新课标高二数学理同步测试(7)(选修2-2第一章1.5-1.7)

普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—2[人教版]
高中学生学科素质训练
新课标高二数学同步测试（7）—（2－2第一章1.5—1.7）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．将和式的极限)0(.......321lim
1
>+++++∞→p n n P p
p p p n 表示成定积分 （ ）
A ．dx x
⎰1
01
B ．
dx x p ⎰
1
C ．dx x p ⎰1
0)1(
D ．dx n x p
⎰1
0)(
2．下列等于1的积分是
（ ）
A ．
dx x ⎰
1
B ．dx x ⎰+1
)1(
C ．dx ⎰
1
01
D ．dx ⎰1
021
3．dx x |4|1
02
⎰
-=
（ ）
A ．
321
B ．322
C ．
3
23
D ．
3
25 4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ）
A ．3
2
0gt B ．2
0gt
C ．2
2
0gt
D ．6
2
0gt
5．曲线]2
3
,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ）
A ．4
B ．2
C ．2
5
D ．3 6．dx e e x x ⎰
-+10
)(=
（ ）
A ．e e 1
+
B ．2e
C ．
e
2
D ．e
e 1-
7．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）
A ．［0，2e ］
B ．［0，2］
C ．［1，2］
D ．［0，1］
8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （ ）
A ．()[]dy y y ⎰--1
1
B ．
()[]dx x x ⎰-+-210
1
C ．
()[]dy y y ⎰--210
1
D ．()[]dx x x ⎰
+--10
1
9．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 （ ） A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.28 10．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，
则该正方形薄片所受液压力为 （ ）
A ．⎰
3
2
dx x ρ
B ．
()⎰+2
1
2dx x ρ
C ．⎰
1
dx x ρ D ．
()⎰+3
2
1dx x ρ
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．将和式)21
.........2111(
lim n
n n n +++++∞
→表示为定积分 ． 12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．
13．由x y c o s =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ． 14．按万有引力定律，两质点间的吸引力2
2
1r
m m k
F =，ｋ为常数，21,m m 为两质点的质量，
ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为ｂ处，
试求所作之功（ｂ＞a ） ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）计算下列定积分的值 （1）⎰
--3
1
2
)4(dx x x ；（2）⎰-2
1
5)1(dx x ；
（3）
dx x x ⎰
+2
)sin (π；（4）dx x ⎰-22
2cos π
π；
16．（12分）求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．
2 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.
17．（12分）求由抛物线ax
y4
18．（12分）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．
19．（14分）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且
f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
（2）若直线x =－t （0＜t ＜1＝把y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t
的值.
20．（14分）抛物线y=ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围
成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求S max ．
参考答案
一、
1．B ；2．C ；3．C ；4．C ；5．D ；6．D ；7．B ；8．C ；9．A ；10．A ；
二、11．dx x ⎰+1
011；12．dx x ⎰-102
)1(；13．dx x ⎰π20|cos |；14．)11(21b
a m km -； 三、
图
15．（1）
（2）
（3）
（4）
16．解：首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，
所以所求面积为dx x x x A ⎰
-++--
=0
1 23)2(dx x x x ⎰
++-+
2
0 23)2(12
37=
17．解：焦点坐标为)0,(a F ，设弦AB 、CD 过焦点F ，且OF AB ⊥． 由图得知：FBD FBE AGF ACF S S S S >=>，故AFBDOA ACFDOA S S >． 所求面积为：22 0
23842
a dy a y a A a ⎰
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=． 18．解：物体的速度233)(bt bt dt
dx
V ='==
．媒质阻力422229)3(t kb bt k kv F zu ===，其中k 为比例常数，k>0．
当x=0时，t=0；当x=a 时，31
1)(b
a
t t ==，又ds=vdt ，故阻力所作的功为
32
771303203027
27727)3(111b a k t kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu ====⋅==⎰⎰⎰⎰
19．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，
又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2.
∴f （x ）=x 2+2x +c
又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1. （2）依题意，有所求面积=
3
1
|)31()12(01
23201
=++=++--⎰
x x x dx x x . （3）依题意，有
x x x x x x t t
d )12(d )12(2
021
++=++⎰⎰
---，
∴0
23123|)31(|)31(
t t x x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=3
1t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2+6t －1=0， ∴2（t －1）3=－1，于是t =1－
32
1
. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.
20．解 依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为x 1=0，x 2=－b/a ，所以
3
20
261)(b a
dx bx ax S a
b =
+=⎰-
(1) 又直线x ＋y=4与抛物线y=ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组⎩⎨⎧+==+bx
ax y y x 2
4
得ax 2＋(b ＋1)x －4=0，其判别式必须为0，即(b ＋1)2＋16a=0． 于是,)1(16
1
2+-
=b a 代入（1）式得： )0(,)1(6128)(43>+=b b b b S ，5
2)
1(3)
3(128)(+-='b b b b S ； 令S'(b)=0；在b ＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b ＜3时，S'(b)＞0；当b ＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S 取得最大值，且2
9
max =
S ．。