杭州第十四中学数学高二下期中基础练习(含答案解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13604]将函数y =2sin(2x +π
6)的图象向右平移1
4
个周期后，所得图象对应
的函数为（ ）
A ．y =2sin(2x +π
4) B ．y =2sin(2x +π
3) C ．y =2sin(2x −π
4) D ．y =2sin(2x −π
3) 2．(0分)[ID ：13602]在ABC ∆中，若()()sin 12cos sin()A B B C A C -=+++，则
ABC ∆的形状一定是（ ）
A ．等边三角形
B ．不含60°的等腰三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形 3．(0分)[ID ：13601]若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
4．(0分)[ID ：13584]若4
sin()6
5x π
-=
，则sin(2)6
x π+的值为（ ） A ．
7
25
B ．725-
C ．
2425
D ．2425
-
5．(0分)[ID ：13582]《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=1
2（弦×矢＋矢×
矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π
3，弦长为40√3m
的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中π≈3，√3≈1.73） A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
6．(0分)[ID ：13579]当04x π
<<时,函数22cos ()cos sin sin x
f x x x x
=-的最小值是( )
A ．
1
4
B ．
12
C ．2
D ．4
7．(0分)[ID ：13574]如图，在ΔABC 中，AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =1
2
AC ⃑⃑⃑⃑ ，P 是BN 的中点，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14
AC
⃑⃑⃑⃑ ，则实数m 的值是（ ）
A ．1
4
B ．1
C ．1
2
D ．3
2
8．(0分)[ID ：13628]若△ABC 中，2
sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
9．(0分)[ID ：13625]若cos(π
4−α)=3
5，则sin2α=（ ） A ．7
25
B ．15
C ．−1
5 D ．−7
25 10．(0分)[ID ：13617]已知 sin 0θ>且cos 0θ<，则角的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．(0分)[ID ：13614]已知函数()()2
cos 23042x f x x πωωω⎛⎫=-->
⎪⎝
⎭在区间
0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则ω的最大值为（ ）. A ．1
B ．
6
5
C ．
43
D ．
32
12．(0分)[ID ：13610]设ω>0,函数y=sin(ωx+3π
)+2的图象向右平移43
π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ．
2
3
B ．
43
C ．
32
D ．3
13．(0分)[ID ：13570]已知1
cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，则sin 26πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ） A ．8
9
-
B ．
89 C ．
79
D ．79
-
14．(0分)[ID ：13567]把函数y ＝sin(x ＋π
6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12
(纵坐标不变)，再将图象向右平移π
3
个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4
C ．x ＝
π8
D ．x ＝
π4
15．(0分)[ID ：13538]3
cos()45x π
-=，那么sin 2x =（ ） A ．
1825
B ．2425
±
C ．725
-
D ．
725
二、填空题
16．(0分)[ID ：13726]函数()sin 5
2sin x f x x
+=
-的最大值为__________.
17．(0分)[ID ：13699]向量||8a =，b 12=，则b a +的最大值和最小值的和是________.
18．(0分)[ID ：13697]在ABC ∆中， 、、A B C 所对边分别为a b c 、、，若
tan 210tan A c
B b
+
+=，则A =____________. 19．(0分)[ID ：13690]已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若实数
220x OA xOB OC -+=，则x =_____.
20．(0分)[ID ：13677]设点()2,2A ，()4,1B ，在x 轴上求一点P ，使AP BP ⋅最小，此时APB ∠=______．
21．(0分)[ID ：13660]在正△ABC 中，若6AB =，2DC BD =，则AD BC ⋅=________ 22．(0分)[ID ：13656]已知A 、B 、C 是直线AB 上的不同的三个点，点O 不在直线
AB 上，则关于x 的方程20x OA xOB AC ++=的解集为________.
23．(0分)[ID ：13655]在平面直角坐标系中，已知向量(2,1)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则a OM --→
⋅的取值范围为__________.
24．(0分)[ID ：13640]已知12(1,1),(2,3)P P =-=，若P 在12PP 的长线上，且
1222PP P P =，则点P 的坐标为______．
25．(0分)[ID ：13636]若tanα＝2，则sinα·cosα的值为 ．
三、解答题
26．(0分)[ID ：13816]已知α，β为锐角，1tan 7α
=
，sin β=，求2αβ+ 27．(0分)[ID ：13799]在平面直角坐标系内，已知点()()()2,4,4,1,1,5A B C --. （1）求线段AB 的中垂线方程：（最后的结果写成0ax by c 的形式）
（2）若点D 在直线AB 上，且
3
4
ACD ABC S S =△△，求直线CD 的方程.（最后的结果写成
0ax by c 的形式）
28．(0分)[ID ：13767]已知O 为坐标原点，
()()()34,63,5,3OA OB OC m m =-=-=---，，
（1）若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围；
（2）若ABC ∆是以B 为直角的直角三角形，求实数m 的值并求ABC ∆的面积. 29．(0分)[ID ：13762]已知向量()()1,2,,1a b x ==，且2a b +与2a b -平行. （1）求向量b ；
（2）已知点()3,1A -，向量AB 与2a b +垂直，求直线AB 的一般式方程. 30．(0分)[ID ：13805]已知2a =
，1b =，a 与b 的夹角为45︒，求使向量()
2a b
λ-
与()
3a b λ-的夹角是锐角的实数λ的取值范围.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．B 5．B 6．D 7．C 8．A 9．D 10．B 11．C 12．C 13．C 14．A 15．C
二、填空题
16．6【解析】【分析】利用分离常数法分离常数然后结合不等式的性质求得最大值【详解】∵所以所以∴时故答案为：6【点睛】本题考查求函数的最值考查正弦函数的性质解题方
法是利用分离常数法分离常数然后结合不等式的
17．24【解析】【分析】计算得到取得到最大最小值得到答案【详解】当时有最大值为；当时有最大值为；故答案为：【点睛】本题考查了向量模的最值计算是解题的关键
18．【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式再把正切化成弦整理后可得解出即可【详解】由正弦定理可得故通分得到因为所以故即因为故填【点睛】在解三角形中如果题设条件是边角的混合
19．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力20．【解析】【分析】设得出关于x的二次函数从而可求出最小时的P点坐标再根据平面向量的夹角公式得出【详解】设则当时取得最小值此时故答案为【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算考查向量夹角的计算属于中档题
21．【解析】【分析】由可得利用向量的线性运算可得再求出和即可【详解】由题意则故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的线性运算考查了向量数量积的计算考查学生的计算能力属于基础题
22．【解析】【分析】根据三点共线得向量共线再根据共线向量定理得然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得最后验证可知不符合题意故解集为空集【详解】因为是直线上的不同的三个点所以与共线根据共线向量定
23．【解析】【分析】先作出曲线对应的图像再结合简单的线性规划问题观察图像即可得解【详解】解：曲线对应的图像为如图所示的菱形设则因为是曲线上的动点则又向量则由图可知：目标函数过点时函数取最小值过点时函数取
24．【解析】【分析】首先利用线段的比值求出λ进一步利用分点坐标公式即可求出结果【详解】由题意因为点P在的延长线上且所以可得又由设可得所以点的坐标为故答案为：【点睛】本题主要考查了定比分点的坐标公式的应用
25．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
函数y =2sin(2x +π
6)的周期为π，
将函数y =2sin(2x +π
6)的图象向右平移1
4
个周期即π
4
个单位，
所得图象对应的函数为y =2sin[2(x −π
4)+π
6)]=2sin(2x −π
3)， 故选D.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到sin 1C =，进而求出角C 是直角，即可选出答案． 【详解】
由题意知，()sin sin cos sin cos A B A B B A -=-，()()cos sin cos sin B C A C A B ++=-， 所以题中等式可转化为：sin cos sin cos 12cos sin A B B A A B -=-， 即sin cos sin cos 1A B B A +=， 则()sin 1A B +=， 故sin 1C =， 所以角C 为直角，
即ABC ∆的形状一定是直角三角形． 故答案为C. 【点睛】
本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题．
3．C
解析：C 【解析】
sin 0α<，则α的终边在三、四象限；tan 0α>则α的终边在三、一象限， sin 0α<，tan 0α>，同时满足，则α的终边在三象限． 4．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据诱导公式化简sin(2)6
x π
+，再根据二倍角余弦公式得结果.
【详解】 ∵4sin()6
5
x π
-=
，∴2327sin(2)cos 212sin 16362525x x x πππ-⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 【点睛】
本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力,属基础题.
5．B
解析：B 【解析】
分析：先根据经验公式计算出弧田的面积，再利用扇形面积减去三角形面积得实际面积，最后求两者之差.
详解：因为圆心角为2π
3，弦长为40√3m ，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，
因此根据经验公式计算出弧田的面积为1
2(40√3×20+20×20)=400√3+200，
实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12
×2π3
×402−12
×20×40√3=
1600π3
−
400√3， 因此两者之差为
1600π
3
−400√3−(400√3+200)≈16，选B.
点睛：扇形面积公式1
2
lr =12
αr 2，扇形中弦长公式2rsin α
2，扇形弧长公式l =αr.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
分子与分母同除以2cos x ，得21
()tan tan f x x x =-利用二次函数求最值即可解答
【详解】
分子与分母同除以2cos x ，得21
()tan tan f x x x
=
-，
2
2110,0tan 1,tan tan tan 424x x x x x π
⎛
⎫<<∴<<∴-=--+
⎪⎝
⎭ 1
tan 2
x ∴=
时，2tan tan x x -的最大值为14
综上，22
cos ()cos sin sin x
f x x x x
=-的最小值为4 故选D 【点睛】
本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑ 作为基底表示出AP
⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用平面向量基本定理，即可求出． 【详解】
∵P ，N 分别是BN ，AC 的中点，
∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12
BN ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12
(AN ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=12
AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12
AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =12
AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +1
4
AC ⃑⃑⃑⃑ .
又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +1
4AC ⃑⃑⃑⃑ ，∴m =12.故选C.
【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】
ABC ∆中，sin()sin A B C +=，
∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，
整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，
cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），
0A π<<
90A ∴=︒，
则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 【点睛】
此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
9．D
解析：D 【解析】
试题分析：cos[2(π
4−α)]=2cos 2(π
4−α)−1=2×(3
5)2−1=−7
25， 且cos[2(π
4−α)]=cos[π
2−2α]=sin2α，故选D. 【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用三角函数的定义，可确定0y >且0x <，进而可知θ所在的象限，得到结果. 【详解】
依据题设及三角函数的定义
可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零， 所以终边在第二象限， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递减，所以求3
x π
ω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.
【详解】
()
cos 1cos 2f x x x πωω⎫
⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭
cos x x ωω=
2cos 3x πω⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
22T π∴
≥ ,即2
ππω≥ 02ω∴<≤ ，
当[0,
]2
x π
∈时，
[,]3323
x π
πω
π
ωπ+
∈+， ∴ [,][0,]323πωπ
ππ+⊆ ∴
2
3
ω
π
ππ+
≤，
4
03
ω∴<≤
， 综上可知403
ω<≤. 故选C 【点睛】
本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，
()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将
参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.
12．C
解析：C 【解析】 函数sin 23y x πω⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移43
π
个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx π
πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫
=-
++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
所以有4333
20132
22
w k
k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=
≥ 故选C
13．C
解析：C
【解析】
【分析】 根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，再利用诱导公式求得结果. 【详解】
1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦ 7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝
⎭ 本题正确选项：C
【点睛】
本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.
14．A
解析：A
【解析】
把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12
(纵坐标不变)得πsin(2)6y x =+ ，再将图象向右平移π3个单位长度得πππsin(2())sin(2)cos 2362y x x x =-+=-=-，一条对称轴方程为x ＝－π2
，选A. 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2
k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2
k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈. 15．C
解析：C
【解析】
【分析】 由3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式求得sin2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的值． 【详解】
由题意可得3cos 45x π⎛⎫-=
⎪⎝⎭， ∴sin2cos 2cos 224
x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭， 故选C ．
【点睛】 本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．
二、填空题
16．6【解析】【分析】利用分离常数法分离常数然后结合不等式的性质求得最大值【详解】∵所以所以∴时故答案为：6【点睛】本题考查求函数的最值考查正弦函数的性质解题方法是利用分离常数法分离常数然后结合不等式的
解析：6
【解析】
【分析】
利用分离常数法分离常数，然后结合不等式的性质求得最大值．
【详解】
()sin 52sin x f x x +=-712sin x
=-+-， ∵1sin 1x -≤≤，所以12sin 3x ≤-≤，
77732sin x ≤≤-，所以4()63
f x -≤≤， ∴sin 1x =时，max ()6f x =．
故答案为：6.
【点睛】 本题考查求函数的最值，考查正弦函数的性质．解题方法是利用分离常数法分离常数，然后结合不等式的性质求解．
17．24【解析】【分析】计算得到取得到最大最小值得到答案【详解】当时有最大值为；当时有最大值为；故答案为：【点睛】本题考查了向量模的最值计算是解题的关键
解析：24
【解析】
【分析】
计算得到2||208192cos a b θ+=+，取cos 1θ=，cos 1θ=-得到最大最小值得到答案.
【详解】
222||2208192cos a b a b a b θ+=++⋅=+
当cos 1θ=时，||a b +有最大值为20；当cos 1θ=-时，||a b +有最大值为4； 故答案为：24
【点睛】
本题考查了向量模的最值，计算2||208192cos a b θ+=+是解题的关键.
18．【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式再把正切化成弦整理后可得解出即可【详解】由正弦定理可得故通分得到因为所以故即因为故填【点睛】在解三角形中如果题设条件是边角的混合 解析：23
π. 【解析】
【分析】
利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式，再把正切化成弦，整理后可得
120cos A
+=，解出A 即可. 【详解】 由正弦定理可得tan 2sin 10tan sin A C B B +
+=，故sin cos 2sin 10cos sin sin A B C A B B ++=， 通分得到()sin 2sin 0cos sin sin A B C A B B
++=，sin 2sin 0cos sin sin C C A B B +=. 因为(),0,B C π∈，所以
sin 0sin C B ≠，故120cos A +=即1cos 2A =-. 因为()0,A π∈，故23
A π=，填23π. 【点睛】 在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.
19．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力
解析：1
【解析】
【分析】
变换得到22OC xOB x OA =-，根据三点共线得到221x x -=，计算得到答案.
【详解】
22202x xOB OC OC xOB OA OA x -+=∴=-，A 、B 、C 为直线l 上不同的三点 则2211x x x -=∴=
故答案为：1
【点睛】
本题考查了向量三点共线问题，意在考查学生的计算能力.
20．【解析】【分析】设得出关于x 的二次函数从而可求出最小时的P 点坐标再
根据平面向量的夹角公式得出【详解】设则当时取得最小值此时故答案为【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算考查向量夹角的计算属于中档题
解析：arccos
10
【解析】
【分析】
设(),0P x ，得出AP BP ⋅关于x 的二次函数，从而可求出AP BP ⋅最小时的P 点坐标，再根据平面向量的夹角公式得出APB ∠．
【详解】
设(),0P x ，则()2,2AP x =--，()4,1BP x =--， ()()22242610(3)1AP BP x x x x x ∴⋅=--+=-+=-+．
∴当3x =时，AP BP ⋅取得最小值．
此时，()1,2PA =-，()1,1PB =，
cos 5PA PB
APB PA PB ⋅∴∠===
APB ∴∠=
故答案为arccos
10
． 【点睛】 本题考查了平面向量的数量积运算，考查向量夹角的计算，属于中档题．
21．【解析】【分析】由可得利用向量的线性运算可得再求出和即可【详解】由题意则故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的线性运算考查了向量数量积的计算考查学生的计算能力属于基础题
解析：6-
【解析】
【分析】 由2DC BD =可得13
BD BC =,利用向量的线性运算可得()
21133AD BC AB BD BC AB BC BC AB BC BC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⋅+ ⎪⎝⎭,再求出AB BC ⋅和2BC 即可.
【详解】
由题意,2DC BD =,则13
BD BC =,
66cos6018AB BC BA BC ︒⋅=-⋅=-⨯=-,26636BC =⨯=,
()
211118366333AD BC AB BD BC AB BC BC AB BC BC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⋅+=-+⨯=- ⎪⎝⎭. 故答案为:6-.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算,考查了向量数量积的计算,考查学生的计算能力,属于基础题. 22．【解析】【分析】根据三点共线得向量共线再根据共线向量定理得然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得最后验证可知不符合题意故解集为空集【详解】因为是直线上的不同的三个点所以与共线根据共线向量定 解析：∅
【解析】
【分析】
根据三点共线得向量共线,再根据共线向量定理得AB AC λ=,然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得1x =-,最后验证可知不符合题意,故解集为空集.
【详解】
因为A 、B 、C 是直线AB 上的不同的三个点,
所以AB 与AC 共线,
根据共线向量定理可得,存在实数R λ∈,使得AB AC λ=,
因为0AB ≠,所以0λ≠,
所以OB OA -AC λ=,
所以1
1
AC OA OB λλ=-+,
又由已知得2AC x OA xOB =--,
根据平面向量基本定理可得,21x λ-
=-且1x λ=-,
消去λ得2x x =-且0x ≠,
解得1x =-,1λ=,
当1λ=时,AB AC =,此时B 与C 两点重合,不符合题意,故舍去,
故于x 的方程20x OA xOB AC ++=的解集为∅,
故答案为: ∅.
本题考查了共线向量定理以及平面向量基本定理,三角形减法法则的逆运算,属于中档题.
23．【解析】【分析】先作出曲线对应的图像再结合简单的线性规划问题观察图像即可得解【详解】解：曲线对应的图像为如图所示的菱形设则因为是曲线上的动点则又向量则由图可知：目标函数过点时函数取最小值过点时函数取 解析：[]4,4-
【解析】
【分析】
先作出曲线||2||2x y +=对应的图像，再结合简单的线性规划问题，观察图像即可得解.
【详解】
解：曲线||2||2x y +=对应的图像为如图所示的菱形ABCD ，
设00()M x y ，则()00,OM x y =，因为M 是曲线||2||2x y +=上的动点，
则00||2||2x y +=，又向量(2,1)a =，则002z a OM x y --→
=⋅+=，
由图可知：目标函数2z x y =+过点(2,0)A -时，函数取最小值2(2)104⨯-+⨯=-， 过点(2,0)C 时，函数取最大值22104⨯+⨯=，
即a OM --→⋅的取值范围为[]4,4-， 故答案为：[]4,4-.
【点睛】
本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.
24．【解析】【分析】首先利用线段的比值求出λ进一步利用分点坐标公式即可求出结果【详解】由题意因为点P 在的延长线上且所以可得又由设可得所以点的坐标为故答案为：【点睛】本题主要考查了定比分点的坐标公式的应用 解析：7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
首先利用线段的比值求出λ，进一步利用分点坐标公式，即可求出结果．
由题意，因为点P 在12PP 的延长线上，且122||2||PP P P =，
所以213PP PP =-，可得3
λ=-， 又由121123P P =
-=（，）、（，）， 设P x y （，），可得121(3)271132x x x λλ+-+-⨯===+-，121(3)34113
y y y λλ++-⨯===+- 所以点P 的坐标为7,42⎛⎫
⎪⎝⎭．
故答案为：7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了定比分点的坐标公式的应用，以及向量的共线条件的应用，着重考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．． 25．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系 解析：
【解析】
试题分析：
，答案为． 考点：同角三角函数的平方关系与商数关系
三、解答题
26． 4
π 【解析】
【分析】
由题意首先求得tan 2β的值，然后结合两角和差正切公式求得()tan 2αβ+的值，最后结合角的范围和特殊角的三角函数值可得2αβ+的值.
【详解】
因为β为锐角,10sin β=,所以310cos β=则1tan 3β=， 221
22tan 33tan 21tan 4113βββ⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭
，由于β为锐角，且tan 20β>，故2β为锐角，
()13tan tan 274tan 2113
1tan tan 2174
αβαβαβ+++===--⨯. 由,2αβ为锐角,得到()20,αβπ+∈,所以24παβ+=
.
【点睛】
本题主要考查二倍角公式，两角和差正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 27．
（1）4210x y +-= （2）136430x y -+=或6310x y -+=
【解析】
【分析】
（1）求出AB 的中点和斜率后可求AB 的中垂线方程.
（2）利用34
AD AB =
求出D 的坐标后可求直线CD 的方程. 【详解】 （1）AB 的中点为51,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭，斜率为411242-=+，故AB 中垂线的斜率为2- 所以中垂线的方程为()5212y x -
=-+即4210x y +-=. （2）因为34ACD ABC S S =△△，所以34
AD AB =. 若34AD AB =，则()()32,46,34D D x y --=，故132254D D x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 故25514136
12
CD k -==+，故直线()1:516CD y x -=+即6310x y -+=. 若34AD AB =-，则()()32,46,34D D x y --=-，故5274D D x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 故7513456
12
CD k -==-+，故直线()13:516CD y x -=+即136430x y -+=. 故直线CD 的方程为：136430x y -+=或6310x y -+=.
【点睛】
本题考查直线方程的求法，一般地，直线有斜率（或倾斜角）、所过之点、截距等，我们只要两个几何要素就可以求直线方程，本题属于基础题.
28．
（1）34m >-且12m ≠（2）34
m =-，ABC ∆的面积为54． 【解析】
【分析】
（1）求出向量,BA BC ，根据ABC ∠为锐角，可知0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即可解出；
（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，解出实数m 的值并可以得到直角边,BA BC 的长，即可求出ABC ∆的面积．
【详解】
（1）()()()3,46,33,1BA OA OB =-=---=--， ()()()5,36,31,BC OC OB m m m m =-=-----=---，
由ABC ∠为锐角可得，0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，
即()()310310m m m m ⎧++>⎪⎨-+≠⎪⎩ ⇒ 341
2m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩即34m >-且12m ≠； （2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，即()310m m ++=， 解得34m =-．所以
(BA =-=13,44BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，104BC =， 故ABC ∆的面积为
15244
=． 【点睛】 本题主要考查向量的运算和向量数量积的运用，易错点是向量夹角大小与数量积之间的等价关系．
29．
（1）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（2）x +2y +1=0 【解析】
【分析】 （1）将2a b +，2a b -分别用坐标表示，然后根据向量平行对应的坐标关系求解出x 的值，即可求解出b ；
（2）根据向量AB 与2a b +垂直，可知2a b +为直线的法向量，即可求出直线AB 的点
法向式方程，再将其转变为一般式方程即可.
【详解】
（1）因为()221,4a b x +=+，()22,3a b x -=-，且2a b +与2a b -平行， 所以()()32142x x +=-，所以12x =，所以1,12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
； （2）因为()22,4a b +=且2a b +为直线AB 的法向量，又因为直线AB 过点()3,1A -，
所以AB 的点法向式方程为：()()23410x y -++=，
则AB 的一般式方程为：210x y +-=.
【点睛】
（1）已知()()1122,,,a x y b x y ==，若//a b ，则有：12210x y x y -=；
（2）已知直线上一点()00,P x y 以及直线的法向量(),n a b =，可直接写出点法向式方程()()()220000a x x b y y a b -+-=+≠.
30．
(()
6,6 【解析】
【分析】 根据题意便知()()
230a b a b λλ-⋅->，从而根据条件进行数量积的运算便可得出2760λλ-+<，解该不等式，剔除夹角为零的情况，便可得出λ的取值范围.
【详解】
()2a b λ-与()3a b λ-夹角为锐角时，
()()()()2222232634630a b a b a a b b λλλλλλλλ-⋅-=-+⋅+=-++>； 解得16λ<<；
当λ=()2a b λ-与()3a b λ-分别为()26a b -与)3b -同向，夹角为零，不合题意，舍去；
∴实数λ的取值范围为(()6,6. 【点睛】
考查数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的概念，解一元二次不等式，此题容易漏掉考虑向量同向的情况.。