高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题课件

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解得 xD＝13，由x3＝x＋13y＝4，
解得 D13，3，此时 BD 的斜率 k＝313－－430＝5.
若△ABE 的面积为43×23＝89，
则 S＝12×83×xE＝89，xE＝23，
由x＝23
，
3x＋y＝4
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解得 E23，2，此时 BE 的斜率 k＝1. 故 k＝5 或 k＝1. 故选 C.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式 Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax＋By ＋C＝0 的上方．( × ) (2) 任 何 一 个 二 元 一 次 不 等 式 组 都 表 示 平 面 上 的 一 个 区 域．( × ) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界 上．( √ ) (5)在目标函数 z＝ax＋by(b≠0)中，z 的几何意义是直线 ax＋ by－z＝0 在 y 轴上的截距．( × )
解集．
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3．线性规划的有关概念
名称
意义
约束条 由变量 x，y 组成的不等式(组)
件
线性约 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的 束条件 __不__等__式__(_组__) __
目标函 关于 x，y 的函数解析式，如 z＝x＋2y
数
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1角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围) x－3≤0
(2019·嘉兴市高考模拟)已知实数 x，y 满足y－1≥0 ， x－y＋1≥0
若 ax＋y 的最大值为 10，则实数 a＝( )
A．4
B．3
C．2
D．1
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(教材习题改编)不等式 x－2y＋6＜0 表示的区域在直线 x－
2y＋6＝0 的( )
A．右上方
B．右下方
C．左上方
D．左下方
解析：选 C.画出 x－2y＋6＜0 的图象如图所示，可知该
区域在直线 x－2y＋6＝0 的左上方．故选 C.
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角度一 求线性目标函数的最值(范围) (2018·高考浙江卷)若 x，y 满足约束条件x2－ x＋y≥y≤0， 6，则 x＋y≥2，
z＝x＋3y 的最小值是________，最大值是________．
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【解析】 由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)， (1，1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)．由线性 规划的知识可知，目标函数 z＝x＋3y 在点(2，2)处取得最大值， 在点(4，－2)处取得最小值，则最小值 zmin＝4－6＝－2，最大 值 zmax＝2＋6＝8. 【答案】 －2 8
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3a＋4＝10，解得 a＝2，当 a≤0 时，直线经过 A 时 z 取得最 大值，即 ax＋y＝10，将 A(3，4)代入得：3a＋4＝10，解得： a＝2，与 a≤0 矛盾， 综上 a＝2. 【答案】 C
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角度三 求非线性目标函数的最值(范围)
第七章 不等式
第3讲 二元一次不等式(组)及简单(jiǎndān)的线性规
划问题
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1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式(组)
表示区域
Ax＋By＋ 直线 Ax＋By＋C＝0
C>0(<0) 某一侧的所有点组
Ax＋By＋C≥ 成的平面区域
0(≤0)
不包括边界直线 包括边界直线
答案：1
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(2019·温州市普通高中模考)已知实数 x，y 满足约束条件 yx≤＋xy， ≤1，则 z＝2x＋y 的最大值为____________． y≥－1，
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解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由 z＝2x＋y，知 y＝ －2x＋z，当目标函数过点(2，－1)时直线在 y 轴上的截距最大， 为 3.
答案：3
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二元一次不等式(组)表示的平面区域
x≥0， (1)不等式组x＋3y≥4，所表示的平面区域的面积等于
3x＋y≤4
()
A．32 C．43
B．23 D．34
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x－y≥0， (2)若不等式组2y≥x＋0，y≤2，表示的平面区域是一个三角形，则
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1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用 阴影部分表示)大致是( )
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解析：选
C.(x
－
2y
＋
1)(x
＋
y
－
3)≤0
，
即
x－2y＋1≥0， x＋y－3≤0
或
xx－ ＋2y－y＋31≥≤00，，与选项 C 符合．故选 C.
表示的平面区域如图中阴影部分所 示，其中 A(1，2)、B(2，1)，当两 条平行直线间的距离最小时，两平 行直线分别过点 A 与 B，又两平行 直线的斜率为 1，直线 AB 的斜率 为－1，所以线段 AB 的长度就是过 A、B 两点的平行直线间的
距离，易得|AB|＝ 2，即两条平行直线间的距离的最小值是 2，
不等式组 各个不等式所表示平面区域的_公__共__部__分__
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2.二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的 _有__序__数__对__(_x_，__y_)___，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样 的__有__序__数__对__(x_，__y_)___构成的集合称为二元一次不等式(组)的
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(2) 不 等 式 组 x2－ x＋y≥ y≤0， 2，表 示 的 平 面 区 域 如 图 所 示 ( 阴 影 部 y≥0
分)．
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解y2＝x＋x，y＝2得 A23，23；解y2＝x＋0，y＝2得 B(1，0)．若原不等式 组表示的平面区域是一个三角形，则直线 x＋y＝a 中的 a 的取 值范围是 0<a≤1 或 a≥43. 【答案】 (1)C (2)(0，1]∪[43，＋∞)
x＋y≤a a 的取值范围是________．
【解析】 (1)不等式组所表示平面区域如图所示．
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解x3＋ x＋3yy＝ ＝44，得 A(1，1)，易得 B(0，4)，C0，43， |BC|＝4－43＝83. 故 S△ABC＝12×83×1＝43.
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（x－a）2＋（y－b）2；(ⅲ)斜率型：形如 z＝xy－－ba.
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(2)含参数的线性规划问题 参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中，求解步 骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出 来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解． [提醒] 求目标函数的最值时，易弄错目标函数的几何意义而 求错．如 x2＋y2 是距离的平方，易忽视平方而求错．
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不 等 式 组 2xx＋＋y－y－36≥≤00，， 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 y≤2
________．
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解析：不等式组2xx＋＋y－y－36≥≤00，，表示的平面区域如图所示(阴 y≤2
影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点 A，B，C 的坐标分别 为 A(1，2)，B(2，2)，C(3，0)，则△ABC 的面积为 S＝12×(2 －1)×2＝1.
解析：选 C.作出不等式组对应的平面区域如图：则 A(0，4)， B0，43，
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由x3＋x＋3yy＝＝44，解得 C(1，1)，则三角形 ABC 的面积 S＝12×4－43 ×1＝43， 因为平面区域被直线 y＝kx＋43分成面积比是 1∶2 的两部分， 所以面积较小的面积为43×13＝49， 因为直线 y＝kx＋43过定点 B0，43， 若△ABD 的面积为49，则 S＝12×83xD＝49，
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求线性目标函数的最值(范围) (高频考点) 线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，属必考内 容，题型多为选择题和填空题，难度适中，属中档题．主要命 题角度有： (1)求线性目标函数的最值(范围)； (2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)； (3)求非线性目标函数的最值(范围)．
【解析】 画出满足条件的平面区域，如图示：
由xx＝－3y＋1＝0， 解得 A(3，4)，
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令 z＝ax＋y，因为 z 的最大值为 10， 所以直线在 y 轴上的截距的最大值为 10，即直线过(0，10)， 所以 z＝ax＋y 与可行域有交点， 当 a＞0 时， 直线经过 A 时 z 取得最大值． 即 ax＋y＝10，将 A(3，4)代入得：
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2．(2019·杭州市富阳二中高三开学考试)若不等式组xx≥＋03y≥4 3x＋y≤4
所表示的平面区域被直线 y＝kx＋43分为面积比为 1∶2 的两部
分，则 k 的一个值为( )
A．73 C．1
B．43 D．37
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若平面区域x2＋x－y－y－3≥3≤0，0，夹在两条斜率为 1 的平行 x－2y＋3≥0
直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A．3 5 5 C．3 2 2
B． 2 D． 5
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【解析】 不等式组x2＋ x－y－y－3≥ 3≤00 x－2y＋3≥0
(2017·高考浙江卷)若 x，y 满足约束条件xx≥＋0y－，3≥0，则 z x－2y≤0，
＝x＋2y 的取值范围是( )
A．[0，6]
B．[0，4]
C．[6，＋∞)
D．[4，＋∞)
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解析：选 D.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分 所示，由 z＝x＋2y，得 y＝－12x＋2z，所以2z是直线 y＝－12x＋2z 在 y 轴上的截距，根据图形知，当直线 y＝－12x＋2z过 A 点时， 2z取得最小值．由xx＋－y2－y＝3＝0，0，得 x＝2，y＝1，即 A(2，1)， 此时，z＝4，所以 z≥4，故选 D.
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1．(2019·温州七校联考)实数 x，y 满足x|xy＋≥y0|≤1，使 z＝ax＋ y 取得最大值的最优解有 2 个，则 z1＝ax＋y＋1 的最小值为
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二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法 (1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线 定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式 (组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线 与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面 区域； (2)当不等式中带等号时，边界应画为实线，不带等号时，边界 应画为虚线，特殊点常取原点．
故选 B. 【答案】 B
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(1)利用线性规划求目标函数最值的步骤 ①画出约束条件对应的可行域； ②将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优 解对应的点； ③将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值． 常见的目标函数有： (ⅰ) 截 距 型 ： 形 如 z ＝ ax ＋ by ； (ⅱ) 距 离 型 ： 形 如 z ＝
名称
意义
线性目 关于 x，y 的一次函数解析式
标函数
可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有_可__行__解__组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规 在线性约束条件下求线性目标函数的 划问题 _最__大__值__或__最__小__值__问题
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