2020年高考数学专题复习函数模型及其应用

函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比直线增长更快．( )
(2)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.( )
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．( )
(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是( )
A．y＝
1
100
e x B．y＝100 ln x
C．y＝x100D．y＝100·2x
答案：A
在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A ．[15，20]
B ．[12，25]
C ．[10，30]
D ．[20，30]
解析：选C.设矩形的另一边长为y m ，
则由三角形相似知，x 40＝40－y
40
，
所以y ＝40－x .
因为xy ≥300，所以x (40－x )≥300， 所以x 2
－40x ＋300≤0， 所以10≤x ≤30.
某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，
如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数
x (km)之间的函数关系式是________．
解析：由题意可得
y ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.
答案：y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，
0.4x ＋10，x >100
某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
解析：依题意得⎩
⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1
a log 464＋
b ＝4，
即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，
3a ＋b ＝4.
解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8.
x ＝1 024(万元)．
答案：1 024
函数模型的选择
(1)下表是在某个投资方案中，整理到的投入资金x (万元)与收益y (万元)的统计
表．
A．y＝ax＋b
B．y＝a·b x
C．y＝ax2＋bx＋c
D．y＝b log a x＋c
(2)某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区未成年人，从1岁到16岁的年龄x(岁)与身高y(米)的散点图如图，则该关系较适宜的函数模型为( )
A．y＝ax＋b B．y＝a＋log b x
C．y＝a·b x D．y＝ax2＋b
【解析】(1)画出大致散点图如图所示，根据散点图可知选B.
(2)根据散点图可知，较适宜的函数模型为y＝a＋log b x，故选B.
【答案】(1)B (2)B
选择函数模型的基本思想
(1)根据数据描绘出散点图；
(2)将散点根据趋势“连接”起来，得到大致走势图象；
(3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比，选择最佳函数模型．但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合．
1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y 关于年宣传费x 的函数模型最适合( )
A ．y ＝ax ＋b
B ．y ＝a ＋b x
C ．y ＝a ·b x
D ．y ＝ax 2
＋bx ＋c
解析：选B.根据散点图知，选择y ＝a ＋b x 最适合，故选B.
2．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，Q 与上市时间t 的变化关系：
Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .
利用你选取的函数，求：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________； (2)最低种植成本是________元/100 kg.
解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2
＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2
＋m 描述，将表中数据代入可得
⎩⎪⎨⎪⎧a （60－120）2
＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧a ＝0.01，m ＝80， 所以Q ＝0.01(t －120)2
＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
答案：(1)120 (2)80
函数模型的应用
已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120
(1＋k 2)x 2
(k >0)表示的曲线上，其中k
与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标
a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
【解】 (1)在y ＝kx －120(1＋k 2)x 2
(k >0)中，
令y ＝0，得kx －120
(1＋k 2)x 2
＝0.
由实际意义和题设条件知x >0，k >0.解以上关于x 的方程得x ＝20k 1＋k 2＝
201k
＋k
≤20
2
＝10，当且仅当k ＝1时取等号．
所以炮的最大射程是10千米．
(2)因为a >0，所以炮弹可以击中目标⇔存在k >0，使ka －120
(1＋k 2)a 2
＝3.2成立⇔关于
k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根，
得⎩⎪⎨
⎪⎧Δ＝（－20a ）2－4a 2（a 2＋64）≥0，
k 1
＋k 2
＝20a a 2>0，
k 1k 2
＝a 2
＋64a
2
>0，
解得0<a ≤6.
所以当a 不超过6千米时，炮弹可以击中它．
已知函数模型求解实际问题的三个步骤
(1)根据已经给出的实际问题的函数模型，分清自变量与函数表达式的实际意义，注意单位名称，并注意相关量之间的关系．
(2)根据实际问题的需求，研究函数的单调性、最值等，从而得出实际问题的变化趋势和最优问题．
(3)最后回归问题的结论．
1．某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.
解析：由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19. 答案：19
2．(2019·金华模拟)一个容器装有细沙a cm 3
，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e
－bt
(cm 3
)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙
子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析：当t ＝0时，y ＝a ； 当t ＝8时，y ＝a e
－8b
＝12a ，故e －8b
＝12
. 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e
－bt
＝18a ，e －bt ＝18
＝(e －8b )3＝e －24b
，则t ＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案：16
构建函数模型解决实际问题(高频考点)
构建函数模型是每年高考的重点，难度中等．主要命题角度有： (1)构建二次函数模型；
(2)构建指数函数、对数函数模型； (3)构建分段函数模型； (4)构建y ＝x ＋a x
(a >0)模型．
角度一 构建二次函数模型
某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元
征税R 元)，若年销售量为(30－5
2R )万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是
( )
A ．[4，8]
B ．[6，10]
C ．[4%，8%]
D ．[6%，10%]
【解析】 根据题意，要使附加税不少于128万元，
需⎝
⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2
－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8， 即R ∈[4，8]． 【答案】 A
角度二 构建指数函数、对数函数模型
某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研
发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年
D ．2021年
【解析】 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12
n －1
.由130×1.12
n －1
>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3
lg 1.12
，又
lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.11
0.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发
资金开始超过200万元，故选B.
【答案】 B
角度三 构建分段函数模型
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥
上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；
(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
【解】 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ， 再由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，
20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1
3，b ＝2003.
故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧60，0≤x ≤20，13（200－x ），20<x ≤200.
(2)依题意并由(1)可得
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧60x ，0≤x ≤20，13
x （200－x ），20<x ≤200.
当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20<x ≤200时，
f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ＋（200－x ）22＝10 000
3， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间(20，200]上取得最大值10 0003
.
综上，当x ＝100时，f (x )在区间[]0，200上取得最大值10 000
3≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
角度四 构建y ＝x ＋a
x
(a >0)模型
要建造一个容积为2 400 m 3
，深为6 m 的长方体无盖水池．池底造价为100元/m 2
，
池壁造价为80元/m 2
，则最低造价为________(元)．
【解析】 设水池长为x ，则宽为2 4006x ＝400x .
则总造价y ＝(12x ＋4 800
x
)×80＋400×100
＝960(x ＋400
x
)＋40 000
≥960×2x ×
400
x
＋40 000
＝78 400(元)． 当且仅当x ＝400
x
，
即x ＝20时，最低造价为78 400元． 【答案】 78 400
构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2
－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元，则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：设该单位每月获利为S ， 则S ＝100x －y
＝100x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2
＋300x －80 000
＝－12(x －300)2
－35 000，
因为400≤x ≤600，
所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
解决实际应用问题的四大步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：
易错防范
(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．
(2)解应用题建模后一定要注意定义域．
(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案． [基础达标]
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2
－1)
C ．y ＝log 2x
D ．y ＝log 12
x
解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.
2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )
解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A ．5.2
B ．6.6
C ．7.1
D ．8.3
解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x 年，则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x
＝12，即
x ＝log 0.912＝lg 1
2lg 0.9＝－lg 22lg 3－1＝－0.301 0
2×0.477 1－1
≈6.6(年)．故选B.
4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3
的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3
的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )
A ．13 m 3
B ．14 m 3
C ．18 m 3
D ．26 m 3
解析：选A.设该职工用水x m 3
时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧mx （0<x ≤10），10m ＋（x －10）·2m （x >10）， 则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.
5. 已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )
A ．40万元
B ．60万元
C ．120万元
D ．140万元
解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40万元，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80万元，共获利40＋80＝120万元，故选C.
6. 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的范围为( )
A ．[2，4]
B ．[3，4]
C ．[2，5]
D ．[3，5]
解析：选B.根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝3
2x ，
所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x
2，
由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝3
2x ≥3，BC ＝18x －x 2
>0，得2≤x <6.
所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x 2(2≤x <6)，由y ＝18x ＋3x
2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3，4]⊆
[2，6)，
所以腰长x 的范围是[3，4]．
7．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
注：在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．
解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．
答案：8
8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元，
则y ＝⎩⎨⎧9，0＜x ≤3，
8＋2.15（x －3）＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85（x －8）＋1，x ＞8，
由y ＝22.6，解得x ＝9. 答案：9
9．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
解析：M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1，A 2，则9＝lg A 1－lg A 0＝lg A 1
A 0
，则A 1A 0
＝109
，
5＝lg A 2－lg A 0＝lg A 2A 0，则A 2A 0
＝105
，所以A 1A 2
＝104
. 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
答案：6 10 000
10．(2019·杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．
解析：设每小时的总费用为y 元，则y ＝kv 2
＋96，又当v ＝10时，k ×102
＝6， 解得k ＝0.06，
所以每小时的总费用y ＝0.06v 2
＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10v
小时，故总费用
为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2
＋96)＝0.6v ＋960v
≥2
0.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v
，
即v ＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时． 答案：40
11．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．
(1)求x 的取值范围；
(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；
(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)x 的取值范围为10≤x ≤90. (2)y ＝5x 2＋52
(100－x )2
(10≤x ≤90)．
(3)因为y ＝5x 2
＋52(100－x )2
＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003
，所以当x
＝1003时，y min ＝50 0003.故核电站建在距A 城100
3
km 处，能使供电总费用y 最少． 12. 如图，GH 是一条东西方向的公路，现准备在点B 的正北方向的点A 处建一仓库，设AB ＝y 千米，并在公路旁边建造边长为x 千米的正方形无顶中转站CDEF (其中边EF 在公路GH 上)．若从点A 向公路和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB ＝AC ＋1，且∠ABC ＝60°.
(1)求y 关于x 的函数解析式；
(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x 取何值时，修建中转站和道路的总造价M 最低？
解：(1)由题意易知x >1，BC ＝2x ， 又AB ＝y ，AC ＝y －1，
在△ABC 中，由余弦定理得，(y －1)2
＝y 2
＋4x 2
－2y ·2x ·cos 60°， 所以y ＝4x 2
－1
2（x －1）
(x >1)．
(2)M ＝30(2y －1)＋40x ＝120x 2
－30
x －1－30＋40x ，其中x >1，
设t ＝x －1，则t >0，
所以M ＝120（t ＋1）2
－30t －30＋40(t ＋1)＝160t ＋90
t
＋250≥2
160t ·90
t
＋250＝
490，
当且仅当t ＝34时等号成立，此时x ＝7
4
.
所以当x ＝7
4时，修建中转站和道路的总造价M 最低．
[能力提升]
1．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e
kx ＋b
(e
＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A ．16小时
B ．20小时
C ．24小时
D ．28小时
解析：选C.由已知得192＝e b
，① 48＝e
22k ＋b
＝e 22k ·e b
，②
将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k
＝12，
当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b
＝e 33k
·e b
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123
×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24
小时．故选C.
2．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
解析：选C.由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获利润为y ＝[8＋2(k －1)][60
－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N *)，配方可得y ＝－6(k －9)2
＋864，所以当
k ＝9时，获得利润最大．选C.
3．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．
解析：因为m ＝6.5，所以[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 答案：4.24
4．某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2
，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．
解析：设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2
＋2(16－x )＝－0.1x 2
＋2.1x ＋32＝－0.1⎝
⎛⎭⎪⎫x －2122
＋0.1×
212
4＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
答案：43
5．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．
解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧kt ，0≤t ≤1，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t －a ，t ＞1，
当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，
由⎝ ⎛⎭
⎪⎫121－a
＝4得a ＝3.
所以y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t －3，t ＞1.
(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪
⎧t ＞1，⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12t －3≥0.25，
解得1
16
≤t ≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝79
16
(小时)．
6．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝1
4a ＋120，设甲大棚的投入为x (单元：万元)，每年两个大棚的总收
益为f (x )(单位：万元)．
(1)求f (50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？ 解：(1)由题意知甲大棚投入50万元， 则乙大棚投入150万元，
所以f (50)＝80＋42×50＋1
4
×150＋120＝277.5(万元)．
(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－1
4x ＋42x ＋250，依题意得⎩
⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20
≤x ≤180，
故f (x )＝－1
4
x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．
令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2
＋282，
当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282.
所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．。