沭阳县修远中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题(实验班)

n ←7
S 0← While S <18 S ←S +n n ←n −1 End While Print n
(第4题)
修远中学2018—2019学年度第一学期第一次阶段测试
实验部高二数学试题
一、填空题
1．已知集合{1,0,1}A =-，集合{|0}B x x =>，则A B =
▲ ．
2．函数x
x x f 1
)(+=
的定义域为 ▲ ．
3．一组数据1，2，3，4，a 的平均数为2，则该组数
据的方差等于 ▲ ．
4．如图是某一算法的伪代码，则输出值n 等于 ▲ ．
5．一只口袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次 摸出2只球,则摸出1个黑球和1个白球的概率 等于 ▲ ． 6．已知函数
22
2(0)()(0)
x x x f x x ax x ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥为奇函数，则实数a 的值等于 ▲ ．
7．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+（0ϕπ<≤)的一条对称轴是5
12x π=-，
则ϕ= ▲ ． 8．已知等比数列{}n
a 的前项和为n S ，若264
,,S S S 成等差数列，则2
4
6
a a a +的
值为 ▲ ．
9．已知实数x ，y 满足条件错误!则z =3x －2y 的最大值为 ▲ ． 10．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm 3，则该圆柱的侧面积为 ▲ cm 2。

11、若实数b a ,满足()1)2lg(1lg =-+-b a ，则b a +的最小值为 ▲ 12.在直角三角形ABC 中，AB ⊥AC, AB = AC=1，12
BD DC =，则AD CD 的
值等于 ▲ 13.已知函数=)(x f
22
,0
,3,0
x ax x bx x x ⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩为奇函数，则不等式4)(<x f 的解集为
▲
14.已知⊙C 的方程为：2
22(3)
(2)(0)
x y r r -+-=>，若直线33x y +=上存在一点
P ,在⊙C 上总存在不同的两点M ,N ，使得点M 是线段PN 的中点，
则⊙C 的半径r 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题
15．(本题满分14分）
已知πcos (0,)2
αα=∈． （1)求πsin()4
α+的值；
（2）若()11π
cos ,(0,)142
αββ+=∈，求β的值．
16．(本小题满分14分）
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB ＝AC ,E 是BC 的中点,求证： （1）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1; (2）A 1C //平面AB 1E ．
17.
（本小题满分14分）
已知函数a x x x
x f +--=33
1)(23
（1）若)(x f 在0=x 处的切线为13+-=x y ，求实数a 的值;
（2）若对任意的[]4,2∈x ,都有()0<x f 恒成立，求实数a 的取值范围.
18、（本小题满分16分）
某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图)，其中直四棱柱的高1AA =10m ,两底面1111
,ABCD A BC D 是高为2m ，面积为2
10m 的等腰
梯形，且02ADC πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝
⎭。

若储水窖顶盖每平方米的造价为100元,侧
面每平方米的造价为400元，底部每平方米的造价为500元. (1）试将储水窖的造价y 表示为θ的函数;
（2）该农户如何设计储水窖,才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元（取
3 1.73=）.
19．（本题满分16分)
已知椭圆C ：
22
22
1(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12
，点P (1,32
）为椭圆上一点．
（1）求椭圆C 的标准方程;
（2）如图,过点(0,1)C 且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为1
k ，直线BN 的斜率为2
k ,若1
2
2k k =,求直线l 斜率的值．
C
l M y x
O
B A
20．(本小题满分16分)
已知数列{}n
a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的
等比数列，数列{}n
a 前n 项和为n
S ，且满足3
4
S
a =，5
23
a
a a =+．
（1）求数列{}n
a 的通项公式；
（2)若1
2
m m m a a
a ++=，求正整数m 的值；
(3）是否存在正整数m ,使得221
m
m S S -恰好为数列{}n
a 中的一项?若存在，
求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由。

（第19题）
修远中学2018—2019学年度第一学期第一次阶段测试
实验部高二数学试题（附加）
21。

A 若对于任意实数x ，有3
230123(2)(2)(2)x
a a x a x a x =+-+-+-，求2a 的值。

21。

B 某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门,共有 ▲ 种不同选修方案.（用数值作答）
22。

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，
AP＝AB＝AD＝1．
（1）若直线PB与CD所成角的大小为错误!，求BC的长；(2）求二面角B－PD－A的余弦值．
23．（本小题满分10分）
袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1,2,3，4．现从袋中随机取两个球．（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；
（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．
修远中学2018-2019学年度第一学期第一次阶段测试
实验部高二数学试题参考答案
1．{1} 2．[)()∞+⋃-，，001 3．2
4．4 5．3
5
6．−2 7．3
π 8．2 9． 6 10．18 11。

3102
+
12.
9
2 13、-4∞（，） 14．)+∞
15．（本题满分14分)
解：(1）由
π
cos (0,)2
αα=∈,
得
1
sin 7
α=, ······· 2分
所以πππ
sin()sin cos cos sin 444
ααα+=+ ······· 4分
17=
+=． ···· 6分
(2)因为π,(0,)2
αβ∈,所以(0,π)αβ+∈． 又
()11
cos 14αβ+=，则()sin αβ+=
= 8分
所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+ · 10分
1111
1472
=
-⨯=． ······· 12分
因为π(0,)2β∈，所以π
6
β=． ······· 14分 16．（本小题满分14分)
证明:（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1
平面ABC ．
因为AE 平面ABC ，
所以CC 1AE ． ……………2分
因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点,所以AE
BC ．
因为BC 平面B 1BCC 1，CC 1
平面B 1BCC 1,
且BC ∩CC 1＝C ，
所以AE 平面B 1BCC 1． ………………5分 因为AE 平面AB 1E ，
所
以
平
面
AB 1E
平面
B 1BC
C 1。

……………………………7分
（2)连接A 1B ,设A 1B ∩AB 1＝F ,连接EF ．
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形， 所
以
F 为
A 1B
的中
点． ……………………………9分
又因为E
是
BC 的中点，所以EF ∥
A 1C ． ……………………………11分
因为EF 平面AB 1E ,A 1C 平面AB 1E ，
所
以
A 1C
∥
平
面
AB 1E 。

……………………………14分
A 1
B 1
C
1
A
B
C E (第15题）
F
17.（1)1=a …………………………7分 (2）3
20<a …………………………14分
18．【解析】(1）过A 作AE DC ⊥，垂足为E ，则2AE =，22,tan sin DE AD θθ
==，
令AB x =,从而4tan CD x θ
=+，
故14
2102
tan x x θ
⎛⎫
⨯⨯++
= ⎪⎝
⎭
, 分
解得2
5tan x θ
=-
,2
5tan CD θ=+， (4)
所以()()()202104001050010100y AD AB CD =+⨯⨯+⨯+⨯
222800080005000510005sin tan tan θθθ⎛⎫⎛
⎫=+⨯
+⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭2
138********sin tan 2πθθθ⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭ ······ 8分
(2）因为2cos 380008000sin y θθ
-=+⨯,
所以()()222
sin 2cos cos 800012cos 8000sin sin y θθθθθθ
---'== · 11分
令0y '=，则3
πθ=,当0,3πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，0y '<，此时函数y 单调递减；
当,32ππθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
y '>，此时函数y 单调递增。

所以当3
πθ=时，min 380008000351840y =+=。

答：当60ADC ∠=时，等价最低，最低造价为51840元。

16分
19．（本题满分16分）
解：(1）∵椭圆的离心率为12
，∴
a =又∵2
22
a
b c =+,∴b =
．
∴椭圆的标准方程为：
22
22
143x y c c +=． 3分
又∵点P （1，32）为椭圆上一点，∴2291
4143c c
+=,解得：1c =． 5分
∴椭圆的标准方程为:
22
143
x y +=． ···· 6分
(2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为
1
y kx =+．
设1
1
2
2
(,),(,)M x y N x y ． 联列方程组：
22
1431x y y kx ⎧+
=⎪⎨
⎪=+⎩
,消去y 可得:2
2
(34)880
k x
kx ++-=．
∴由韦达定理可知：1
2
2
834k x x
k +=-
+，12
2
834x x
k =-
+．8分
∵11
12
y k x =
+，22
12
y k
x =
-,且12
2k
k =,∴1
21
2
222
y y x x =+-． · 10分
即
22
1222
124(2)(2)y y x x =
+-．①
又∵1
1
2
2
(,),(,)M x y N x y 在椭圆上，
∴221
13(4)4y
x =
-,22223
(4)4
y x =-．②
将②代入①可得：121
2
24(2)2
2x
x x
x -+=
+-，即12
12310()120
x x
x x +++=． 12分
∴2
2
883()10()120
3434k
k
k -+-+=++，即2
122030
k
k -+=． 14分
解得:16k =或32k =．又∵k >1，∴3
2
k =． ·· 16分 20．（本小题满分16分）
解:（1）设奇数项的等差数列公差为d ，偶数项的等比数列公比为q ． ∴数列{}n
a 的前5项依次为：1，2，1+d ,2q ，1+2d ．
∵34
523
S a a a a =⎧⎨
=+⎩,∴
42123d q d d
+=⎧⎨
+=+⎩，解得:
23
d q =⎧⎨=⎩． ·· 2分
∴
12()23()n
n n
n a n -⎧⎪=⎨⎪⋅⎩
为奇数为偶数． ·········· 4分
(2) ∵1
2
m m m a a
a ++=．
1︒若2m k =（N*k ∈)
则221
22
k k k a
a
a ++=，∴1
23
(21)23k k
k -⋅⨯+=⋅,即213k +=,∴1k =,即2m =．
················· 6分
2︒若21m k =-(N*k ∈）
则21221
k k
k a
a a -+=，∴1
(21)23
21
k k k --⨯⋅=+,∴1
212
23
12121
k k k k -+⋅=
=+--．
∵1
23k -⋅为整数,∴221k -必为整数，∴211k -=,∴1k =，此时0
23
3
⋅≠．
不合题意． ············ 9分 综上可知：m =2． ········· 10分 （3)∵21321242()()m
m m S
a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
=
(121)
2
m m +-+
2(13)13
m --=23
1
m
m +-． ·· 11分
21122122312331
m m m m m m S S a m m ---=-=+--⋅=+-．
∴
221
m m S S -=
2123131
m m m m -+-+-=
2122(1)3331
m m m ---+-≤． ···· 12分
若221
m
m S S -为数列{}n a 中的项，则只能为123
,,a a a ．
1︒221
1m m S
S -=，则2122(1)3131
m m m ---=+-，∴1
3
m -=,m 无解． 13分
2︒2212m m S
S -=,则
2122(1)3231
m m m ---=+-，∴1
23
10
m m -+-=．
当1m =时，等式不成立； 当2m =时，等式成立； 当3m ≥时,令1
22
1
()31313
x x f x x x -=+-=⋅+-．
∴
ln3()323
x
f x x
'=⋅-，
2ln 3()32
3
x
f x ''=⋅-．
当3x ≥时,()0f x ''>,∴()f x '在[3,)+∞上单调递增． 又∵(3)9ln 360f '=->，∴()0f x '>在[3,)+∞上恒成立， ∴()f x 在[3,)+∞上单调递增． ∵(3)10f =>，∴当3m ≥时，方程1
23
10
m m -+-=无解．14分
3︒221
3m m S
S -=，则
2122(1)3331
m m m ---=+-，∴2
10
m
-=，即1m =．15分
综上可知：1m =或2m =． ······· 16分
1.6……………………10分
2。

【答案】75.
【考点】排列、组合及简单计数问题。

【分析】由题意知本题需要分类来解：
第一类，若从A、B、C三门选一门有13
C C=60，
36
第二类，若从其他六门中选4门有04
C C=15，
36
∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法。

……………………10分
22．(本小题满分10分）
解：（1）以{错误!,错误!,错误!}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．
因为AP＝AB＝AD＝1,
所以A（0，0,0），B(1，0，0)，D（0，1，0)，P（0，0,1）．
设C(1，y,0)，
则错误!＝（1，0,－1），错误!＝（－1，1－y,0）．
…………………………2分因为直线PB与CD所成角大小为错误!，
所以｜cos＜错误!,错误!＞|＝｜错误!｜＝错误!，
即错误!＝错误!，解得y＝2或y＝0（舍），
所以C（1，2，0）,
所以BC的长为2．………………………5分
（2)设平面PBD的一个法向量为n1＝（x，y,z）．
因为错误!＝（1，0，－1），错误!＝（0，1，－1），
则错误!即错误!
令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n1＝（1,1,1）．………………………7分
因为平面PAD的一个法向量为n2＝（1，0，0)，
所以cos＜n1，n2＞＝错误!＝错误!,
所以，由图可知二面角B－PD－A的余弦值为
错误!．………………………10分
23．（本小题满分10分)
解：(1）两个球颜色不同的情况共有C错误!42＝96（种）. ………………………3分
（2）随机变量X所有可能的值为0，1,2，3．
P(X＝0）＝错误!＝错误!, ………………………5分P（X＝1）＝错误!＝错误!,
P（X＝2）＝错误!＝错误!，
P(X＝3）＝错误!＝错误!．
所以随机变量X的概率分布列为：
X 0 1 2 3
P 错误!错误!错误!错误!
………………………8分
所以E（X）＝0错误!＋1错误!＋2错误!＋3错误!＝错误!．………………………10分。