2019-2020学年北京五中分校七年级(下)期中数学试卷

2019-2020学年北京五中分校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点(2,3)M −在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．（3分）下列选项中三条线段能组成三角形的是( )
A ．5cm ，8cm ，13cm
B ．3cm ，3cm ，6cm
C ．4cm ，5cm ，6cm
D ．4cm ，6cm ，11cm
3．（3分）4的算术平方根是( )
A ．2
B ．2±
C ．2
D ．2±
4．（3分）在下列实数中，属于无理数的是( )
A ．711−
B ．π
C ．25
D ．0.3737
5．（3分）若m n <，则下列结论正确的是( )
A ．22m n >
B ．44m n −<−
C ．33m n +>+
D ．m n −<−
6．（3分）如图，在数轴上，与表示2的点最接近的点是( )
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
7．（3分）利用数轴表示不等式组120x x −⎧⎨−⎩
的解集，正确的是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
8．（3分）如图，下列不能判定//AB CD 的条件是( )
A ．180
B BCD ∠+∠=︒
B ．12∠=∠
C ．34
∠=∠ D ．5B ∠=∠
9．（3分）如图，小明从点O 出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M ，如果用(40,30)−−表示点M 的位置，那么(10,20)−表示的位置是( )
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
10．（3分）下列命题是真命题的是( )
A ．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B ．互补的角是邻补角
C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
11．（3分）如图，把一块含有45︒角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，
如果225∠=︒，那么1∠的度数是( )
A ．30︒
B ．25︒
C ．20︒
D ．15︒
12．（3分）如图，//AB EF ，90C ∠=︒，则α、β、γ的关系为( )
A ．βαγ=+
B ．180αβγ++=︒
C ．90βγα+−=︒
D ．90αβγ+−=︒
二、填空题（共10个小题，每小题2分，共20分）
13．（2分）把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式： ．
14．（22|3|0m n −+=，则m n +的值为 ．
15．（2分）点(3,2)M −−到y 轴的距离是 ．
16．（2分）如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，OE AB ⊥，垂足为O ，若65AOC ∠=︒，则DOE ∠的度数是 ．
17．（2分）如图，已知//AB CD ，BC 平分ABE ∠，34C ∠=︒，则BED ∠= ．
18．（2分）如图所示，把长方形ABCD 沿EF 对折，若110AEF ∠=︒，则1∠=
︒．
19．（2分）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九
章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只
雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕毎只各重多少斤？”
设每只雀重x 斤，每只燕重y 斤，可列方程组为 ．
20．（2分）过平面上一点O 作三条射线OA 、OB 和OC ，已知OA OB ⊥，:1:2AOC AOB ∠∠=，则BOC ∠= ︒．
21．（2分）若不等式组3x x m <⎧⎨<⎩
的解集是3x <，则m 的取值范围是 ． 22．（2分）如图，以OA 为边的OAB ∆面积为2，其中点B 的横、纵坐标均不超过4，且都
不小于0，在下列叙述中，正确的是： ．（请写出所有正确的选项）
①若点B 的横坐标是4，则满足条件的点B 有且只有1个；
②若点B 是整点（即横、纵坐标都是整数），则满足条件的点B 有4个；
③在坐标系内，对于任意满足题意的点B ，一定存在一点C ，使得CAB ∆、COA ∆、COB ∆面积相等；
④在坐标系内，存在一个定点D ，使得对于任意满足条件的点B ，DBA ∆、DBO ∆面积相等．
三、解答题（共8个小题，23-27每题5分，28-29每题6分，30题7分，共44分）
23．（5分）计算：238|21|(3)+−−−．
24．（5分）解不等式：3(1)7x x +−<，并把它的解集在数轴上表示出来．
25．（5分）解不等式组：2131213
x x x −>⎧⎪+⎨−⎪⎩． 26．（5分）按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图1，点A 在O ∠的一边上，在图1中完成：
①过点A 画直线AB OA ⊥，与O ∠的另一边相交于点B ；
②过点B 画直线//BC OA ；
（2）如图2，ABC ∆是钝角三角形，在图2中完成：
①画ABC ∆的中线AD ；
②画ABC ∆的角平分线BE ；
③画ABC ∆的高线CF ．
27．（5分）如图，点F 在线段AB 上，点E 、G 在线段CD 上，//AB CD ．
（1）若BC 平分ABD ∠，100D ∠=︒，求ABC ∠的度数．
解：//AB CD （已知）
， 180ABD D ∴∠+∠=︒，( ) 100D ∠=︒，
（已知） ABD ∴∠= ︒，
BC 平分ABD ∠，
（已知） 1402
ABC ABD ∴∠=∠=︒．（角平分线的定义） （2）若12∠=∠，求证：//AE FG ．
28．（6分）如图，(3,2)A −，(1,2)B −−，(1,1)C −．将ABC ∆向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△111A B C ．
（1）△111A B C 的顶点1A 的坐标为 ；顶点1C 的坐标为 ．
（2）求△111A B C 的面积．
（3）已知点P 在x 轴上，以1A 、1C 、P 为顶点的三角形面积为32
，则P 点的坐标为 ．
29．（6分）某学校在疫情期间利用网络组织了一次防“新冠病毒”知识竞赛，评出特等奖
10人，优秀奖20人．学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等次的奖品相同．
（1）（列方程组解应用题）若特等奖和优秀奖的奖品分别是口罩和温度计，口罩单价的2倍与温度计单价的3倍相等，购买这两种奖品一共花费700元，求口罩和温度计的单价各是多少元？
（2）（利用不等式或不等式组解应用题）若两种奖品的单价都是整数，且要求特等奖单价比优秀奖单价多20元．在总费用不少于440元而少于500元的前提下，购买这两种奖品时它们的单价有几种情况，请分别求出每种情况特等奖和优秀奖奖品的单价．
30．（7分）在平面直角坐标系中，已知点(,)A x y ，点(,)B x my mx y −−（其中m 为常数，且
0)m ≠，则称B 是点A 的“m 族衍生点”
．例如：点(1,2)A 的“3族衍生点” B 的坐标为(132,312)−⨯⨯−，即(5,1)B −．
（1）点(2,0)的“2族衍生点”的坐标为 ；
（2）若点A 的“3族衍生点” B 的坐标是(1,5)−，则点A 的坐标为 ；
（3）若点(,0)A x （其中0)x ≠，点A 的“m 族衍生点“为点B ，且AB OA =，求m 的值；
（4）若点(,)A x y 的“m 族衍生点”与“m −族衍生点”都关于y 轴对称，则点A 的位置在 ．
2019-2020学年北京五中分校七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点(2,3)
M−在()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限．
【解答】解：20
>，
−<，30
(2,3)
∴−在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，四个象限内坐标的符号：第一象限：+，+；第二象限：−，+；第三象限：−，−；第四象限：+，−；是基础知识要熟练掌握．
2．（3分）下列选项中三条线段能组成三角形的是()
A．5cm，8cm，13cm B．3cm，3cm，6cm C．4cm，5cm，6cm D．4cm，6cm，11cm
【分析】用两条短边长度相加，再与第三边比较即可得出结论．
【解答】解：A、5813
+=，
∴长度为5cm，8cm，13cm的三条线段不能组成三角形；
B、336
+=，
∴长度为3cm，3cm，6cm的三条线段不能组成三角形；
+>，
C、456
∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形；
D、4611
+<，
∴长度为4cm，6cm，11cm的三条线段不能组成三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，牢记“三角形两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度”是解题的关键．
3．（3分）4的算术平方根是()
A B．2±C．2D．
【分析】依据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：4的算术平方根是2．
故选：C ．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根．
4．（3分）在下列实数中，属于无理数的是( )
A ．711−
B ．π
C
D ．0.3737
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：7.11
A −是分数，属于有理数；
B ．π是无理数；
5C =，是整数，属于有理数；
.0.3737D 是有限小数，属于有理数．
故选：B ．
【点评】本题考查了对无理数的意义的理解和运用，无理数是指无限不循环小数，有①开方开不尽的根式，②含π的，③一些有规律的数，题型较好，但是一道容易出错的题目．
5．（3分）若m n <，则下列结论正确的是( )
A ．22m n >
B ．44m n −<−
C ．33m n +>+
D ．m n −<−
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A 、m n <，
22m n ∴<，故本选项不符合题意；
B 、m n <，
44m n ∴−<−，故本选项符合题意；
C 、m n <，
33m n ∴+<+，故本选项不符合题意；
D 、m n <，
m n ∴−>−，故本选项不符合题意；
故选：B ．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
6．（3分）如图，在数轴上，与表示2的点最接近的点是( )
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
【分析】依据被开放数越大对应的算术平方根越大进行比较即可．
【解答】解：21.4 1.96=，21.5 2.25=，
221.42 1.5∴<<．
1.42 1.5∴<<．
∴与表示2的点最接近的点是D ．
故选：D ．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，利用夹逼法求得2的大致范围是解题的关
键．
7．（3分）利用数轴表示不等式组120x x −⎧⎨−⎩
的解集，正确的是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】首先求出不等式组的解集为：12x −，不等式的解集表示1−与2之间的部分，其中包含1−，也包含2．
【解答】解：120x x −⎧⎨−⎩
， 由20x −得：2x ，
故不等式组的解集为：12x −，
故选：A ．
【点评】此题主要考查了利用数轴上表示的不等式组的解集来写出不等式组．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>，向右画；<，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“
”，“ ”
要用实心圆点表示；“<”，“ >”要用空心圆点表示．
8．（3分）如图，下列不能判定//AB CD 的条件是( )
A ．180
B BCD ∠+∠=︒
B ．12∠=∠
C ．34
∠=∠ D ．5B ∠=∠ 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A 、180B BCD ∠+∠=︒，//AB CD ∴，故不符合题意；
B 、12∠=∠，//AD B
C ∴，故符合题意；
C 、34∠=∠，//AB C
D ∴，故不符合题意；
D 、5B ∠=∠，//AB CD ∴，故不符合题意．
故选：B ．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
9．（3分）如图，小明从点O 出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M ，如果用(40,30)−−表示点M 的位置，那么(10,20)−表示的位置是( )
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
【分析】根据题意可得：小明从点O 出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M ，如果点M 的位置用(40,30)−−表示，即向西走为x 轴负方向，向南走为y 轴负方向；则(10,20)−表示的位置是D 所在位置．
【解答】解：根据如图所建的坐标系，易知(10,20)−表示的位置是点D ，
故选：D ．
【点评】本题考查了学生利用类比点坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
10．（3分）下列命题是真命题的是( )
A ．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B ．互补的角是邻补角
C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据垂线段、邻补角和平行线的性质与判定判断即可．
【解答】解：A 、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是真命题； B 、互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题； C 、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题；
D 、在同一平面上，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； 故选：A ．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．
11．（3分）如图，把一块含有45︒角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，
如果225∠=︒，那么1∠的度数是( )
A ．30︒
B ．25︒
C ．20︒
D ．15︒
【分析】由a 与b 平行，得到一对内错角相等，即23∠=∠，根据等腰直角三角形的性质得
到1345∠+∠=︒，根据2∠的度数即可确定出1∠的度数．
【解答】解：//a b ，
23∴∠=∠，
1345∠+∠=︒，
145345220∴∠=︒−∠=︒−∠=︒．
故选：C ．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
12．（3分）如图，//AB EF ，90C ∠=︒，则α、β、γ的关系为( )
A ．βαγ=+
B ．180αβγ++=︒
C ．90βγα+−=︒
D ．90αβγ+−=︒
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长DC 交AB 与G ，延长CD 交EF 于H ．
直角BGC ∆中，190α∠=︒−；EHD ∆中，2βγ∠=−，
因为//AB EF ，所以12∠=∠，于是
90αβγ︒−=−，故90αβγ+−=︒．
故选：D ．
【点评】此题主要是通过作辅助线，构造了三角形以及由平行线构成的内错角．
掌握三角形的外角的性质以及平行线的性质：两条直线平行，内错角相等．
二、填空题（共10个小题，每小题2分，共20分）
13．（2分）把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果⋯那么⋯”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
+的值为1−．
14．（2分）若2|3|0
m n
−++=，则m n
【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，20
n+=，
m−=，30
解得2
n=−，
m=，3
所以2(3)1
+=+−=−．
m n
故答案为：1
−．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15．（2分）点(3,2)
M−−到y轴的距离是3．
【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【解答】解：点(3,2)
M−−到y轴的距离是：3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
16．（2分）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE AB
∠=︒，
AOC
⊥，垂足为O，若65
则DOE
∠的度数是25︒．
【分析】根据对顶角相等可得65
∠=︒，再根据角
EOB
DOB
∠=︒，再根据垂直定义可得90
的和差关系可得答案．
【解答】解：65
∠=︒，
AOC
65
∴∠=︒，
DOB
⊥，
OE AB
∴∠=︒，
90
EOB
∴∠=︒−︒=︒，
EOD
906525
故答案为：25︒．
【点评】此题主要考查了垂线，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
17．（2分）如图，已知//AB CD ，BC 平分ABE ∠，34C ∠=︒，则BED ∠= 68︒ ．
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出ABC ∠，再根据角平分线的定义求出ABE ∠，
然后利用两直线平行，内错角相等求解即可．
【解答】解：//AB CD ，34C ∠=︒，
34ABC C ∴∠=∠=︒，
BC 平分ABE ∠，
223468ABE ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒，
//AB CD ，
68BED ABE ∴∠=∠=︒．
故答案为：68︒．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质
是解题的关键．
18．（2分）如图所示，把长方形ABCD 沿EF 对折，若110AEF ∠=︒，则1∠= 40
︒．
【分析】根据矩形性质得四边形ABCD 为矩形得//AD BC ，再根据平行线的性
质得3180AEF ∠+∠=︒，则可计算出370∠=︒，然后根据折叠的性质得到2370∠=∠=︒，再利用平角的定义可计算出1∠．
【解答】解：如图，四边形ABCD 为矩形，
//AD BC ∴，
3180AEF ∴∠+∠=︒，
318011070
∴∠=︒−︒=︒，
矩形ABCD沿EF对折后使两部分叠合，
2370
∴∠=∠=︒，
11802340
∴∠=︒−∠−∠=︒．
故答案为：40．
【点评】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
19．（2分）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕毎只各重多少斤？”
设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为
45
561
x y y x
x y
+=+
⎧
⎨
+=
⎩
．
【分析】设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【解答】解：设每只雀有x两，每只燕有y两，
由题意得，
45
561
x y y x
x y
+=+
⎧
⎨
+=
⎩
．
故答案为
45
561
x y y x
x y
+=+
⎧
⎨
+=
⎩
．
【点评】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
20．（2分）过平面上一点O作三条射线OA、OB和OC，已知OA OB
⊥，:1:2
AOC AOB
∠∠=，则BOC
∠=135或45︒．
【分析】根据题意画出图形，再结合垂直定义进行计算即可．
【解答】解：OA OB ⊥，
90AOB ∴∠=︒，
:1:2AOC AOB ∠∠=，
45AOC ∴∠=︒，
如图1:9045135BOC ∠=︒+︒=︒，
如图2:904545BOC ∠=︒−︒=︒，
故答案为：135或45．
【点评】此题主要考查了垂线，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．
21．（2分）若不等式组3x x m <⎧⎨<⎩
的解集是3x <，则m 的取值范围是 3m ． 【分析】根据找不等式组解集的规律得出即可．
【解答】解：不等式组3x x m <⎧⎨<⎩
的解集是3x <， m ∴的取值范围是3m ，
故答案为：3m ．
【点评】本题考查了不等式的解集，能灵活运用找不等式组解集的规律进行求解是解此题的关键．
22．（2分）如图，以OA 为边的OAB ∆面积为2，其中点B 的横、纵坐标均不超过4，且都不小于0，在下列叙述中，正确的是： ②③④ ．（请写出所有正确的选项）
①若点B 的横坐标是4，则满足条件的点B 有且只有1个；
②若点B 是整点（即横、纵坐标都是整数），则满足条件的点B 有4个；
③在坐标系内，对于任意满足题意的点B ，一定存在一点C ，使得CAB ∆、COA ∆、COB ∆面积相等；
④在坐标系内，存在一个定点D ，使得对于任意满足条件的点B ，DBA ∆、DBO ∆面积相
等．
【分析】画出以OA 为边的OAB ∆面积为2的格点B ，可判断①和②，由三角形的重心和中点的性质可判断③和④，即可求解．
【解答】解：如图，画出以OA 为边的OAB ∆面积为2的格点B ，
故①错误，②正确；
当点C 是三角形OAB 的重心时，则CAB ∆、COA ∆、COB ∆面积相等，故③正确； 当点D 为AO 的中点时，则DBA ∆、DBO ∆面积相等；
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，三角形的重心和中线性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
三、解答题（共8个小题，23-27每题5分，28-29每题6分，30题7分，共44分）
23．（523821|(3)+−−．
【分析】直接利用立方根以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式2213=+−−
22=．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
24．（5分）解不等式：3(1)7x x +−<，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：337x x +−<，
373x x +<+，
410x <，
2.5x <，
将解集表示在数轴上如图所示：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
25．（5分）解不等式组：2131213
x x x −>⎧⎪+⎨−⎪⎩． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式213x −>，得：2x >，
解不等式1213
x x +−，得：4x ， 则不等式组的解集为24x <．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
26．（5分）按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图1，点A 在O ∠的一边上，在图1中完成：
①过点A 画直线AB OA ⊥，与O ∠的另一边相交于点B ；
②过点B 画直线//BC OA ；
（2）如图2，ABC ∆是钝角三角形，在图2中完成：
①画ABC ∆的中线AD ；
②画ABC ∆的角平分线BE ；
③画ABC ∆的高线CF ．
【分析】（1）如图1，点A 在O ∠的一边上，在图1中完成：
①根据尺规作图方法即可过点A 画直线AB OA ⊥，与O ∠的另一边相交于点B ； ②根据同位角相等两条直线平行即可过点B 画直线//BC OA 即可；
（2）如图2，ABC ∆是钝角三角形，在图2中完成：
①根据线段垂直平分线的画法即可画ABC ∆的中线AD ；
②根据角平分线的画法即可画ABC ∆的角平分线BE ；
③根据钝角三角形AB 边上的高线在三角形的外部即可画ABC ∆的高线CF ．
【解答】解：（1）如图1，点A 在O ∠的一边上，在图1中完成：
①直线AB 即为所求；
②直线BC 即为所求；
（2）如图2，ABC ∆是钝角三角形，在图2中完成：
①中线AD 即为所求；
②角平分线BE 即为所求；
③高线CF 即为所求．
【点评】本题考查了作图−复杂作图、平行线的判定与性质、三角形的角平分线、中线和高、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握三角形中的特殊线段．
27．（5分）如图，点F 在线段AB 上，点E 、G 在线段CD 上，//AB CD ．
（1）若BC 平分ABD ∠，100D ∠=︒，求ABC ∠的度数．
解：//AB CD （已知）
， 180ABD D ∴∠+∠=︒，( 两直线平行，同旁内角互补 )
100D ∠=︒，
（已知）
ABD ∴∠= ︒，
BC 平分ABD ∠，
（已知） 1402
ABC ABD ∴∠=∠=︒．（角平分线的定义） （2）若12∠=∠，求证：//AE FG ．
【分析】（1）根据平行线的性质得出180ABD D ∠+∠=︒，代入求出ABD ∠，再根据角平分线的定义得出即可．
（2）根据平行线的性质得出1FGC ∠=∠，求出2FGC ∠=∠，再根据平行线的判定得出即可．
【解答】（1）解：//AB CD （已知）
， 180ABD D ∴∠+∠=︒，
（两直线平行，同旁内角互补）， 100D ∠=︒，
（已知） 80ABD ∴∠=︒，
BC 平分ABD ∠（已知）
， 1402
ABC ABD ∴∠=∠=︒（角平分线的定义）， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补，80；
（2）证明：//AB CD ，
1FGC ∴∠=∠，
12∠=∠，
2FGC ∴∠=∠，
//AE FG ∴．
【点评】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
28．（6分）如图，(3,2)A −，(1,2)B −−，(1,1)C −．将ABC ∆向右平移3个单位长度，然后
再向上平移1个单位长度，可以得到△111A B C ．
（1）△111A B C 的顶点1A 的坐标为 (0,3) ；顶点1C 的坐标为 ．
（2）求△111A B C 的面积．
（3）已知点P 在x 轴上，以1A 、1C 、P 为顶点的三角形面积为32
，则P 点的坐标为 ．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出△111A B C 三个顶点的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积得到△111A B C 的面积；
（3）设P 点得坐标为(,0)t ，利用三角形面积公式，即可得到P 点坐标．
【解答】解：（1）如图，△111A B C 为所作，顶点1A 的坐标为(0,3)；顶点1C 的坐标为(4,0)； （2）计算△111A B C 的面积111442421435222
=⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=； （3）设P 点得坐标为(,0)t ，
以1A 、1C 、P 为顶点得三角形得面积为
32， ∴133|4|22
t ⨯⨯−=，解得3t =或5t =， 即P 点坐标为(3,0)或(5,0)．
故答案为：(0,3)；(4,0)，(3,0)或(5,0)．
【点评】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
29．（6分）某学校在疫情期间利用网络组织了一次防“新冠病毒”知识竞赛，评出特等奖10人，优秀奖20人．学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等次的奖品相同．（1）（列方程组解应用题）若特等奖和优秀奖的奖品分别是口罩和温度计，口罩单价的2倍与温度计单价的3倍相等，购买这两种奖品一共花费700元，求口罩和温度计的单价各是多少元？
（2）（利用不等式或不等式组解应用题）若两种奖品的单价都是整数，且要求特等奖单价比优秀奖单价多20元．在总费用不少于440元而少于500元的前提下，购买这两种奖品时它们的单价有几种情况，请分别求出每种情况特等奖和优秀奖奖品的单价．
【分析】（1）本题可设口罩的单价是y元，温度计的单价是z元，然后根据题意，由等量关系：口罩单价的2倍与温度计单价的3倍相等；购买这两种奖品一共花费700元列出方程组，化简即可得出答案．
（2）本题可设优秀奖单价为x元，则特等奖的单价为(20)
x+元，再根据题意找到不等式关系：总费用不少于440而少于500元，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【解答】解：（1）设口罩的单价是y元，温度计的单价是z元，
根据题意得
23
1020700
y z
y z
=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
20
30
z
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：口罩的单价是30元，温度计的单价是20元．
（2）设优秀奖单价为x 元，则特等奖的单价为(20)x +元．
根据题意得4402010(20)500x x ++<，
解得810x <．
因为两种奖品的单价都是整数，
所以8x =或9x =．
当8x =时，2028x +=；
当9x =时，2029x +=．
答：购买两种奖品时它们的单价有它们的单价有两种情况：
第一种情况中：优秀奖单价为8元，特等奖的单价为28元；
第二种情况中：优秀奖单价为9元，则特等奖的单价为29元．
【点评】本题考查的是二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意：方程两边同时除以一个正数，不等式的方向不变．
30．（7分）在平面直角坐标系中，已知点(,)A x y ，点(,)B x my mx y −−（其中m 为常数，且
0)m ≠，则称B 是点A 的“m 族衍生点”
．例如：点(1,2)A 的“3族衍生点” B 的坐标为(132,312)−⨯⨯−，即(5,1)B −．
（1）点(2,0)的“2族衍生点”的坐标为 (2,4) ；
（2）若点A 的“3族衍生点” B 的坐标是(1,5)−，则点A 的坐标为 ；
（3）若点(,0)A x （其中0)x ≠，点A 的“m 族衍生点“为点B ，且AB OA =，求m 的值；
（4）若点(,)A x y 的“m 族衍生点”与“m −族衍生点”都关于y 轴对称，则点A 的位置在 ．
【分析】（1）利用“m 族衍生点”的定义可求解；
（2）设点A 坐标为(,)x y ，利用“m 族衍生点”的定义列出方程组，即可求解；
（3）先求出点A 的“m 族衍生点“为点(,)B x mx ，由AB OA =，可求解；
（4）先求出点(,)A x y 的“m 族衍生点”为(,)x my mx y −−，点(,)A x y 的“m −族衍生点”为(,)x my mx y +−−，由轴对称的性质可求0x =，即可求解．
【解答】解：（1）点(2,0)的“2族衍生点”的坐标为(220,220)−⨯⨯−，即(2,4)， 故答案为(2,4)；
（2）设点A 坐标为(,)x y ，
由题意可得：1353x y x y −=−⎧⎨=−⎩
，
∴21x y =⎧⎨=⎩
， ∴点A 坐标为(2,1)；
（3）点(,0)A x ，
∴点A 的“m 族衍生点“为点(,)B x mx ，
||AB mx ∴=，
AB OA =，
||||x mx ∴=，
1m ∴=±；
（4）点(,)A x y ，
∴点(,)A x y 的“m 族衍生点”为(,)x my mx y −−，点(,)A x y 的“m −族衍生点”为(,)x my mx y +−−，
点(,)A x y 的“m 族衍生点”与“m −族衍生点”都关于y 轴对称， ∴0x my x my mx y mx y −++=⎧⎨−=−−⎩
， 0x ∴=，
∴点A 在y 轴上，
故答案为：y 轴上．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，轴对称的性质，理解“m 族衍生点”的定义并能运用是本题的关键．。