(苏科版)无锡市江阴市要塞片2019届九年级下期中数学试卷(附答案解析)
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2018-2019学年江苏省无锡市江阴市要塞片九年级(下)期中数学试卷
一、选择题(本大题共有10小题,每题3分,共30分.每小题只有一个选项是正确的,请将正确选项前的字母代号写在答题卷的相应位置上.)
1.﹣2的绝对值是()
A.﹣B.C.2 D.﹣2
2.下列运算中正确的是()
A.B.(a﹣b)(﹣a﹣b)=a2﹣b2
C.2a2•a3=2a6D.(﹣a)10÷(﹣a)4=a6
3.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图,AB∥CD,点E在BC上,且CD=CE,∠D=75°,则∠B的度数为()
A.20°B.30°C.40°D.50°
5.如图,点A是反比例函数y=(x>0)图象上一点,AB⊥x轴于点B,点C在x轴上,且OB=OC,若△ABC的面积等于6,则k的值等于()
A.3 B.6 C.8 D.12
6.一个长方体的三视图如图所示,若其俯视图为正方形,则长方体的高和底面边长分别为()
A.5,3B.2,3C.3,5 D.5,3
7.某商品的标价为200元,8折销售仍赚40元,则商品进价为()元.
A.140 B.120 C.160 D.100
8.如图,▱ABCD的周长为28,对角线AC、BD相交于点O.点E是CD的中点,BD=10,则△DOE的周长为()
A.28 B.24 C.12 D.17
9.已知圆锥的底面半径为3cm,侧面积为15πcm2,设圆锥的母线与高的夹角为θ(如图所示),则tanθ的值为()
A.B.C.D.
10.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点,则BM+MN的最小值为()
A.6.4 B.8 C.4D.6
二、填空题(本大题共8小题,每空2分,共20分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上)
11.据媒体报道,我国因环境污染造成的巨大经济损失,每年高达680000000元,这个数用科学记数法表示为元.
12.分解因式:x3﹣4x=;使有意义的x的取值范围是.
13.已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是﹣1,则它的另一个根是,m的值是.14.已知二次函数的图象如图,则这个二次函数的表达式为.
15.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BOD=110°,则∠BCD的度数为.
16.如图,每个小正方形边长为1,则△ABC边AC上的高BD的长为.
17.有一组数据如下:1,3,a,5,7,它们的平均数是4,则这组数据的方差是.
18.如图1,在平面直角坐标系中,将▱ABCD放置在第一象限,且AB∥x轴.直线y=﹣x从原点出发沿x 轴正方向平移,在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示,那么AD的长为.
三、解答题(本大题共有10小题,共80分.请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.计算:
(1)
(2).
20.解方程与解不等式组:
(1)解方程:x2﹣4x﹣6=0
(2)解不等式组:.
21.某校根据开展“阳光体育活动”的要求,决定主要开设A:乒乓球,B:篮球,C:跑步,D:跳绳这四种运动项目.为了解学生喜欢哪一种项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图.请你结合图中的信息解答下列问题:
(1)样本中喜欢B项目的人数百分比是,其所在扇形统计图中的圆心角的度数
是;
(2)把条形统计图补充完整;
(3)已知该校有1000人,根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少?
22.有甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中装3个完全相同的小球,分别标有数字1,2,3;乙袋中也装3个完全相同的小球,分别标有数字﹣1,﹣2,0;现从甲袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为x,再从乙袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为y,确定点M坐标为(x,y).
(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标;
(2)求点M(x,y)在函数y=﹣x+1的图象上的概率.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角.
实验与操作:
根据要求进行尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法)
(1)作∠DAC的平分线AM;
(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE,CF.
猜想并证明:
判断四边形AECF的形状并加以证明.
24.如图,小岛在港口P的北偏西60°方向,距港口56海里的A处,货船从港口P出发,沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,4小时后货船在小岛的正东方向.求货船的航行速度.(精确到0.1海里/时,参考数据:
≈1.41,≈1.73)
25.如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.
(1)求证:AB=BE;
(2)若PA=2,cosB=,求⊙O半径的长.
26.某服装公司招工广告承诺:熟练工人每月工资至少3000元.每天工作8小时,一个月工作25天.月工资底薪800元,另加计件工资.加工1件A型服装计酬16元,加工1件B型服装计酬12元.在工作中
(工发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时,加工3件A型服装和1件B型服装需7小时.
人月工资=底薪+计件工资)
(1)一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时?
(2)一段时间后,公司规定:“每名工人每月必须加工A,B两种型号的服装,且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”.设一名熟练工人每月加工A型服装a件,工资总额为W元.请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺?
27.方成同学看到一则材料,甲开汽车,乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地,设乙行驶的时间为t(h),甲乙两人之间的距离为y(km),y与t的函数关系如图1所示,方成思考后发现了图1的部分正确信息,乙先出发1h,甲出发20分钟后与乙相遇,…,请你帮助方成同学解决以下问题:
(1)分别求出线段BC,CD所在直线的函数表达式;
(2)当15<y<25时,求t的取值范围;
(3)分别求出甲、乙行驶的路程S 甲、S 乙与时间t 的函数表达式,并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象.
28.如图,顶点为A 的抛物线y=a (x+2)2﹣4交x 轴于点B (1,0),连接AB ,过原点O 作射线OM ∥AB ,过点A 作AD ∥x 轴交OM 于点D ,点C 为抛物线与x 轴的另一个交点,连接CD .
(1)求抛物线的解析式、直线AB 的解析式;
(2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段OD 向点D 运动,同时动点Q 从点C 出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CO 向点O 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动. 问题一:当t 为何值时,△OPQ 为等腰三角形?
问题二:当t 为何值时,四边形CDPQ 的面积最小?并求此时PQ 的长.
2018-2019学年江苏省无锡市江阴市要塞片九年级(下)期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共有10小题,每题3分,共30分.每小题只有一个选项是正确的,请将正确选项前的字母代号写在答题卷的相应位置上.)
1.﹣2的绝对值是()
A.﹣B.C.2 D.﹣2
【考点】绝对值.
【分析】根据绝对值的定义解答.
【解答】解:|﹣2|=2,
故选C.
2.下列运算中正确的是()
A.B.(a﹣b)(﹣a﹣b)=a2﹣b2
C.2a2•a3=2a6D.(﹣a)10÷(﹣a)4=a6
【考点】平方差公式;同底数幂的除法;单项式乘单项式;负整数指数幂.
【分析】根据负整数指数幂,平方差公式,单项式乘法,同底数幂的除法分别求出每一部分的值,再选择即可.
【解答】解:A、结果是9,故本选项错误;
B、结果是b2﹣a2,故本选项错误;
C、结果是2a5,故本选项错误;
D、结果是a6,故本选项正确;
故选D.
3.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【考点】中心对称图形;轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:第一个图形不是轴对称图形,不是中心对称图形;
第二个图形是轴对称图形,也是中心对称图形;
第三个图形是轴对称图形,是中心对称图形;
第四个图形是轴对称图形,是中心对称图形.
共有3个图形既是轴对称图形,也是中心对称图形,
故选C.
4.如图,AB∥CD,点E在BC上,且CD=CE,∠D=75°,则∠B的度数为()
A.20°B.30°C.40°D.50°
【考点】平行线的性质;等腰三角形的性质.
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠C的度数,再根据两直线平行,内错角相等解答即可.
【解答】解:∵CD=CE,
∴∠D=∠DEC,
∵∠D=75°,
∴∠C=180°﹣75°×2=30°,
∵AB∥CD,
∴∠B=∠C=30°.
故选B.
5.如图,点A是反比例函数y=(x>0)图象上一点,AB⊥x轴于点B,点C在x轴上,且OB=OC,若△ABC的面积等于6,则k的值等于()
A.3 B.6 C.8 D.12
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】首先确定三角形AOB的面积,然后根据反比例函数的比例系数的几何意义确定k的值即可.【解答】解:∵OB=OC,
∴S△AOB=S△ABC=×6=3,
∴|k|=2S△ABC=6,
∵反比例函数的图象位于第一象限,
∴k=6,
故选B.
6.一个长方体的三视图如图所示,若其俯视图为正方形,则长方体的高和底面边长分别为()
A.5,3B.2,3C.3,5 D.5,3
【考点】由三视图判断几何体.
【分析】由主视图可得长方体的高和底面正方形的对角线长,利用勾股定理即可求得长方体的底面边长.
【解答】解:∵主视图的长为3,俯视图为正方形,
∴长方体的底面边长为3÷=3,
∵主视图的高就是几何体的高,
∴这个长方体的高和底面边长分别是5,3
故选D.
7.某商品的标价为200元,8折销售仍赚40元,则商品进价为()元.
A.140 B.120 C.160 D.100
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】设商品进价为每件x元,则售价为每件0.8×200元,由利润=售价﹣进价建立方程求出其解即可.【解答】解:设商品的进价为每件x元,售价为每件0.8×200元,由题意,得
0.8×200=x+40,
解得:x=120.
故选:B.
8.如图,▱ABCD的周长为28,对角线AC、BD相交于点O.点E是CD的中点,BD=10,则△DOE的周长为()
A.28 B.24 C.12 D.17
【考点】平行四边形的性质;三角形中位线定理.
【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出OD=5,CD+BC=14,再证明OE是△BCD的中位线,得出DE+OE=7,即可得出结果.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OB=OD=BD=5,
∵▱ABCD的周长为28,
∴CD+BC=14,
∵点E是CD的中点,
∴DE=CD,OE是△BCD的中位线,
∴OE=BC,
∴DE+OE=(CD+BC)=7,
∴△DOE的周长=OD+DE+OE=5+7=12;
故选:C.
9.已知圆锥的底面半径为3cm,侧面积为15πcm2,设圆锥的母线与高的夹角为θ(如图所示),则tanθ的值为()
A.B.C.D.
【考点】圆锥的计算.
【分析】先根据扇形的面积公式S=L•R求出母线长,再根据锐角三角函数的定义解答即可.
【解答】解:设圆锥的母线长为R,由题意得
15π=π×3×R,
解得R=5.
∴圆锥的高为4,
∴tanθ=.
故选B.
10.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点,则BM+MN的最小值为()
A.6.4 B.8 C.4D.6
【考点】轴对称-最短路线问题;矩形的性质.
【分析】过B点作AC的垂线,使AC两边的线段相等,到E点,过E作EF垂直AB交AB于F点,EF 就是所求的线段.
【解答】解:过B点作AC的垂线,使AC两边的线段相等,到E点,过E作EF垂直AB交AB于F点,∵AB=8,BC=4,
∴AC=,
∴AC边上的高为,所以BE=.
∵△ABC∽△EFB,
∴=,即,
EF=6.4.
故选A.
二、填空题(本大题共8小题,每空2分,共20分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上)
11.据媒体报道,我国因环境污染造成的巨大经济损失,每年高达680000000元,这个数用科学记数法表示为 6.8×108元.
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将680000000用科学记数法表示为6.8×108.
故答案为:6.8×108.
12.分解因式:x3﹣4x=x(x+2)(x﹣2);使有意义的x的取值范围是x≥3.
【考点】提公因式法与公式法的综合运用;二次根式有意义的条件.
【分析】原式提取x,再利用平方差公式分解即可;根据负数没有平方根求出x的范围即可.
【解答】解:原式=x(x2﹣4)=x(x+2)(x﹣2);
由题意得:x﹣3≥0,即x≥3,
故答案为:x(x+2)(x﹣2);x≥3.
13.已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是﹣1,则它的另一个根是3,m的值是﹣2.
【考点】根与系数的关系.
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系,两根的和是﹣m,两个根的积是3,即可求解.
【解答】解:设方程的另一个解是a,则﹣1+a=﹣m,﹣1×a=﹣3,
解得:m=﹣2,a=3.
故答案是:3,﹣2.
14.已知二次函数的图象如图,则这个二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3.
【考点】待定系数法求二次函数解析式.
【分析】根据图象设出抛物线的两根形式y=a(x+1)(x﹣3),将(0,﹣3)代入求出a的值,即可确定出解析式.
【解答】解:根据图象设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
将(0,﹣3)代入解析式得:﹣3=﹣3a,即a=1,
则抛物线解析式为y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣2x﹣3.
故答案为:y=x2﹣2x﹣3.
15.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BOD=110°,则∠BCD的度数为125°.
【考点】圆内接四边形的性质;圆周角定理.
【分析】根据圆周角定理求出∠A的度数,根据圆内接四边形的性质计算即可.
【解答】解:由圆周角定理得,∠A=∠BOD=55°,
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠A+∠BCD=180°,
∴∠BCD=125°,
故答案为:125°.
16.如图,每个小正方形边长为1,则△ABC边AC上的高BD的长为.
【考点】勾股定理;三角形的面积.
【分析】根据网格,利用勾股定理求出AC的长,AB的长,以及AB边上的高,利用三角形面积公式求出三角形ABC面积,而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求,利用面积法即可求出BD的长.
【解答】解:根据勾股定理得:AC==5,
由网格得:S△ABC=×2×4=4,且S△ABC=AC•BD=×5BD,
∴×5BD=4,
解得:BD=.
故答案为:
17.有一组数据如下:1,3,a,5,7,它们的平均数是4,则这组数据的方差是4.
【考点】方差;算术平均数.
【分析】先由平均数的公式计算出a的值,再根据方差的公式计算即可.
【解答】解:∵数据1,3,a,5,7的平均数是4,
∴a=4×5﹣1﹣3﹣5﹣7=4,
∴这组数据的方差是s2=[(1﹣4)2+(3﹣4)2+(4﹣4)2+(5﹣4)2+(7﹣4)2]=4.
故答案为4.
18.如图1,在平面直角坐标系中,将▱ABCD放置在第一象限,且AB∥x轴.直线y=﹣x从原点出发沿x 轴正方向平移,在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图
象如图2所示,那么AD的长为或..
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】根据平移的特点结合图2,找出相应的线段OE=4,OF=7,DG=2,OE=4,OM=8,再利用等腰
直角三角形的特点和锐角三角函数tan∠dab==2,最后用勾股定理求出AD.
【解答】解:①当AB>3时如图1,
由图可知:OE=4,OF=7,DG=2,
∴EF=AG=OF﹣OE=3
∵直线解析式为:y=﹣x
∴∠AGD=∠EFD=45°
∴△AGD是等腰直角三角形
∴DH=GH=DG=×2=2,
∴AH=AG﹣GH=3﹣2=1,
∴AD===;
②当AB=3时,如图2,
∵DH=2,AH=1,
∴tan∠dab==2,
由图可知:OE=4,OM=8,
∴AG=EM=OM﹣OE=8﹣4=4,
同①可得,DH=GH,
∵tan∠DAB=2,
∴AH==,
∴AG=AH+GH=DH=4,
∴DH=GH=4﹣=,
∴AD===.
故答案为或.
三、解答题(本大题共有10小题,共80分.请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.计算:
(1)
(2).
【考点】分式的混合运算;实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】(1)根据特殊角的三角函数值、负整数整数幂和零指数幂的意义计算;
(2)先把括号内通分和除法运算化为乘法运算,然后约分即可.
【解答】解:(1)原式=2﹣2+9﹣1
=8;
(2)原式=•(﹣)
=•(﹣)
=﹣(x+4)
=﹣x﹣4.
20.解方程与解不等式组:
(1)解方程:x2﹣4x﹣6=0
(2)解不等式组:.
【考点】解一元一次不等式组;解一元二次方程-配方法.
【分析】(1)公式法求解即可;
(2)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【解答】解:(1)∵a=1,b=﹣4,c=﹣6,
∴b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×1×(﹣6)=16+24=40>0,
则x==2±,
故x1=2+,x2=2﹣;
(2)解不等式x﹣3(x﹣2)≤4,得:x≥1,
解不等式,得:x<4,
故不等式组的解集为:1≤x<4.
21.某校根据开展“阳光体育活动”的要求,决定主要开设A:乒乓球,B:篮球,C:跑步,D:跳绳这四种运动项目.为了解学生喜欢哪一种项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图.请你结合图中的信息解答下列问题:
(1)样本中喜欢B项目的人数百分比是20%,其所在扇形统计图中的圆心角的度数是72°;
(2)把条形统计图补充完整;
(3)已知该校有1000人,根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)利用1减去其它各组所占的比例即可求得喜欢B项目的人数百分比,利用百分比乘以360度即可求得扇形的圆心角的度数;
(2)根据喜欢A的有44人,占44%即可求得调查的总人数,乘以对应的百分比即可求得喜欢B的人数,作出统计图;
(3)总人数1000乘以喜欢乒乓球的人数所占的百分比即可求解.
【解答】解:(1)1﹣44%﹣8%﹣28%=20%,所在扇形统计图中的圆心角的度数是:360×20%=72°;
故答案为:20%,72°;
(2)调查的总人数是:44÷44%=100(人),
则喜欢B的人数是:100×20%=20(人),
(3)全校喜欢乒乓球的人数是1000×44%=440(人).
答:根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是440人.
22.有甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中装3个完全相同的小球,分别标有数字1,2,3;乙袋中也装3个完全相同的小球,分别标有数字﹣1,﹣2,0;现从甲袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为x,再从乙袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为y,确定点M坐标为(x,y).
(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标;
(2)求点M(x,y)在函数y=﹣x+1的图象上的概率.
【考点】列表法与树状图法;一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】(1)用树状图法展示所有9种等可能的结果数;
(2)根据一次函数图象上点的坐标特征,从9个点中找出满足条件的点,然后根据概率公式计算.
【解答】解:(1)画树状图:
共有9种等可能的结果数,它们分别是:(1,﹣1),(1,﹣2),(1,0),(2,﹣1),(2,﹣2),(2,0),(3,﹣1),(3,﹣2),(3,0);
(2)因为在直线y=﹣x+1的图象上的点有:(1,0),(2,﹣1),(3,﹣2),
所以点M(x,y)在函数y=﹣x+1的图象上的概率P=.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角.
实验与操作:
根据要求进行尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法)
(1)作∠DAC的平分线AM;
(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE,CF.
猜想并证明:
判断四边形AECF的形状并加以证明.
【考点】作图—复杂作图;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质.
【分析】先作以个角的交平分线,再作线段的垂直平分线得到几何图形,由AB=AC得∠ABC=∠ACB,由AM平分∠DAC得∠DAM=∠CAM,则利用三角形外角性质可得∠CAM=∠ACB,再根据线段垂直平分线的性质得OA=OC,∠AOF=∠COE,于是可证明△AOF≌△COE,所以OF=OE,然后根据菱形的判定方法易得四边形AECF的形状为菱形.
【解答】解:如图所示,
四边形AECF的形状为菱形.理由如下:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵AM平分∠DAC,
∴∠DAM=∠CAM,
而∠DAC=∠ABC+∠ACB,
∴∠CAM=∠ACB,
∴EF垂直平分AC,
∴OA=OC,∠AOF=∠COE,
在△AOF和△COE中
,
∴△AOF≌△COE,
∴OF=OE,
即AC和EF互相垂直平分,
∴四边形AECF的形状为菱形.
24.如图,小岛在港口P的北偏西60°方向,距港口56海里的A处,货船从港口P出发,沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,4小时后货船在小岛的正东方向.求货船的航行速度.(精确到0.1海里/时,参考数据:
≈1.41,≈1.73)
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】由已知可得AB⊥PQ,∠QAP=60°,∠A=30°,AP=56海里,要求货船的航行速度,即是求PB的长,可先在直角三角形APQ中利用三角函数求出PQ,然后利用三角函数求出PB即可.
【解答】解:设货船速度为x海里/时,
4小时后货船在点B处,作PQ⊥AB于点Q.
由题意AP=56海里,PB=4x海里,
在直角三角形APQ中,∠APQ=60°,
所以PQ=28.
在直角三角形PQB中,∠BPQ=45°,
所以,PQ=PB×cos45°=2x.
所以,2x=28,
解得:x=7≈9.9.
答:货船的航行速度约为9.9海里/时.
25.如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.
(1)求证:AB=BE;
(2)若PA=2,cosB=,求⊙O半径的长.
【考点】切线的性质;解直角三角形.
【分析】(1)本题可连接OD,由PD切⊙O于点D,得到OD⊥PD,由于BE⊥PC,得到OD∥BE,得出∠ADO=∠E,根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果;
(2)由(1)知,OD∥BE,得到∠POD=∠B,根据三角函数的定义即可得到结果.
【解答】(1)证明:连接OD,
∵PD切⊙O于点D,
∴OD⊥PD,
∵BE⊥PC,
∴OD∥BE,
∴ADO=∠E,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ADO ,
∴∠OAD=∠E ,
∴AB=BE ;
(2)解:由(1)知,OD ∥BE ,
∴∠POD=∠B ,
∴cos ∠POD=cosB=,
在Rt △POD 中,cos ∠POD==,
∵OD=OA ,PO=PA+OA=2+OA ,
∴,
∴OA=3,
∴⊙O 半径=3.
26.某服装公司招工广告承诺:熟练工人每月工资至少3000元.每天工作8小时,一个月工作25天.月工资底薪800元,另加计件工资.加工1件A 型服装计酬16元,加工1件B 型服装计酬12元.在工作中发现一名熟练工加工1件A 型服装和2件B 型服装需4小时,加工3件A 型服装和1件B 型服装需7小时.(工人月工资=底薪+计件工资)
(1)一名熟练工加工1件A 型服装和1件B 型服装各需要多少小时?
(2)一段时间后,公司规定:“每名工人每月必须加工A ,B 两种型号的服装,且加工A 型服装数量不少于B 型服装的一半”.设一名熟练工人每月加工A 型服装a 件,工资总额为W 元.请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺?
【考点】一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用.
【分析】(1)设熟练工加工1件A 型服装需要x 小时,加工1件B 型服装需要y 小时,根据“一名熟练工加工1件A 型服装和2件B 型服装需4小时,加工3件A 型服装和1件B 型服装需7小时”,列出方程组,即可解答.
(2)当一名熟练工一个月加工A 型服装a 件时,则还可以加工B 型服装(25×8﹣2a )件.从而得到W=﹣8a+3200,再根据“加工A 型服装数量不少于B 型服装的一半”,得到a ≥50,利用一次函数的性质,即可解答.
【解答】解:(1)设熟练工加工1件A 型服装需要x 小时,加工1件B 型服装需要y 小时.
由题意得:
,
解得: 答:熟练工加工1件A 型服装需要2小时,加工1件B 型服装需要1小时.
(2)当一名熟练工一个月加工A 型服装a 件时,则还可以加工B 型服装(25×8﹣2a )件.
∴W=16a+12(25×8﹣2a )+800,
∴W=﹣8a+3200,
又∵a ≥,
解得:a ≥50,
∵﹣8<0,
∴W 随着a 的增大则减小,
∴当a=50时,W 有最大值2800.
∵2800<3000,
∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺.
27.方成同学看到一则材料,甲开汽车,乙骑自行车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地,设乙行驶的时间为t (h ),甲乙两人之间的距离为y (km ),y 与t 的函数关系如图1所示,方成思考后发现了图1的部分正确信息,乙先出发1h ,甲出发20分钟后与乙相遇,…,请你帮助方成同学解决以下问题:
(1)分别求出线段BC ,CD 所在直线的函数表达式;
(2)当15<y <25时,求t 的取值范围;
(3)分别求出甲、乙行驶的路程S 甲、S 乙与时间t 的函数表达式,并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象.
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)设线段BC 所在直线的函数表达式为y=k 1t+b 1,将点B 、C 的坐标代入其中得出关于k 1、b 1的二元一次方程组,解方程组即可求出结论;设线段CD 所在直线的函数表达式为y=k 2t+b 2,将点C 、D 的坐标代入其中得出关于k 2、b 2的二元一次方程组,解方程组即可得出结论;
(2)根据线段CD 可求出乙骑车的速度,从而得出线段OA 的函数解析式,结合题意列出关于t 的一元一次不等式,解不等式即可得出结论;
(3)根据图象求出甲开车的速度,由路程=速度×时间得出S 甲、S 乙与时间t 的函数表达式,画出图形即可.
【解答】解:(1)设线段BC 所在直线的函数表达式为y=k 1t+b 1,
将点B (,0),点C (2,30)代入函数解析式,得
,解得:.
故线段BC 所在直线的函数表达式为y=45t ﹣60(≤t ≤2).
设线段CD 所在直线的函数表达式为y=k 2t+b 2,
将点C (2,30),点D (4,0)代入函数解析式,得
,解得:.
故线段CD 所在直线的函数表达式为y=﹣15t+60(2<t ≤4).
(2)乙骑车的速度为30÷(4﹣2)=15(km/h ),
∴线段OA 所在直线的函数表达式为y=15t (0≤t ≤1),
∴点A 的纵坐标为15.
当15<y <25时,即15<45t ﹣60<25或15<﹣15t+60<25,
解得:1<t <或<t <3.
故当15<y <25时,t 的取值范围为1<t <或<t <3.
(3)甲开车的速度15÷(﹣1)+15=60(km/h ),
∴S 甲=60(t ﹣1)=60t ﹣60(1≤t ≤2),S 乙=15t (0≤t ≤4).
所画图形如图.
28.如图,顶点为A的抛物线y=a(x+2)2﹣4交x轴于点B(1,0),连接AB,过原点O作射线OM∥AB,过点A作AD∥x轴交OM于点D,点C为抛物线与x轴的另一个交点,连接CD.
(1)求抛物线的解析式、直线AB的解析式;
(2)若动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动,同时动点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.问题一:当t为何值时,△OPQ为等腰三角形?
问题二:当t为何值时,四边形CDPQ的面积最小?并求此时PQ的长.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)把点B坐标代入抛物线解析式即可求出a的值,写出顶点A的坐标,运用待定系数法即可求出直线AB的解析式;
(2)问题一,先用t表示OQ,OP的长度,再分类列出方程求解即可得出t的值,问题二:写出四边形面积关于t的二次函数,求最大值即可.
【解答】解:(1)由顶点为A的抛物线y=a(x+2)2﹣4交x轴于点B(1,0)可得:
0=a(1+2)2﹣4,解得:a=,
∴抛物线的解析式:,
顶点A(﹣2,﹣4),
设直线AB:y=bx+k,带入点A,B两点坐标得:,
解得:,
∴直线AB的解析式:y=,
(2)如图:
∵OD∥AB,所以得直线OD:y=,
∵AD∥x轴,解得点D(﹣3,﹣4),
解得OD=5,tan∠COD=,sin∠COD=,cos∠COD=,
把y=0带入抛物线解析式得:0=,
解得:x=1,或x=﹣5,
所以点C(﹣5,0),
∴OC=5,
由2t≤5,得t≤2.5,
OP=t,OQ=5﹣2t,
当OP=OQ时,有:t=5﹣2t,解得t=,
当OQ=QP时,有:t=2(5﹣2t)×,解得t=,
当QP=OP时,有:5﹣2t=2t×,解得t=,
综上所述,当t为,,时,△OPQ为等腰三角形;
四边形CDPQ的面积=S△QCD﹣S△OQP=×5×4﹣×(5﹣2t)×t×=,
所以当t==时,四边形CDPQ的面积有最小值,
此时,OQ=,OP=,sin∠COD=,cos∠COD=,
可求得PQ=.。