河南省洛阳市2019-2020学年中考第五次模拟数学试题含解析

河南省洛阳市2019-2020学年中考第五次模拟数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图象是（）
A．B．C．D．
2．用五个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，从正面看到的图形是（）
A．B．C．D．
3．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）
A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣1
4．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝k
x
在第一象限内的图
象与△ABC有交点，则k的取值范围是()
A．1≤k≤4B．2≤k≤8 C．2≤k≤16D．8≤k≤16 5．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝30°，则∠BOC的大小是()
A．30°B．60°C．90°D．45°
6．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的度数为()
A．54°B．64°C．74°D．26°
7．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为
A．60元B．70元C．80元D．90元
8．某校八（2）班6名女同学的体重（单位：kg）分别为35，36，38，40，42，42，则这组数据的中位数是（）
A．38 B．39 C．40 D．42
9．如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（）
A．B．C．D．
10．如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（）
A．19°B．38°C．42°D．52°
11．某种圆形合金板材的成本y（元）与它的面积（cm2）成正比，设半径为xcm，当x＝3时，y＝18，那么当半径为6cm时，成本为（）
A ．18元
B ．36元
C ．54元
D ．72元
12．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．对于函数n m y x x =+，我们定义11n m y nx mx --'=+（m 、n 为常数）．
例如42y x x =+，则342y x x '=+． 已知：()322113
y x m x m x =+-+．若方程0y '=有两个相等实数根，则m 的值为__________． 14．如图，ΔABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，以点C 为旋转中心顺时针旋转后得到ΔA′B′C′,且点A
在A′B′上,则旋转角为________________°
.
15．关于 x 的方程 ax=x+2(a ≠1) 的解是________.
16．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝40°，则∠OAC ＝____度．
17．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．
18．如图，点1A 、2A 、3A ⋯在直线y x =上，点1C ，2C ，3C ⋯在直线y 2x =上，以它们为顶点依次构造第一个正方形1121A C A B ，第二个正方形2232A C A B ⋯，若2A 的横坐标是1，则3B 的坐标是______，第n 个正方形的面积是______．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）已知，平面直角坐标系中的点A （a ，1），t ＝ab ﹣a 2﹣b 2（a ，b 是实数）
（1）若关于x 的反比例函数y ＝2a x 过点A ，求t 的取值范围． （2）若关于x 的一次函数y ＝bx 过点A ，求t 的取值范围．
（3）若关于x 的二次函数y ＝x 2+bx+b 2过点A ，求t 的取值范围．
20．（6分）解方程式：1x 2-- 3 = x 12x
-- 21．（6分）如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PA 、PB 、AB 、OP ，已知PB 是⊙O 的切线． (1)求证：∠PBA=∠C ；
(2)若OP ∥BC ，且OP=9，⊙O 的半径为32，求BC 的长．
22．（8分）在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，点D 是射线CB 上的一个动点，△ADE 是等边三角形，点F 是AB 的中点，连接EF ．
（1）如图，点D 在线段CB 上时，
①求证：△AEF ≌△ADC ；
②连接BE ，设线段CD=x ，BE=y ，求y 2﹣x 2的值；
（2）当∠DAB=15°时，求△ADE 的面积．
23．（8分）有一个n 位自然数...abcd gh 能被x 0整除，依次轮换个位数字得到的新数bcd...gha 能被x 0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数cd...ghab 能被x 0+2整除，按此规律轮换后，d...ghabc 能被x 0+3整除，…，...habc g 能被x 0+n ﹣1整除，则称这个n 位数a ...bcd gh 是x 0的一个“轮换数”．
例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；
再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”．（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．（2）若三位自然数abc是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数abc．
24．（10分）列方程解应用题：
某市今年进行水网升级，1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1
3
，小丽家去年12月的水费
是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格．
25．（10分）（1）计算：(
)2
01 2018
3
9
⎛⎫
⨯-
-
⎝
-⎪
⎭
+；
（2）解不等式组：
12(3), 61
2.
2
x x
x
x
->-⎧
⎪
⎨-
>
⎪⎩
26．（12分）桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同．把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加．
（1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率；
（2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，才能使这个游戏对双方公平？
27．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）阅读理解：
在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y＝k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2＝﹣1．
解决问题：
①若直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，则m的值是____；
②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
【分析】
首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢．
【详解】
根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢。

故选：C.
【点睛】
此题考查函数的图象，解题关键在于观察图形
2．A
【解析】
从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：A．
3．B
【解析】
【详解】
∵函数y=-2x2的顶点为（0，0），
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），
∴将函数y=-2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，故选B．
【点睛】
二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．
4．C
【解析】
试题解析：由于△ABC 是直角三角形，所以当反比例函数k y x =
经过点A 时k 最小，进过点C 时k 最大，据此可得出结论．
∵△ABC 是直角三角形，∴当反比例函数k y x
=经过点A 时k 最小，经过点C 时k 最大， ∴k 最小=1×2=2，k 最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C ．
5．B
【解析】
【分析】欲求∠BOC ，又已知一圆周角∠BAC ，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【详解】∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC =60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），
故选B ．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质以及AM ＝CN ，利用ASA 可得△AMO ≌△CNO ，可得AO ＝CO ，然后可得BO ⊥AC ，继而可求得∠OBC 的度数．
【详解】
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB ∥CD ，AB ＝BC ，
∴∠MAO ＝∠NCO ，∠AMO ＝∠CNO ，
在△AMO 和△CNO 中，
MAO NCO AM CN
AMO CNO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AMO ≌△CNO(ASA)，
∴AO ＝CO ，
∵AB ＝BC ，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝26°，
∴∠BCA＝∠DAC＝26°，
∴∠OBC＝90°﹣26°＝64°．
故选B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．7．C
【解析】
设销售该商品每月所获总利润为w，
则w=（x–50）（–4x+440）=–4x2+640x–22000=–4（x–80）2+3600，
∴当x=80时，w取得最大值，最大值为3600，
即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选C．
8．B
【解析】
【分析】
根据中位数的定义求解，把数据按大小排列，第3、4个数的平均数为中位数．
【详解】
解：由于共有6个数据，
所以中位数为第3、4个数的平均数，即中位数为3840
2
=39，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了中位数．要明确定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，若这组数据的个数是奇数，则最中间的那个数叫做这组数据的中位数；若这组数据的个数是偶数，则最中间两个数的平均数是这组数据的中位数．
9．B
【解析】【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．
【详解】分三种情况：
①当P在AB边上时，如图1，
设菱形的高为h，
y=AP•h，
∵AP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，
故选项C不正确；
②当P在边BC上时，如图2，
y=AD•h，
AD和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项A不正确；
③当P在边CD上时，如图3，
y=PD•h，
∵PD随x的增大而减小，h不变，
∴y随x的增大而减小，
∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，
∴P在三条线段上运动的时间相同，
故选项D不正确，
故选B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出△PAD的面积的表达式是解题的关键．
10．D
【解析】
试题分析：过C作CD∥直线m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，
∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a的余角是52°．故选D．
考点：平行线的性质；余角和补角．
11．D
【解析】
【分析】
设y与x之间的函数关系式为y＝kπx2，由待定系数法就可以求出解析式，再求出x＝6时y的值即可得．【详解】
解：根据题意设y＝kπx2，
∵当x＝3时，y＝18，
∴18＝kπ•9，
则k＝2π
，
∴y＝kπx2＝2
π
•π•x2＝2x2，
当x＝6时，y＝2×36＝72，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解答时求出函数的解析式是关键．
12．C
【解析】
【分析】
根据正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】
与左边图形拼成一个正方形，
正确的选择为③，
故选C．
【点睛】
本题考查了正方形的判定，是一道几何结论开放题，认真观察，熟练掌握和应用正方形的判定方法是解题的关键.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．12
【解析】
分析：根据题目中所给定义先求y '，再利用根与系数关系求m 值.
详解：由所给定义知，2221y x m x m '=+-+,若22210x m x m +-+=，
22414m m =--⨯n （）=0,
解得m=12
. 点睛：一元二次方程的根的判别式是()200ax bx c a ++=≠,
△=b 2-4ac,a,b,c 分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项.
△>0说明方程有两个不同实数解,
△=0说明方程有两个相等实数解,
△<0说明方程无实数解.
实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对△的正负进行判断，可能是具体的数直接可以判断，也可能是含字母的式子，一般需要配方等技巧.
14．50度
【解析】
【分析】
由将△ACB 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C′，即可得△ACB ≌△A′B′C′，则可得∠A'=∠BAC ，△AA'C
是等腰三角形，又由△ACB 中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，即可求得∠A'、∠B'AB 的度数，即可求得∠ACB'
的度数，继而求得∠B'CB 的度数．
【详解】
∵将△ACB 绕点C 顺时针旋转得到A B C '''∆，
∴△ACB ≌A B C '''∆，
∴∠A′=∠BAC ，AC=CA′，
∴∠BAC=∠CAA′，
∵△ACB 中,∠ACB=90°,∠ABC=25°，
∴∠BAC=90∘−∠ABC=65°，
∴∠BAC=∠CAA′=65°，
∴∠B′AB=180°−65°−65°=50°，
∴∠ACB′=180°−25°−50°−65°=40°，
【点睛】
此题考查了旋转的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
15．
2 a1 -
【解析】
分析：依据等式的基本性质依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．
详解：移项，得：ax﹣x=1，合并同类项，得：（a﹣1）x=1．∵a≠1，∴a﹣1≠0，方程两边都除以a
﹣1，得：x=
2
1
a-
．故答案为x=
2
1
a-
．
点睛：本题主要考查解一元一次方程的能力，熟练掌握等式的基本性质及解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
16．50
【解析】
【分析】
根据BC是直径得出∠B＝∠D＝40°，∠BAC＝90°，再根据半径相等所对应的角相等求出∠BAO，在直角三角形BAC中即可求出∠OAC
【详解】
∵BC是直径，∠D＝40°，
∴∠B＝∠D＝40°，∠BAC＝90°．
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠B＝40°，
∴∠OAC＝∠BAC﹣∠BAO＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50
【点睛】
本题考查了圆的基本概念、角的概念及其计算等腰三角形以及三角形的基本概念，熟悉掌握概念是解题的关键
17．3
【解析】
试题分析：设最大利润为w元，则w=（x﹣30）（30﹣x）=﹣（x﹣3）3+3，∵30≤x≤30，∴当x=3时，二次函数有最大值3，故答案为3．
考点：3．二次函数的应用；3．销售问题．
18．(4,2), 24
2n-
由2A 的横坐标是1，可得()2A 1,1，利用两个函数解析式求出点1C 、1A 的坐标，得出11A C 的长度以及第1个正方形的面积，求出1B 的坐标；然后再求出2C 的坐标，得出第2个正方形的面积，求出2B 的坐标；再求出3B 、3C 的坐标，得出第3个正方形的面积；从而得出规律即可得到第n 个正方形的面积．
【详解】
解：Q 点1A 、2A 、3A ⋯在直线y x =上，2A 的横坐标是1，
()2A 1,1∴，
Q 点1C ，2C ，3C ⋯在直线y 2x =上，
11C ,12⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，111A ,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1111A C 122∴=-=，11B 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴第1个正方形的面积为：21()2
； ()2C 1,2Q ，
22A C 211∴=-=，()2B 2,1，()3A 2,2，
∴第2个正方形的面积为：21；
()3C 2,4Q ，
33A C 422∴=-=，()3B 4,2，
∴第3个正方形的面积为：22；
⋯，
∴第n 个正方形的面积为：n 222n 4(2)2--=．
故答案为()4,2，2n 42-．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质以及规律型中图形的变化规律，解题的关键是找出规律.本题难度适中，解决该题型题目时，根据给定的条件求出第1、2、3个正方形的边长，根据数据的变化找出变化规律是关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）t≤﹣
34
；（2）t≤3；（3）t≤1．
【分析】
（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得a的值；然后利用二次函数的最值的求法得到t的取值范围．
（2）把点A的坐标代入一次函数解析式求得a=1
b
；然后利用二次函数的最值的求法得到t的取值范围．
（3）把点A的坐标代入二次函数解析式求得以a2+b2=1-ab；然后利用非负数的性质得到t的取值范围．【详解】
解：（1）把A（a，1）代入y＝
2
a
x
得到：1＝
2
a
a
，
解得a＝1，
则t＝ab﹣a2﹣b2＝b﹣1﹣b2＝﹣（b﹣1
2
）2﹣
3
4
．
因为抛物线t＝﹣（b﹣1
2
）2﹣
3
4
的开口方向向下，且顶点坐标是（
1
2
，﹣
3
4
），
所以t的取值范围为：t≤﹣3
4
；
（2）把A（a，1）代入y＝bx得到：1＝ab，
所以a＝1
b
，
则t＝ab﹣a2﹣b2＝﹣（a2+b2）+1＝﹣（b+1
b
）2+3≤3，
故t的取值范围为：t≤3；
（3）把A（a，1）代入y＝x2+bx+b2得到：1＝a2+ab+b2，
所以ab＝1﹣（a2+b2），
则t＝ab﹣a2﹣b2＝1﹣2（a2+b2）≤1，
故t的取值范围为：t≤1．
【点睛】
本题考查了反比例函数、一次函数以及二次函数的性质．代入求值时，注意配方法的应用．20．x=3
【解析】
【分析】
先去分母，再解方程，然后验根.
【详解】
解：去分母，得1-3（x-2）=1-x，1-3x+6=1-x，x=3，经检验，x=3是原方程的根.
此题重点考察学生对分式方程解的应用，掌握分式方程的解法是解题的关键.
21．(1)证明见解析；(2)BC=1．
【解析】
【分析】
（1）连接OB，根据切线的性质和圆周角定理求出∠PBO=∠ABC=90°，即可求出答案；（2）求出△ABC∽△PBO，得出比例式，代入求出即可．
【详解】
(1)连接OB，
∵PB是⊙O的切线，∴PB⊥OB，∴∠PBA+∠OBA=90°，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAO，∴∠PBA=∠C；
(2)∵⊙O的半径是2，
∴22，∵OP∥BC，∴∠BOP=∠OBC，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠C，∴∠BOP=∠C，∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，∴BC
BO
=
AC
OP32
62
，∴BC=1．
【点睛】
本题考查平行线的性质，切线的性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解题关键．
22．（1）①证明见解析；②25；（2）为
3
2
或3．
【解析】
【分析】
(1)①在直角三角形ABC中，由30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再由F为AB中点，得到AC=AF=5，确定出三角形ADE为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，再由AD=AE，利用SAS即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEF为直角，EF=CD=x，在三角形AEF中，利用勾股定理即可列出y关于x的函数解析式；(2)分两种情况考虑：①当点在线段CB上时；②当点在线段CB的
【详解】
(1)、①证明：在Rt △ABC 中，
∵∠B=30°，AB=10， ∴∠CAB=60°，AC=12AB=5， ∵点F 是AB 的中点，
∴AF=12
AB=5， ∴AC=AF ，
∵△ADE 是等边三角形，
∴AD=AE ，∠EAD=60°，
∵∠CAB=∠EAD ，
即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB ，
∴∠CAD=∠FAE ，
∴△AEF ≌△ADC （SAS ）；
②∵△AEF ≌△ADC ，
∴∠AEF=∠C=90°，EF=CD=x ，
又∵点F 是AB 的中点，
∴AE=BE=y ，
在Rt △AEF 中，勾股定理可得：y 2=25+x 2，
∴y 2﹣x 2=25.
（2）①当点在线段CB 上时， 由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC 是等腰直角三角形， ∴AD 2=50，△ADE 的面积为21253sin 6022
ADE S AD ∆=⋅⋅︒=； ②当点在线段CB 的延长线上时， 由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°，BD=BA=10，
∴在Rt △ACD 中，勾股定理可得AD 2=200+1003， 21sin 60503752ADE S AD ∆=
⋅⋅︒=+ 综上所述，△ADE 的面积为
2532
或50375+． 【点睛】 此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
23． (1)见解析；(2) 201，207，1
【解析】
试题分析：（1）先设出两位自然数的十位数字，表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数即可；
（2）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出b 的可能值，进而用4整除，得出c 的可能值，最后用能被3整除即可．
试题解析：
（1）设两位自然数的十位数字为x ，则个位数字为2x ，
∴这个两位自然数是10x+2x=12x ，
∴这个两位自然数是12x 能被6整除，
∵依次轮换个位数字得到的两位自然数为10×2x+x=21x
∴轮换个位数字得到的两位自然数为21x 能被7整除，
∴一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，这个两位自然数一定是“轮换数”．
（2）∵三位自然数是3的一个“轮换数”，且a=2，
∴100a+10b+c 能被3整除，
即：10b+c+200能被3整除，
第一次轮换得到的三位自然数是100b+10c+a 能被4整除，
即100b+10c+2能被4整除，
第二次轮换得到的三位自然数是100c+10a+b 能被5整除，
即100c+b+20能被5整除，
∵100c+b+20能被5整除，
∴b+20的个位数字不是0，便是5，
∴b=0或b=5，
当b=0时，
∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+2能被4整除，
∴c 只能是1，3，5，7，9；
而203，205，209不能被3整除，
∴这个三位自然数为201，207，
当b=5时，∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+502能被4整除，
∴c只能是1，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为251，1，257，259，
而251，257，259不能被3整除，
∴这个三位自然数为1，
即这个三位自然数为201，207，1．
【点睛】此题是数的整除性，主要考查了3的倍数，4的倍数，5的倍数的特点，解本题的关键是用5的倍数求出b的值．
24．2.4元/米3
【解析】
【分析】
利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，进而得出等式即可．
【详解】
解：设去年用水的价格每立方米x元，则今年用水价格为每立方米1.2x元
由题意列方程得：
3015
5 1.2x x
-=
解得x2
=
经检验，x2
=是原方程的解
1.2x
2.4
=(元/立方米)
答：今年居民用水的价格为每立方米2.4元．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出用水量是解题关键．
25．（1）（2）1
5 2
x
<<．
【解析】
【分析】
（1）根据幂的运算与实数的运算性质计算即可.
（2）先整理为最简形式，再解每一个不等式，最后求其解集. 【详解】
=22
（2）解不等式①，得5
x<.
解不等式②，得
1
2 x>.
∴原不等式组的解集为1
5 2
x
<<
【点睛】
本题考查了实数的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握和运用相关运算性质是解答关键. 26．（1）详见解析；（2）4分.
【解析】
【分析】
（1）根据题意用列表法求出答案；
（2）算出甲乙获胜的概率，从而求出乙胜一次的得分.
【详解】
（1）列表如下：
由列表可得：P（数字之和为5）＝1
4
，
（2）因为P（甲胜）＝1
4
，P（乙胜）＝
3
4
，∴甲胜一次得12分，要使这个游戏对双方公平，乙胜一次
得分应为：12÷3＝4分.
【点睛】
本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可.
27．（1）y＝﹣1
2
x2+
1
2
x+1；（2）①-
1
2
；②点P的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3
5
.
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据垂线间的关系，可得PA，PB的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；
（3）根据垂直于x的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，
【详解】
解：（1）将A ，B 点坐标代入，得
10(1)
11(2)a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得1
21
2
a b ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
抛物线的解析式为y ＝211
x x 122-++；
（2）①由直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，得
2m ＝﹣1，
即m ＝﹣1
2； 故答案为﹣1
2；
②AB 的解析式为11
22y x =+
当PA ⊥AB 时，PA 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，
联立PA 与抛物线，得211122
22
y x x y x ⎧
=++⎪⎨⎪=--⎩，
解得10x y =-⎧⎨=⎩（舍），6
14
x y =⎧⎨=-⎩， 即P （6，﹣14）；
当PB ⊥AB 时，PB 的解析式为y ＝﹣2x+3，
联立PB 与抛物线，得2111
2223
y x x y x ⎧
=++⎪⎨⎪=-+⎩，
解得1
1x y =⎧⎨=⎩（舍）4
5x y
=⎧⎨=-⎩， 即P （4，﹣5），
综上所述：△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）； （3）如图：
，
∵M（t，﹣1
2
t2+
1
2
t+1），Q（t，
1
2
t+
1
2
），
∴MQ＝﹣1
2
t2+
1
2
S△MAB＝1
2
MQ|x B﹣x A|
＝1
2
（﹣
1
2
t2+
1
2
）×2
＝﹣1
2
t2+
1
2
，
当t＝0时，S取最大值1
2
，即M（0，1）．
由勾股定理，得
AB22
21
5
设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得
h
55
．
点M到直线AB 5
．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键。