高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版知识精讲

高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系
二. 本周教学目标：
1. 掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑
2. 会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量
三. 本周知识要点：
1. 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。

直线0=++C By Ax 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若
2
2
B
A C
Bb Aa d +++=
，则0<∆⇔⇔>相离r d ；
0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d
2. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d
③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d
3. 直线和圆相切：
这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。

①过圆上一点的切线方程：圆),(002
22y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是
200r y y x x =+。

当点00(,)P x y 在圆外时，2
00r y y x x =+表示切点弦的方程。

一般地，曲线)(0002
2
y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：
02
20
000=++⋅++⋅
-+F y y E x x D y Cy x Ax 。

当点00(,)P x y 在圆外时，
02
20
000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。

这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。

②过圆外一点的切线方程： 4. 直线和圆相交：
这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题。

5. 经过两个圆交点的圆系方程：经过011122=++++F y E x D y x ，
022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是：
0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ。

在过两圆公共点的图象方程中，若λ＝－1，可得两圆公共弦所在的直线方程。

6. 经过直线与圆交点的圆系方程：经过直线0=++C By Ax l ：与圆
022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是：
0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ
7. 几何法：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小。

8. 代数法：讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数。

【典型例题】
例1. 已知圆x 2＋y 2
＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径。

分析：由于OP ⊥OQ ，所以k OP ·k OQ ＝－1，问题可解
解：由22
23060
x y x y x y m +-=⎧⎨++-+=⎩消去x 得5y 2
－20y ＋12＋m ＝0。

设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则y 1、y 2满足条件
y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝
5
12m
+。

∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0。

而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2， ∴x 1x 2＝9－6（y 1＋y 2）＋4y 1y 2＝－15＋1245
m
+⋅ ∴－15＋1245m +⋅
＋5
12m
+＝0 ∴m ＝3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－
21，3），半径r ＝2
5。

点评：（1）在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须
注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑。

（2）体会垂直条件是怎样转化的，以及韦达定理的作用：处理y 1，y 2与x 1，x 2的对称式 在解析几何中经常运用韦达定理来简化计算。

例2. 求经过两圆22(3)13x y ++=和22
(3)37x y ++=的交点，且圆心在直线x －y －4
＝0上的圆的方程。

分析：根据已知，可通过解方程组22
22
(3)13
(3)37
x y x y ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩得圆上两点，由圆心在直线x －y －4＝0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为0]37)3y (x [13y )3x (2222=-++λ+-++，再由圆心在直线x －y －4＝0上，定出参数λ，得圆方程。

解：因为所求的圆经过两圆（x ＋3）2＋y 2＝13和x 2＋（y ＋3）2
＝37的交点，
所以设所求圆的方程为0]37)3y (x [13y )3x (2222=-++λ+-++。

展开、配方、整理，得23()1x λ++＋23()1y λλ++＝λλ++1284＋2
2)1()1(9λλ++。

圆心为33(,)11λλλ
-
-++，代入方程x －y －4＝0，得λ＝－7。

故所求圆的方程为221789
()()222
x y +++=。

点评：圆C 1：x 2
＋y 2
＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，圆C 2：x 2
＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，若圆C 1、C 2相
交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1）＋λ（x 2＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（λ∈R 且λ≠－1）。

它表示除圆C 2以外的所有经过两圆C 1、C 2公共点的圆。

例3. 已知圆C ：22(1)(2)25x y -+-=，直线l ：（2m ＋1）x ＋（m ＋1）y －7m －4＝0（m ∈R ）。

（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程。

分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得。

（1）证明：l 的方程（x ＋y －4）＋m （2x ＋y －7）＝0。

∵m ∈R ，∴27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得3
1x y =⎧⎨=⎩
即l 恒过定点A （3，1）。

∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点。

（2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－
2
1
， ∴l 的方程为2x －y －5＝0。

点评：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要圆心到直线的距离小于半径。

例4. 一直线经过点P 33,2⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
被圆22
25x y +=截得的弦长为8，求此弦所在直线方程。

解：（1）当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为3x =-， 代入2
2
25x y +=，得124,4y y ==-。

∴弦长为128y y -=，符合题意。

（2）当斜率k 存在时，设所求方程为()3
32
y k x +
=+，
即 3
302
kx y k -+-
=。

由已知，弦心距3OM ==
3=，
解得 34
k =-。

所以此直线方程为 ()33
324
y x +
=-+，即34150x y ++=。

所以所求直线方程为 30x +=或34150x y ++=。

点评：关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法的弦长公式求解。

本题还要注意，斜率不存在时直线30x +=符合题意。

例5. 自点A （－3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆224470x y x y +--+=相切，求光线l 所在的直线方程。

解：由已知可得圆C ：()()
22
221x y -+-=关于x 轴对称的圆C ′的方程为
()
()2
2
221x y -++=，其圆心C ′（2，－2），则l 与圆C ′相切，
设l ：y －3＝k （x ＋3），
1=，
整理得12k 2
＋25k ＋12＝0，解得34k =-
或4
3
k =-， 所以所求直线方程为y －3＝34-（x ＋3）或 y －3＝4
3
-（x ＋3），
即 3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0。

点评：关于求切线问题，利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件，是求圆的切线方程的常用方法若本题由“0∆=”求切线方程也可，但过程要复杂些。

例6. 如果实数满足22
(2)3x y ++=，求
y
x
的最大值、2x －y 的最小值。

解：（1）问题可转化为求圆22(2)3x y ++=上一点到原点连线的斜率y
k x
=的最大值，由图形性质可知，
由原点向圆22(2)3x y ++=作切线， 其中切线斜率的最大值即为
y
x
的最大值。

设过原点的直线为y ＝kx ，即kx －y ＝0，
=
k =
k =
max
y x ⎧⎫
∴=⎨⎬⎩⎭ （2）∵x ，y 满足22(2)3x y ++=，
2x y θθ
⎧=-+⎪∴⎨=⎪⎩
()244x y θθθφ∴-=-+=-++ {
}min 24x y ∴-=-
另法：应用线性规划的思路，如图，2x －y 的最小值或最大值就在直线2x －y ＝b 与圆
22(2)3x y ++=的切点处达到。

=
，解得4b =-
4b =-{
}min 24x y ∴-=-点评：圆的有关几何性质的应用往往可以简化问题，由圆的参数方程设圆上一点的坐标在解题中应用也非常广泛。

例7. 一个圆和已知圆2
2
20x y x +-=外切，并与直线l
：0x =相切于点M
（3,），求该圆的方程。

解：已知圆方程化为：2
2
(1)1x y -+=，其圆心P （1，0），半径为1。

设所求圆的圆心为C （a ，b ），
因为两圆外切，1PC =+
=1（1）
又所求圆与直线l ：0x =相切于M （3,，
∴直线,1
CM l CM l k k ⊥=-，于是1=-，
即 b =-（2） 将（2）代入（1）化简，得a 2
－4a ＝0， ∴a ＝0或a ＝4
当a ＝0时，b =-，所求圆方程为(2
2
36x y ++=
当a ＝4时，b ＝0，所求圆方程为22(4)4x y -+=。

例8. 已知⊙O 方程为x 2
＋y 2
＝4，定点A （4，0），求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹。

分析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程。

解法一：设动圆圆心为P （x ，y ），因为动圆过定点A ，所以|PA |即动圆半径。

当动圆P 与⊙O 外切时，|PO |＝|PA |＋2； 当动圆P 与⊙O 内切时，|PO |＝|PA |－2。

综合这两种情况，得||PO |－|PA ||＝2。

将此关系式坐标化，得
|22y x +－22)4(y x +-|＝2。

化简可得（x －2）2
－3
2
y ＝1。

解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系 ||OP |－|PA ||＝2，
即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2，所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA 中点（2，0），实半轴长a ＝1，半焦距c ＝2，虚半轴长b ＝
2
2a c -＝3，所以轨迹方程为（x －2）2－3
2y ＝1。

［小结］
1、有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定。

2、当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形。

3、有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用。

4、在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用。

5、使用圆的参数方程在解决有关最值问题时可以使运算变得简单。

6、解圆与直线的综合问题时，注意数形结合及利用圆的几何性质。

【模拟试题】
1、x 轴与圆222410x y x y ++-+=的位置关系是（ ）
A. 相切
B. 相离
C. 相交且不过圆心
D. 通过圆心 2、圆2220x y x +-=与圆2240x y y ++=的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 3、由点M （5，3）向圆222690x y x y +-++=所引切线长是（ ）
C. 51
D. 1
4、在圆224x y +=上，与直线4x ＋3y －12＝0的距离最小的点的坐标为（ ）
A. 86,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
B. 86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 86,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
D. 86,55⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
5、若动圆与圆()22
24x y ++=相外切，且与直线x ＝2相切，则动圆圆心的轨迹方程是
（ ）
A. y 2
＋12x －12＝0
B. y 2
－12x ＋12＝0
C. y 2
＋8x ＝0
D. y 2
－8x ＝0
6、直线x ＝2被圆()2
2
4x a y -+=所截弦长等于a 的值为（ ）
A. －1或－3 C. 1或3 7、集合(){},1A x y ax y =
+=，(){},1B x y x ay =+=，()}
2
2,1C x y x
y =+=，且
()A B C 仅有2个元素，则a 的值为（ ）
A. 1
B. 0
C. －1
D. 0，1
8、设m ＞0，则直线2（x ＋y ）＋1＋m ＝0与圆x 2
＋y 2
＝m 的位置关系为 A. 相切 B. 相交 C. 相切或相离 D. 相交或相切
9、圆x 2＋y 2
－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于
A. 6
B.
2
2
5 C. 1 D. 5 10、圆x 2＋y 2
－4x ＝0在点P （1，3）处的切线方程为
A. x ＋3y －2＝0
B. x ＋3y －4＝0
C. x －3y ＋4＝0
D. x －3y ＋2＝0
11、若过两点A （－1，0），B （0，2）的直线l 与圆22
(1)()1x y a -+-=相切，则a ＝_____。

12、如果直线l 将圆22
240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率取值范围是__________。

13、方程(0x y +-=的曲线形状是__________。

14、过圆x 2
＋y 2
＝r 2
上一点P （3，1）的切线方程为__________。

15、两圆x 2＋y 2＝16 及（x －4）2＋（y ＋3）2＝R 2
（R ＞0）在交点处的切线互相垂直，则R ＝__________
16、由点P （6，8）作圆x 2＋y 2
＝9的切线，则切线长等于 ，两切点所在的直线方程是 。

17、经过圆（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2
上一点（x 0，y 0）的圆的切线方程是 。

18、P （3，0）为圆C ：x 2＋y 2
－8x －2y ＋12＝0内一点，过P 点的最短弦所在的直线方程是____________________。

19、已知圆的方程是（x －1）2＋y 2
＝1，过原点O 作圆的弦，则弦的中点M 的轨迹方程是__________。

20、若圆（x －3）2＋（y ＋5）2＝r 2
上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是 。

21、圆x 2
＋y 2
＋2x ＋4y －3＝0上到直线4x －3y ＝2的距离为2的点共有__________个。

22、曲线122)y x =-≤≤与直线y ＝k （x －2）＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是_____________。

23、圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4）、B （0，－2），则圆C 的方程为____________。

24、若直线y ＝x ＋k 与曲线x ＝21y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___。

25、一个圆的圆心在直线x －y －1＝0上，与直线4x ＋3y ＋14＝0相切，在3x ＋4y ＋10＝0上截得弦长为6，求圆的方程。

26、已知圆C ：x 2＋y 2
－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线L ，使以L 被圆C 截得弦AB 为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程;若不存在，说明理由。

27、求圆C 1：221x y +=与圆C 2：222210x y x y +--+=的公共弦所在直线被圆C 3：
()()
22
25
114
x y -+-=
所截得的弦长。

试题答案
1、答案：A
2、答案：C
3、答案：A
4、答案：B
5、答案：A
6、答案：C
7、答案：B
8、解：圆心到直线的距离为d ＝
2
1m
+，圆半径为m 。

∵d －r ＝2
1m +－m ＝21（m －2m ＋1）＝21（m －1）2
≥0，
∴直线与圆的位置关系是相切或相离。

答案：C
9、解：圆心到直线的距离为22，半径为2，弦长为222)2
2()2(-＝6。

答案：A
10、解法一：x 2＋y 2
－4x ＝0， y ＝kx －k ＋3⇒x 2
－4x ＋（kx －k ＋3）2
＝0
该二次方程应有两相等实根，即Δ＝0，解得k ＝3
3。

∴y －3＝
3
3
（x －1），即x －3y ＋2＝0。

解法二：∵点（1，3）在圆x 2＋y 2
－4x ＝0上，
∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直。

又∵圆心为（2，0），∴1
23
0--·k ＝－1。

解得k ＝3
3
，∴切线方程为x －3y ＋2＝0。

答案：D
11、答案：412、答案：[0,2
13、答案：圆或二射线 14、答案：3x ＋y ＝10 15、答案：3
16、91 6x ＋8y －9＝0 说明求切线的方法。

17、（x 0－a ）（x －a ）＋（y 0－b ）（y －b ）＝r
2
说明：当圆的方程为x 2＋y 2＝r 2
（即a ＝b ＝0）时，过圆上一点P （x 0，y 0）的圆的切线
方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2
，应记住这个公式。

18、x ＋y －3＝0
用勾股定理推导出所求直线垂直于CP （提问是哪条直线即可，然后立即给出答案）。

19、（x －1/2）2＋y 2
＝1/4 （x ≠0）
提示：设已知圆的圆心是P ，则M 的轨迹是以OP 为直径的圆，去掉O 。

20、4＜r ＜6
提示：圆心P （3，－5）到直线4x －3y ＝2的距离等于5，由|5－r|＜1得4＜r ＜6。

21、3
提示：圆的半径为22，计算圆心（－1，－2）到直线x ＋y ＋1＝0的距离为d ＝2，即可作出判断。

22、答案：]4
3,125(
23、解析：∵圆C 与y 轴交于A （0，－4），B （0，－2），∴由垂径定理得圆心在y ＝－3这条直线上又已知圆心在直线2x －y －7＝0上，∴联立y ＝－3，2x －y －7＝0。

解得x ＝2，
∴圆心为（2，－3），半径r ＝|AC |＝22)]4(3[2---+＝5。

∴所求圆C 的方程为（x －2）2
＋（y ＋3）2
＝5。

答案：（x －2）2＋（y ＋3）2
＝5
24、答案：－1＜k ≤1或k ＝－2
25、解：由圆心在直线x －y －1＝0上，可设圆心为（a ，a －1），半径为r ，由题意可得
()()2243114
53411095a a r a a r ⎧+-+=⎪
⎪
⎨+-+⎛⎫
⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩
，经计算得a ＝2，r ＝5。

所以所求圆的方程为（x －2）2
＋（y －1）2
＝25
26、解：设直线L 的斜率为1，且L 的方程为y ＝x ＋b ，则
22
2440
y x b x y x y =+⎧⎨+-+-=⎩ 消元得方程2x 2＋（2b ＋2）x ＋b 2
＋4b －4＝0，设此方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－（b ＋1），y 1＋y 2＝ x 1＋x 2＋2b ＝b －1，则AB 中点为11,2
2b b +-⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
又弦长
为12x -＝
，由题意可列式22
1122b b +-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝
2
⎪⎝⎭
解得b ＝1或b ＝－4，所以所求直线方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4。

27、解：圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线方程为：
()222212210x y x y x y +--+--+=即x ＋y －1＝0
圆心C 3到直线x ＋y －1＝0的距离2
2
2
|
111|=
-+=
d 。

所以所求弦长为==。