等差数列单元测试题百度文库

一、等差数列选择题
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11
2
a =
，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ）
A ．21
4
a =-
B ．
648
211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为
712
D ．1121
n n n n n
T T T n n +-=
++ 2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161
B ．155
C ．141
D ．139
3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足
122527
n n
a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）
A ．6-
B ．2-
C ．1-
D ．0
4．设数列{}n a 的前n 项和2
1n S n =+. 则8a 的值为（ ）．
A ．65
B ．16
C ．15
D ．14
5．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了
3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 6．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ） A ．a 5＝4 B ．a 6＝4 C ．a 5＝2 D ．a 6＝2 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列
8．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160
B ．180
C ．200
D ．220
9．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21
2
，则该数列的项数是（ ） A ．8
B ．4
C ．12
D ．16
10．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29
B ．38
C ．40
D ．58
11．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ） A ．
32
B ．
92
C ．2
D ．9
12．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．
47
B ．
1629
C ．
815
D ．
45
13．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） A ．9
B ．12
C ．15
D ．18
14．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48
B ．60
C ．72
D ．24
15．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12
B ．20
C ．40
D ．100
16．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103
B ．107
C ．109
D ．105
17．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15
B ．30
C ．3
D ．64
18．已知数列{}n a 的前n 项和()2
*
n S n n N =∈，则{}n
a 的通项公式为（ ）
A ．2n a n =
B ．21n a n =-
C ．32n a n =-
D ．1,1
2,2
n n a n n =⎧=⎨
≥⎩
19．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21
D ．6、10、14、18、22
20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差
d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；
④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、多选题
21．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}
F n ，则(){}
F n 的通项公式为（ ）
A ．(1)1()2
n n F n -+=
B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==
C ．(
)1122n n
F n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．(
)1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦
22．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a =
C ．当9n =或10时，n S 取得最大值
D ．613S S =23．题目文件丢失！
24．题目文件丢失！ 25．题目文件丢失！
26．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）
A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩
为奇数
为偶数
B ．1(1)1n n a -=-+
C ．2sin
2
n n a π
= D ．cos(1)1n a n π=-+
27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15
11
0,20,a a a 则（ ）
A ．80a <
B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值
C ．49S S =
D ．满足0n S >的n 的最大值为12
28．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-
B ．310n
a n
C ．2
28n S n n =- D ．2
4n S n n =-
29．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 2
5,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）
A ．{}n a 为等差数列
B ．0n a >
C ．n S 最小值为214
-
D ．{}n a 为单调递增数列
30．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）
A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；
B ．2n n a a d +-=（d 为常数，
*n N ∈）；
C ．(
)
*
2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和2
1
n S n n =++（*n N ∈）.
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一、等差数列选择题 1．D 【分析】
当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的通项公式，由221a S S =-可判断A 选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】
当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得11111
2020n n n n n n
S S S S S S ----+=⇒
-+=， 整理得
1
112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为以2为首项，以2为公差的等差数列
()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111
424
a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列，显然有648
211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()
1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=
+-++， ()()()
1123111
212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，
()()()
1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=
--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 1117
24612
n b b S S S ∴==+-=
+-=，C 选项正确；
D中，1
2 n
n S
=，
()
()
22
1
2
n
n n
T n n
+
∴==+，()()
1
12
n
T n n
+
∴=++.
()()()()()()
1
1
112112
1
1
1
n n
n n
T T
n n
n n
n n n n n n n n
n n
+
-
=⋅++⋅++=+-
-
+ +
+
+
+
222
122212
n
n n n n n T
=-++=+-≠，D选项错误.
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：利用n S与n a的关系求通项，一般利用1
1
,1
,2
n
n n
S n
a
S S n
-
=
⎧
=⎨
-≥
⎩
来求解，在变形
过程中要注意1a是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1
n n n
a S S
-
=-将递推关系转化为有关n S的递推数列来求解.
2．B
【分析】
画出图形分析即可列出式子求解.
【详解】
所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：
由图可得：
3612
107
y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
，解得
155
48
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
.
故选：B.
3．A
【分析】
转化条件为12
2527
n n
a a
n n
+-=
--
，由等差数列的定义及通项公式可得
()()
2327
n
a n n
=--，求得满足0
n
a≤的项后即可得解.
【详解】
因为12
2527
n n
a a
n n
+-=
--
，所以12
2527
n n
a a
n n
+-=
--
，
又11
27
a
=-
-
，所以数列
27
n
a
n
⎧⎫
⎨⎬
-
⎩⎭
是以1
-为首项，公差为2的等差数列，
所以()
12123
27
n
a
n n
n
=-+-=-
-
，所以()()
2327
n
a n n
=--，
令()()23270n a n n =--≤，解得
3722
n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()
()()3123min
13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.
故选：A. 【点睛】
解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 4．C 【分析】
利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】
由2
1n S n =+得，12a =，()2
111n S n -=-+，
所以()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-， 所以2,1
21,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
，故828115a =⨯-=.
故选：C. 【点睛】
本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 5．B 【分析】
利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】
根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，
则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故
143600a =，
则()()11521411
151********
n S a a a a =
+⨯=+⨯=. 故选：B. 6．C 【分析】
利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】
因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C
7．D 【分析】
根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】
由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，
根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；
当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；
当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 8．B 【分析】
把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】
由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020
()10181802
S a a =+=⨯=. 故选：B 9．A 【分析】
设项数为2n ，由题意可得()21
212
n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】
设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大
212
， ()212121;2
n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，
30246S S nd ∴-=-==奇偶②．
由①②，可得3
2
d =，4n =， 即项数是8，
10．A 【分析】
根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】
因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 11．A 【分析】
由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】
设公差为d ，则42363
4222a a d --=
==--， 所以5433322
a a d =+=-=. 故选：A 12．D 【分析】
设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】
设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知202019
2042322
S d ⨯=⨯+=， 解得45
d =
． 故该女子织布每天增加4
5
尺． 故选：D 13．A 【分析】
在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】
在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6， 所以95132a a a =+，
所以139522639a a a =-=⨯-=， 故选：A 14．A
根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值. 【详解】
由条件可知1148
32362a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩
，解得：102a d =⎧⎨
=⎩， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.
故选：A 15．B 【分析】
由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】 解：
1011045100S a d =+=，
12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.
故选：B. 16．B 【分析】
根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】
根据题意可知正整数能被21整除余2，
21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.
故选：B. 17．A 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，
12111a a d =+，即可求解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174
174d a ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
所以12117760111115444
a a d =+=-+⨯==， 所以12a 的值是15， 故选：A 18．B 【分析】
利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】
2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，
当1n =时，111a S ==，上式也成立，
()
*21n a n n N ∴=-∈，
故选：B. 【点睛】
易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即
11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结
果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 19．C 【分析】
根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】
在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列， 则171,25a a ==，则71251
4716
a a d --=
==-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 20．B 【分析】
设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得
728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断
D ． 【详解】
设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；
所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；
1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d ≤-
+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d ≥-
， 所以10101n d d
-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，
当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确．
又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确．
故选：B ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关
键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由1
00n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得． 二、多选题
21．BC
【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；
【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；
由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，
所以(
)(
)(
)()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦
所以数列(
)()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
为公比的等比数列， 所以(
)(
)1n
F n n +-=⎝⎭
115()n -=++，
令1n
n n F b -=⎝⎭
，则11n n b +=+，
所以1n n b b +=-，
所以n b ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭
的等比数列，
所以1n n b -+， 所以(
)1115n n n n F n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎣⎦； 即C 满足条件；
故选：BC
【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．
22．ABD 【分析】 由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．
【详解】
∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，
∴()111875282
a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；
∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+
=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误；
由于61656392S a d d ⨯=+
=-，131131213392
S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确，
故选：ABD.
【点睛】
思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果. 23．无
24．无
25．无
26．BD
【分析】
根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可.
【详解】
解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，
选项A ：不符合题设；
选项B ：01(1)12,a =-+=1
2(1)10,a =-+= 23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；
选项C ：，12sin 2,2a π
==22sin 0,a π==
332sin 22
a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=
3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.
故选：BD.
【点睛】
本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
27．ACD
【分析】
由题可得16a d =-，0d <，21322
n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d d S n n =
->，解出即可判断D. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-， 10a >，0d ∴<，且()21113+
222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；
对于B ，21322n d d S n n =
-的对称轴为132
n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误； 对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822
d d S d =⨯-⨯=-，故
49S S =，故C 正确；
对于D ，令213022n d d S n n =
->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝
⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.
28．AD
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460
a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.
【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==
所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：11
45460a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解方程组得：13,2a d =-=，
所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.
故选：AD.
29．AD
【分析】
利用11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断
【详解】
解：当1n =时，11154a S ==-=-，
当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，
当1n =时，14a =-满足上式，
所以26n a n =-，
由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误，
由于225
255()24
n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误，
故选：AD
【点睛】
此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题
30．AC
【分析】
直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．
【详解】
A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，
B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；
C 选项中()
*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；
D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不
为等差数列．故错误．
故选：AC
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。