青海师范大学附属中学数学高三上期中经典题

一、选择题
1．已知函数22()
()()
n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则
123100a a a a +++
+=
A ．0
B ．100
C ．100-
D ．10200
2．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
3．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪--≤⎩
，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为
2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.
A ．(,7]-∞-
B ．[3,1]-
C ．[1,)+∞
D ．[7,3]--
4．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12
B ．10
C
．D
．5．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则3x y -的最小值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
6．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 km
B
km
C
．
D
．
7．已知：0x >，0y >，且211x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值
范围是（ ） A ．()4,2- B ．(]
[),42,-∞-+∞
C ．()
2,4-
D ．(][),24,-∞-⋃+∞
8．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019
111a a a ++⋯+=（ ） A ．
2020
2019
B ．
2019
1010
C ．
2017
1010
D ．
4037
2020
9．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y
++的最小值为（ ） A ．2
B ．
92
C ．143
D ．5
10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若
cos cos sin ,c B b C a A += ()
22234
S b a c =+-，则B ∠=
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
11．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）
A ．()8,10
B ．()
22,10
C ．()
22,10
D ．
(
)
10,8
12．已知4213
3
3
2,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
13．已知正项数列{}n a 中，*12(1)
()2
n n n a a a n N ++++=
∈，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =
B ．2
n a n =
C ．2
n n
a =
D ．2
2
n n a =
14．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，
3b c =，则c
a
的值为（ ）
A ．1
B ．
33
C ．
55
D ．
77
15．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3
x y
+的最大值为 A ．
13
B ．38
C ．
37
D ．1
二、填空题
16．设0,
0,25x y x y >>+=，则
(1)(21)
x y xy
++的最小值为______.
17．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且8
7
1a a <-，则当0n S <时n 的最小值为
________.
18．在平面内，已知直线12l l ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点
是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小
值为____．
19．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有
2343n n S n T n -=-，则93
5784
a a
b b b b +++的值为_______． 20．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，
1||
2||a a b
+取得最小值. 21．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________． 22．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3
B π
=
，则AB =______；△ABC 的面积是
______．
23．若已知数列的前四项是
2112+、2124+、2136+、2
1
48
+，则数列前n 项和为______. 24．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，
15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．
25．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯
一，则实数a 的值为__________．
三、解答题
26．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，
()2cos cos 0C a B b A c ++=.
（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若22a b =
=，，求()sin 2B C -的值.
27．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD 5是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(
2
π
，π)．
（1）当cos θ＝5
AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度． 28．在ABC 中，3
B π
∠=，7b =，________________，求BC 边上的高．
从①21
sin 7
A =
， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
29．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c a
B b
--=
（1） 求
sin sin C
A
的值 （2） 若1
cos ,24
B b =
= ，求ABC ∆的面积. 30．设函数2
()1f x mx mx =--．
(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
2．B
3．B
4．A
5．A
6．D
7．A
8．B
9．B
10．D
11．B
12．A
13．B
14．D
15．A
二、填空题
16．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立
17．14【解析】【分析】等差数列的前n项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n项和有最大值可知再由知且又所以当时n的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n的最小值的求法是中档
18．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6
19．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】
∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题
20．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归
21．【解析】【分析】【详解】当时代入题中不等式显然不成立当时令都过定点考查函数令则与轴的交点为时均有也过点解得或（舍去）故
22．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式
23．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用
24．【解析】【分析】△ACD中求出AC△ABD中求出BC△ABC中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD中∠ACD＝15°∠ADC＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC＝15
25．或【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域解释目标函数为直线在轴上的截距由目标函数取得最大值的最优解不唯一得直线应与直线或平行从而解出的值【详解】解：画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示将
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()2
2()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当
n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以
()
1231001399a a a a a a a ++++=+++()()()2410021359999224610099100a a a +++
+=-+++
+-++++
++=，
故选B.
考点：数列的递推公式与数列求和.
【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与
运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22()
{()
n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及
()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分
组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,3
3
B A
C π
π
=
+=
,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23
sin sin sin 4
B A
C =⋅=，整理计算即可得出答案.
【详解】
因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，
所以2,3
3
B A
C π
π=
+=
, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以2
3sin sin sin 4
B A
C =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos
333A A A A A πππ⎛⎫⎛
⎫⋅-=⋅-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2111113
2sin 2cos 2sin 22442344
A A A A A π⎛⎫=
+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
又因为203
A π<<
所以3
A π
=
故选B
【点睛】
本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,3
3
B A
C π
π
=+=
，再利用三角公式转化，属于中档题.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】
作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪--≤⎩
对应的平面区域（如图阴影部分），
目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，
（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，
则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，
30a ∴-≤<.
（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，
要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率 1a -≥-，
01a ∴<≤.
（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤.
故选：B . 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.
4．A
解析：A 【解析】
由已知24356a a q q +=+=，∴2
2q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】
作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
所对应的可行域（如图ABC ），
变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.
【点睛】
本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】
因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫
⨯⨯⨯-
= ⎪⎝⎭
700．
所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】
本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
若2
22x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为
21
1x y
+=,0x >,0y >,
所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+=
⎪⎝⎭
,当且仅当4x y y x =,即
4x =,2y =时等号成立,
因为2
22x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】
本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -
1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得
1n a =()21n n +=2（1n -1
1
n +），由数列的
裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】
解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，
可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =
1
2
n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11
n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13
+…+12019-12020） =2（1-12020
）=2019
1010．
故选:B ． 【点睛】
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y
++相乘，利用基本不等式可求出
141x y
++的最小值． 【详解】
1x y +=，所以，(1)2x y ++=，
则141441412()[(1)]()52591111x y x y
x y x y x y y x y x
+++
=+++=+++=++++， 所以，
14
912
x y ++， 当且仅当4111
x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当23
13x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，等号成立，
因此，
141x y ++的最小值为92
，
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】
由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2
sin cos sin cos sin ,C B B C A +=
()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；
由余弦定理、三角形面积公式及)
222S b a c =
+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,
整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】
本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】
由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个
角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到222
222
1313a a ⎧+>⎨+>⎩
，
由于0a >，解得a <<C ． 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：
A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<.
12．A 解析：A
【分析】 【详解】
因为42223
3
3
3
2=4,3,5a b c ===，且幂函数23
y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
13．B
解析：B 【解析】 【分析】
()()
1122
n n n n +-=
-
的表达式，可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】
(1)(1)
,(2)22
n n n n n n +-=
-=≥
1=
，所以2,(1),n n n a n =≥= ，选B.
【点睛】
给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1
{
,2
n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出
结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
14．D
解析：D 【解析】
分析：由正弦定理可将sin2sin 0b A B =
化简得cosA =，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.
详解：由正弦定理，sin2sin 0b A B +=
，可得sin2sin 0sinB A B +=，
即2sin sin 0sinB AcosA B = 由于：0sinBsinA ≠，
所以cosA 2
=-
：， 因为0＜A ＜π，所以5πA 6
=
．
又b =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=.
即227a c =，所以7
c a =
. 故选：D ．
点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
分析题意，取3x y +倒数进而求3
x y
+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即
可求解。

【详解】
因为40x y xy +-=，化简可得4x y xy +=，左右两边同时除以xy 得
14
1y x
+= 求
3x y +的最大值，即求
333
x y x y
+=+ 的最小值 所以1413333x y x y y x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+⨯=+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4143333
x y y x =
+++
1433
≥+ 3≥，当且仅当
433x y y x =时取等号 所以3x y +的最大值为13
所以选A 【点睛】
本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题。

二、填空题
16．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立
解析：【解析】 【分析】
把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值． 【详解】
(1)(2x
xy +=
0,
0,
25,0,x y x y xy >>+=>∴
≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，
故所求的最小值为 【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
17．14【解析】【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档
解析：14 【解析】 【分析】
等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由
8
7
1a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．
【详解】
由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，
再由8
7
1a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<， 又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<， 所以130S >，140S <，150S <， 当<0n S 时n 的最小值为14， 故答案为14．
【点睛】
本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
18．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6
解析：6 【解析】 【分析】 【详解】 如图所示，
设BF x =，由题意知3,2AE AF ==
ABF ∆与CAE ∆相似，所以AB BF CA AE =,所以3
AC AB x
=,所以2
11322ABC S AB AC AB x
∆=
=⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632
x
x =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6.
19．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题 解析：
1941
【解析】 【分析】
由等差数列的性质和求和公式可得原式11
11
S T =，代值计算可得． 【详解】
∵{a n }，{b n }为等差数列，
∴
9393936
57846666
222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵
61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341⨯-=⨯-，∴66
1941a b =， 故答案为
19
41
. 【点睛】
本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
20．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归 解析：2-
【解析】 【分析】
利用2a b +=代入所求式子得||4||4||a b a a a b
++，再对a 分0a >，0a <并结合基本不等式求最小值. 【详解】 因为2a b +=，
所以1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b
++=+=++， 又因为0b >，||0a >， 所以
||214||4||b a b a b a +⋅=， 因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15
144
+=； 当0a <时，
1||2||a a b +的最小值是13144
-+=. 故1||2||a a b +的最小值为34，此时,42,0,
a
b a b a b a ⎧=⎪⎪
⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩
即2a =-. 故答案为：2-. 【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时，要验证等号成立的条
件.
21．【解析】【分析】【详解】当时代入题中不等式显然不成立当时令 都过定点考查函数令则与轴的交点为时均有也过点解得或（舍去）故 解析：32
a =
【解析】 【分析】 【详解】 当时，代入题中不等式显然不成立 当
时，令
，
，都过定点
考查函数，令
，则
与轴的交点为
时，均有
也过点
解得或（舍去），
故
22．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式
解析：；
33
2
【解析】
试题分析：由余弦定理得22202cos60AC AB BC AB BC =+-⋅，即
21
74222AB AB =+-⋅⋅，得2230AB AB --=，31()AB ∴=-或舍，
011333
sin 603222S AB BC =
⋅=⨯⨯=
考点：余弦定理，三角形面积公式.
23．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用
解析：
()()
3234212n n n +-++ 【解析】 【分析】 观察得到2
1111222n a n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
，再利用裂项相消法计算前n 项和得到答案. 【详解】 观察知()2111112222n a n n n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪+++⎝⎭
.
故数列的前n 项和11111
113111...232422212n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()
323
4212n n n +=
-++. 故答案为：()()
3234212n n n +-++. 【点睛】
本题考查了数列的通项公式，裂项相消求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
24．【解析】【分析】△ACD 中求出AC △ABD 中求出BC △ABC 中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD 中∠ACD ＝15°∠ADC ＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC ＝15
解析：
【解析】 【分析】
△ACD 中求出AC ，△ABD 中求出BC ，△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】
解：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°， ∴∠DAC=15
°由正弦定理得
80sin150
40
sin15
AC =
=
=，
△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°， 由正弦定理，
CD BC
sin
CBD sin BDC
=∠∠
，
所以BC 80sin151601540
12
CD sin BDC sin sin CBD
⋅∠⨯︒
=
==︒=∠；
△ABC 中，由余弦定理，
AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB ＝
(
(
081
1600816021600
2
-+++⨯⨯
⨯
16001616004160020=⨯+⨯=⨯
解得：
AB =
则两目标A ，B
间的距离为．
故答案为． 【点睛】
本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．
25．或【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域解释目标函数为直线在轴上的截距由目标函数取得最大值的最优解不唯一得直线应与直线或平行从而解出的值【详解】解：画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示将
解析：2或1-. 【解析】 【分析】
先画出不等式组所代表的平面区域，解释目标函数为直线=+y ax z 在y 轴上的截距，由目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一，得直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或
220x y -+=平行，从而解出a 的值.
【详解】
解：画出不等式组20220220x y x y x y +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
对应的平面区域如图中阴影所示
将=+z ax y -转化为=+y ax z ，所以目标函数z 代表直线=+y ax z 在y 轴上的截距 若目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一
则直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，如图中虚线所示 又直线20x y +-=和220x y -+=的斜率分别为1-和2 所以2a =或1a =- 故答案为：2或1-.
【点睛】
本题考查了简单线性规划，线性规划最优解不唯一，说明目标函数所代表的直线与不等式组某条边界线平行，注意区分最大值最优解和最小值最优解.
三、解答题
26． （Ⅰ）34C π=（Ⅱ）210- 【解析】
【分析】
（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得C 的大小.（II ）根据余弦定理求得c ，利用正弦定理求得sin B ，利用同角三角函数关系式求得cos B ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2B B 的值，再由两角差的正弦公式求得()sin 2B C -的值.
【详解】 ()2sin cos sin cos sin 0C A B B A C ++= 2sin sin 0C C C +=，∴2cos C =0C π<<，∴34C π= （Ⅱ）因为22a b ==，，34
C π=，由余弦定理得 22222cos 24222102c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴10c = 由5sin sin sin c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以25cos B = 5254sin 22555
B =⨯=，223cos 2cos sin 5B B B =-=
()43sin 2sin 2cos cos 2sin 55B C B C B C ⎛-=-=⨯-= ⎝⎭
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题.
27．
（1）AC =
2）BD = 【解析】
【分析】
（1）在△ABD 中，由余弦定理可求BD 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB 35
=，进而可求cos∠ADC 的值，在△ACD 中，利用余弦定理可求AC 的值．
（2）由（1）得：BD 2＝14﹣可求．S ABCD ＝7152+sin （θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ2
π=时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ
2
π+
，此时cosφ=，sinφ=，从而可求BD 的值． 【详解】 （1）在ABD ∆中，由2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅，
得214BD θ=-，又cos θ=BD =
∵,
2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴sin θ===
由sin sin BD AB BAD ADB =∠∠3sin
ADB =∠，解得：3sin 5ADB ∠=，
∵BCD ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2CDB π∠=且CD BD ==∴3cos cos sin 25
ADC ADB ADB π⎛
⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭ 在ACD ∆中，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠
(223
2375⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭
，
解得：AC =
（2）由（1）得：214BD θ=-，
211
3sin 22ABCD ABD BCD S S S BD θ∆∆=+=⨯+⨯ 7sin 2
θθ=+⨯-
)()157sin 2cos 7sin
22
θθθφ=+-=+-，此时sin φ=cos φ=，且0,2πφ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
当
2π
θφ-=时，四边形ABCD 的面积最大，即2π
θφ=+，此时sin θ=，cos
θ=
∴2141426
BD θ⎛
=-=-= ⎝，即BD =
答：当cos θ=AC 百米；草坪ABCD 的面积最大时，小路
BD
【点睛】
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
28．
选择①，2h =；选择②，2h =；选择③，2h = 【解析】
【分析】
（1）选择①sin A =，可由sin sin a b A B =解得2a =，再由2222cos b a c ac B =+-解得3c =，最后由sin h c B =可得解；
（2）选择②sin 3sin A C =，由sin sin()3sin A B C C =+=得5sin C C =，结合
22sin cos 1C C +=得sin 14
C =，最后由sin h b C =可得解. （3）选择③2a c -=，由2222cos b a c ac B =+-可得：227a c ac +-=，结合2a c -=解得1c =，最后由sin h c B =可得解.
【详解】
（1）选择①sin 7
A =，解答如下： 在ABC ，由正弦定理得：sin sin a b A B
=，
7=2a =，
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，
2212222
c c =+-⨯⨯，解得1c =-（舍去）或3c =， 则BC
边上的高sin h c B = （2）选择②sin 3sin A C =，解答如下：
在ABC 中，[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+，
由sin 3sin A C =可得：sin()3sin 3C C π
+=，
整理得5sin C C =┄①，
又22sin cos 1C C +=┄②，
由①②得sin C =， 则BC
边上的高sin h b C ===. （3）选择③2a c -=，解答如下：
在ABC 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-， 3B π
∠
=，b =
227a c ac ∴+-=┄①，
又2a c -=┄②，
由①②解得1c =，
则BC
边上的高sin h c B =. 【点睛】
本题考查了正余弦定理解三角形，考查了计算能力，属于中档题. 29．
（1）sin 2sin C A = （
2）4
【解析】
【分析】
（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案． （2）由（1）知sin 2sin c C a A ==，结合题意由余弦定理可解得1a =
，sin 4
B =，从而
计算出面积．
【详解】
（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===， 所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C A B b B
---== 即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-
即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A = 所以sin 2sin C A
= （2）由（1）知
sin 2sin c C a A ==，即2c a =， 又因为2b = ，所以由余弦定理得：
2222cos b c a ac B =+-，即222124224
a a a a =+-⨯⨯，解得1a =,
所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin B = ，
故ABC ∆的面积为
11sin 1222ac B =⨯⨯⨯4=4
. 【点睛】
正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题． 30．
(1) 40m -<≤．(2) 16
m <
【解析】
【分析】
(1)利用判别式可求实数m 的取值范围，注意二次项系数的讨论.
(2)就0,0,0m m m <=>三种情况讨论函数的最值后可得实数m 的取值范围.
【详解】
解：(1)要使210mx mx --<恒成立，
若0m =，显然10-<； 若0m ≠，则有2040m m m <⎧⎨∆=+<⎩
，40m ∴-<<， ∴40m -<≤．
(2)当0m =时，()10f x =-<显然恒成立；
当0m ≠时，该函数的对称轴是12
x =
，2()1f x mx mx =--在[1,3]x ∈上是单调函数． 当0m >时，由于(1)10f =-<，要使()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立，
只要(3)0f <即可,即9310m m --<得16m <，即106
m <<； 当0m <时，由于函数()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立，只要(1)0f <即可， 此时(1)10f =-<显然成立. 综上可知16m <
． 【点睛】
一元二次不等式的恒成立问题，可以转化为函数的最值进行讨论，必要时需要考虑对称轴的不同位置.。