2020年人教版新高一数学教学设计 基本不等式

教学设计封面
题目：人教版必修一第一册第二章
2.2基本不等式教学设计
学段：2020年新高一数学
基本不等式教学设计
一、教材分析
不等关系和相等关系一样，都是数学中最基本的数量关系，而实际问题中常常需要利用不等关系构造出不等式，进而解决实际问题。

这其中有一类重要的不等式——基本不等式。

新教材中，基本不等式排在必修一“第二章一元二次函数、方程和不等式”的第二节，在第一节“2.1等式性质与不等式性质”之后。

这充分体现了基本不等式在中学数学体系中的重要性和基础性，同时也为学生在高中阶段解决数学内外的相关问题提供了工具上的准备。

此外，掌握好基本不等式也为后续的函数最值、值域问题和选修内容里不等式的相关内容等内容作铺垫，为后续的进一步学习提供了一个良好的开端和奠基。

二、学情分析
基本不等式在老教材里是必修五里面的内容，要到高一下学期或高二上学期才会学习，现在在新教材中排到必修一第二章，所以对新高一的学生来说难度略高。

再加上疫情期间的网课中，多数学生的学习效果不很理想，这就注定接受起基本不等式来会有难度，所以在教学中应该降低切入点，减少偏难怪题的出现，辅之以一些简单、常见的知识及例题、习题等来加深对基本不等式的理解和掌握。

三、教学目标
1、探究、理解不等式的证明过程。

()
,0
2
a b a b
+
≤>，并能初步应用基本不等式求最值和证明简单的不等式。

3、结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值和最小值问题。

四、教学重难点
1、教学重点
基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。

2、教学难点
基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。

五、教学方法
启发、引导、小组合作与讨论、讲授结合。

六、教学过程设计
（一）引入
导入语：在初中我们知道，乘法公式在代数式运算中有重要的作用，那么在解决不等式的问题中是否也有类似作用的“公式”呢？下面就由我们前面刚学习的重要不等式来推导出今天学习的重点——基本不等式。

问题1.重要不等式的形式、适用范围和等号成立的条件。

师生活动：教师提问学生回答，并适时引导和补充，让学生理解重要不等式222a b ab +≥（a ∈R ，b ∈R ）的由来是完全平方差公式，一个实际的例子是北京召开的24届国际数学大会的会标，等号成立的条件是当且仅当a b =时等号成立。

设计意图：让学生回顾旧知识的基础上引入新内容，从而更好的符合学生的学习和认知规律。

此外，通过回顾北京24届国际数学大会的会标，既能回顾和更好的掌握重要不等式的证明过程，又能让学生联系实际问题，进而明白数学不是一堆抽象无实际意义的故弄玄虚。

问题2.假设0,0a b >>替换a 替换b ，你能得到哪些不同的变形？
师生活动：学生独立计算后展示结果，会出现a b +≥、2a b +≤、
2a b +≥，教师鼓励学生大胆变形后会出现22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭、22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2a b +≤等。

教师总结：我们把0,0a b >>2a b +≤
，当且仅当a b =时等号成立称为基本
不等式。

其中2
a b +叫做,a b 叫做,a b 的几何平均数。

基本不等式表明了：几个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要的数学性质。

教师进一步解释等号成立条件中“当且仅当”的具体含义。

设计意图：实际问题中有很多问题实际上是用的基本不等式公式的变形，让学生自己推导变形有助于学生对本节知识的掌握和理解。

问题3.刚才提到了一个重要的数学性质，几个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要的数学性质，那么对于三个正数,,a b c 你能得到什么样类似基本不等
式形式的不等式及等号的成立条件呢？对于n 个正数12,,,n a a a 呢？
师生活动：学生思考后得出3
a b c ++≤
，当且仅当a b c ==时等号成立；
12n a a a n +++≤ ，当且仅当12n a a a === 时等号成立。

教师总结：用得到的这些不等式来进一步理解“几个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的含义。

设计意图：通过“几个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的数学性质来推导公式，然后通过反思推导出的公式来理解这句话的含义，有助于学生在一定的高度上来理解基本不等式，及课本中提到的“两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数”的含义。

同时也能为后续选修中的不等式学习打下良好的基础。

（二）不等式的证明
问题4.我们刚才用重要不等式222a b ab +≥的特殊情形得到了基本不等式，你能用“2.1等式性质与不等式性质”中的知识来证明基本不等式吗？
师生活动：学生用做差法得到基本不等式的证明，教师适当点拨后给出课本中用分析法的证明过程和特点，同时指出用分析法证明的过程中，下一步都是上一步的充要条件或充分条件，只要把分析法的证明过程倒过来就能直接用不等式的性质直接推导出基本不等式的证明过程了。

追问（1）：结合分析法的证明过程，小组讨论并总结分析法的证明特点和证明思路。

教师总结：分析法又叫执果索因法，它的特点是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充要条件或充分条件，直到把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（多为已知的条件、定理、定义、公式、公理）为止。

分析法既可以用来证明问题，也可以用来作为寻找偏难怪题证明过程的方法。

追问（2）：分析法是一种新的证明问题的方法。

它的证明格式特点是什么呢？师生活动：学生思考后回答，教师进一步整理和总结。

设计意图：培养学生不等式证明时做差法的思维意识，补充分析法的证明过程、原理和特点，以便帮助学生们掌握分析法在证明问题中的应用。

（三）基本不等式的几何解释
问题5.课本45页“探究”。

独立思考后，得出基本不等式的几何解释。

师生活动：学生思考后回答，教师引导总结：基本不等式可以利用“园中直径不小
于任意一条弦”或“半弦长不大于半径长”来得到解释。

当且仅当弦过圆心时两者相等。

（四）基本不等式的简单应用
例1.已知0x >，求1x x
+的最小值。

教师追问（1）：最小值的含义。

能否利用基本不等式求1x x +
的最小值？师生活动：学生思考，教师引导总结，0x >，则
10x >，把x 看成基本不等式中的a ，
把1x 看成基本不等式中的b ，则根据基本不等式易得12x x +≥=，出现了定值，当且仅当“a b =”即“1x x =
，0x >”时等号成立，得1x =。

由此可知12x x +≥且能取到2，所以1x x
+的最小值为2。

教师追问（2）：假如本题的等号取不到，还能得到1x x
+
的最小值是2吗？为什么？你能概括出利用基本不等式解决问题要满足的条件吗？师生活动：学生思考、讨论后回答。

教师总结：代数式能转化成两个正数的和或积的形式，它们的和或积中恰好满足一个为定值，不等式中的等号能取到。

简单的说就是“一正、二定、三相等”。

教师进一步结合例1解释这句口诀的具体含义。

设计意图：让学生掌握用基本不等式需要满足的条件。

求最值时一定要注意验证等号成立的条件。

教师追问（3）：如果把本例1中的前提“0x >”改为“0x <”，求1x x
+
的最大值，该怎么做呢？注意0x <时，10x <，不满足两项都是正数。

师生活动：学生思考，教师点拨，把式子转化成能用基本不等式的形式，即提取个负号即可。

0x <时，10,0x x ->->，原式()112x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦，当且仅当1,0x x x -=-<，即1x =-时等号成立，所以0x <时，1x x +
的最大值为2-。

设计意图：更为灵活的掌握基本不等式的用法，让学生初步认识到转化思想的重要性。

教师追问（4）：如果把例1中的0x >去掉，只让求1x x +的取值范围呢？此时1x x
+
中的x 取值范围是什么？能确定x 和1x
的正负吗？该怎么处理？师生活动：学生思考，教师引导学生回答，题中不限定x 取值范围时，默认是使题中式子有意义的范围，即0x ≠；不能确定正负，因为两种情况都有可能；需要分类讨论。

设计意图：进一步让学生灵活掌握基本不等式的应用的同时，也回顾了定义域的相关问题，和高中数学的一个重要的数学思想——分类讨论思想。

从而在潜移默化中帮学生培养起分类讨论的数学素养。

教师追问（5）：如果把例1改为：0x >，求
111x x +++的最小值呢？师生活动：0x >，则101x >+且10x +>，所以可把11x +和1x +分别看成基本不等式中的“a ”和“b ”，直接代入公式计算即可。

设计意图：让学生认识到，基本不等式中的“a ”和“b ”既可以是一个变量，也可以是个代数式，同时强化学生对数学中转化思想的应用意识。

例2.已知,x y 都是正数，求证：
（1）如果乘积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值（2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214
S 。

师生活动：教师帮学生审清题意后，由学生自主完成或小组合作讨论后完成。

教师引导概况两个能用基本不等式解决问题的基本情况和最值情况，即“积定和最小，和定积最大”。

设计意图：借助例2让学生明白两个能用基本不等式解决问题的基本情形，同时帮助学生理解清楚什么时候有最大值，什么时候有最小值。

例3.（1）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短长度是多少？
（2）用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
教师追问（1）：例2学习了能用基本不等式解决最值问题的两种情形，本例中的两个小问题和例2中的两种情形有联系吗？怎么样转化成例2中的两种基本模型来求解？
师生活动：学生思考后回答第（1）和第（2）问分别对应着例2中的第（1）和第
（2）问，教师板书出来所提问学生回答解题的过程和步骤，并在板书过程中就其中的一些不足和不规范之处加以说明和纠正。

设计意图：从一个比较贴近生活的实例中来培养提高学生解决实际问题的能力和技巧，塑造学生数学建模的基本意识，借助板书所提问学生的解题过程来规范其中的难点和易错点。

4800m，深为3m。

如果池例4.某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为3
底每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？
师生活动：学生自主读题，教师提问帮助学生审清题意和注意易错的地方。

之后由学生自主或小组合作讨论后完成题目作答。

教师抽查小组中一名学生，板书其解题过程，并在板书的过程中纠正和规范学生的做题步骤。

设计意图：注重培养学生的自主意识，逐步有规划的让学生充分体现出“学生是学习的主体”这一理念。

同时，通过本题的解题过程让学生认识到审清题意是解决问题的关键，多思考多动脑是规范解题过程、体现解题步骤逻辑性的重要前提。

同时，在例3的基础上进一步培养学生的数学建模思想、塑造学生的数学建模能力。

（五）归纳小结
教师引导学生回顾基本不等式的推导过程和证明方法（包括代数证明、分析法的特点、基本不等式的几何意义）。

回顾基本不等式求最值的适用情况和两个基本模型。

回顾总结本节课用到的数学方法和数学思想。

（六）作业布置
课本48页，习题2.2，第1，2，3，4，6题。

板书及课后反思：（略）。