【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 4.2.2 复数的乘法与除法课时训练 北师大版选修1-2

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 4.2.2 复数的
乘法与除法课时训练 北师大版选修1-2
一、选择题
1．复数2＋i
1－2i 的共轭复数是( )
A ．－3
5i
B.3
5i C ．－i D ．i 【解析】 ∵2＋i
1－2i ＝
＋＋－
＋
＝i.
其共轭复数为－i. 【答案】 C
2．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．i
D ．2i
【解析】 z ＝1＋i ，z ＝1－i. ∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i. 【答案】 B
3．(2013·江西高考)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【解析】 因为z ＝i(－2－i)＝1－2i ，所以复数z 对应的点在第四象限． 【答案】 D
4．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2
为实数，则实数m 的值为( ) A.83 B ．－83
C.32
D ．－32
【解析】 设z 1
z 2
＝a (a ∈R )，则z 1＝az 2， 即m ＋2i ＝3a －4a i ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝3a ，2＝－4a ，
解得a ＝－12，m ＝－3
2.
【答案】 D
5．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则z 2
＝－1的θ值可能为( ) A.π6 B.π4 C.π3
D.
π2
【解析】 z 2
＝(cos θ＋isin θ)2
＝(cos 2
θ－sin 2
θ)＋(2sin θcos θ)i ＝cos 2θ＋isin 2θ.
由z 2
＝－1，得cos 2θ＝－1.故选D. 【答案】 D 二、填空题
6．已知z ＝(1－i)(2－i)，则|z |的值是________． 【解析】 ∵z ＝2－i －2i ＋i 2
＝1－3i ，∴|z |＝12
＋－2
＝10.
【答案】
10
7．已知(a －i)2
＝2i ，其中i 是虚数单位，那么实数a ＝________. 【解析】 由(a －i)2
＝2i ，得(a 2
－1)－2a i ＝2i.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
－1＝0，－2a ＝2，
解得a ＝－1. 【答案】 －1
8．已知i 是虚数单位，使(1＋i)n
为实数的最小正整数n ＝________. 【解析】 (1＋i)4
＝[(1＋i)2]2
＝(2i)2
＝22i 2
＝－4，故最小正整数n ＝4. 【答案】 4 三、解答题 9．计算
(1)(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2
； (2)
－
2
－
－
2＋i
；
(3)(21＋i
)2 013
.
【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2
＝1－i 2
＋1＋4i ＋4i 2
＝1－(－1)＋1＋4i ＋(－4)＝－1＋4i.
(2)
－
2
－－
2＋i
＝9－12i ＋4i 2
－3＋3i 2＋i
＝9－12i －4－3＋3i 2＋i ＝2－9i 2＋i ＝
－－＋
－
＝
4－2i －18i ＋9i 2
5
＝
4－2i －18i －95＝－5－20i 5
＝－1－4i.
(3)(21＋i
)2 013＝[
2－2
]
2 013
＝
－
2 012
－
2 2 0132
＝
－
1 006
－
22 0132
＝
－
503
－
2
2 0132
＝－
21 006
－22 0132
＝－1－i 2
＝－22＋22i.
10．已知x ，y ∈R ，且x 1＋i ＋y 1＋2i ＝5
1＋3i
，求x ，y 的值．
【解】 由已知得
x
－2
＋
y
－5
＝
－10
.
整理得(5x ＋2y )－(5x ＋4y )i ＝5－15i.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，
解得x ＝－1，y ＝5.
11．定义：若z 2
＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根，根据定义，试求复数i 的平方根．
【解】 设复数i 的平方根为x ＋y i(x ，y ∈R )，则(x ＋y i)2
＝i ，即(x 2
－y 2
)＋2xy i ＝i.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2－y 2
＝0，
2xy ＝1.解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2
2，y ＝22
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2
2，y ＝－2
2
.
∴复数i 的平方根是
22＋22i 或－22－2
2
i.。