×0＋3|
12＋32
＝2.
当2－r>1，即0<r<1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1；
当2－r＝1，即r＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1；
当0<2－r<1，即1<r<2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；
当2－r＝0，即r＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；
当0<r－2<1，即2<r<3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1；
当r－2＝1，即r＝3时，直线与圆相交，此时圆上有3个点到直线的距离为1；
当r－2>1，即r>3时，直线与圆相交，此时圆上有4个点到直线的距离为1.
综上，当0<r<3时，圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1；由圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1可得0<r<3.故p是q的充要条件，故选C.
2．(xx·石家庄模拟)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为23，则t＝a1＋2b2取得最大值时a的值为( )
A.1
2
B.
3
2
C.
3
4
D.
3
4
解析：选 D 因为圆心到直线的距离d＝
2
4a2＋b2
，则直线被圆截得的弦长L＝2r2－d2＝
24－4
4a2＋b2＝23，所以4a2＋b2＝4.则t＝a1＋2b2＝
1
22
·(22a)·1＋2b2≤
1
22
×
1
2
×[]
22a2＋1＋2b22＝
1
42
·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝
9
42
，当且仅当
⎩
⎪⎨⎪⎧
8a 2＝1＋2b 2
，4a 2
＋b 2
＝4时等号成立，此时a ＝3
4
，故选D.
3．已知点A (3,0)，若圆C ：(x －t )2
＋(y －2t ＋4)2
＝1上存在点P ，使|PA |＝2|PO |，其中O 为坐标原点，则圆心C 的横坐标t 的取值范围为________．
解析：设点P (x ，y )，因为|PA |＝2|PO |，所以
x －3
2
＋y 2＝2x 2＋y 2，化简得(x ＋1)
2
＋y 2
＝4，所以点P 在以M (－1,0)为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点P (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆M 有公共点，则1≤|CM |≤3，即1≤
t ＋1
2
＋2t －4
2
≤3,1≤5t 2
－14t ＋17≤9.
不等式5t 2－14t ＋16≥0的解集为R ；由5t 2
－14t ＋8≤0，得45
≤t ≤2.所以圆心C 的横坐标t 的
取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤45，2. 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤45，2。