2017年秋人教A高一数学必修1学案：3-1 函数与方程 3-1

第三章函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.2 用二分法求方程的近似解
学习目标
①理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法;利用信息技术辅助教学,让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程;
②体会二分法的思想和方法,使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法;让学生能够了解近似逼近思想,培养学生探究问题的能力和创新能力,以及严谨的科学态度;
③体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法;感受正面解决问题困难时,通过迂回的方法使问题得到解决的快乐.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:电路发生了故障,故障在一条长200m的线路上,如何迅速查出故障所在?(只需故障在5m之内即可)请同学们为电工师傅想一想怎样检查比较合理?
二、自主探索,尝试解决
问题2:你是否会解方程x3+3x-1=0?若不能解出,能否求出上述方程的近似解?
以求方程x3+3x-1=0的近似解(精确度0.1)为例进行探究.
探究1:怎样确定解所在的区间?
探究2:怎样缩小解所在的区间?
探究3:幸运52中猜商品价格环节,让学生思考:
(1)主持人给出高了还是低了的提示有什么作用?
(2)如何猜才能最快猜出商品的价格?
问题3:精确度0.1指的是什么?与精确到0.1一样吗?
三、信息交流,揭示规律
通过对以上问题的探究,给出二分法的定义就水到渠成了.
二分法的定义:
给定精确度ε,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下:
(1)
(2)
(3)
①
②
③
(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤
(2)~(4).
四、运用规律,解决问题
借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x-7=0的近似解.(精确到0.001)
两人一组,一人用计算器求值,一人记录结果.
五、牛刀小试
1.下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是( )
2.方程4x+2x-11=0的解在下列哪个区间内?( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
六、课外作业
1.下列方程在区间(2,3)内一定没有实根的是( )
A.x2-2x-1=0
B.lg x+x-3=0
C.2x-1=5-x
D.lo x=()x
2.已知y=x(x-1)(x+1)的图形如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则方程f(x)=0 (填正确性的序号).
(1)有三个实根;
(2)当x<-1时,有且仅有一个实根;
(3)当-1<x<0,恰有一个实根;
(4)当0<x<1,恰有一实根;
(5)当x>1,恰有一个实根.
3.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是( )
A. B.
C. D.
4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间内的实根,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是.
5.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b-a=0.1)上有唯一的零点,如果用“二分法”求这个零点(精确到0.001的近似值),那么将(a,b)区间等分的次数至少是.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:1.确定故障所在范围.
2.确定检测范围中点.
3.检测中点
(1)若中点为故障点,即可;
(2)若中点不为故障点,判断故障所在范围(被中点所分两范围之一).
4.判断故障范围是否符合精度,若符合,则得到故障点的近似处,否则重复上述2~4步.
二、自主探索,尝试解决
问题2:求x3+3x-1=0的根⇔求x3+3x-1=0的零点.
探究1:(1)图象法(数形结合):方程x3+3x-1=0的解就是函数y1=x3与y2=1-3x的图象交点的横坐标,画出两函数的简图如图所示.
(2)试值法:
设f(x)=x3+3x-1,f(0)=-1<0,f(1)=3>0.
探究2:反复取中点.
探究3:略
问题3:精度指的是区间长度,精确到0.1指的是小数的保留程度.
三、信息交流,揭示规律
二分法的定义:
对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(1)确定区间,验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;
(2)求区间(a,b)的中点c;
(3)计算f(c);
①若f(c)=0,则c就是函数的零点;
②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
四、运用规律,解决问题
略
五、牛刀小试
1.C
2.B
六、课外作业
1.D
2.(1)(2)
3.A
4.
5.10次。