北京师大附中2011-2012学年高一数学上学期期中考试试题

北京市师大附中 2011-2012 学年上学期高一年级期中考试数学试卷
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
第Ⅰ卷（模块卷）
一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1. 设全集 U
1,2,3,4,5,6,7,8 ，会合 S
1,3,5 ， T
3,6 ，则 C U (S T) 等于（
）
A.
B.
2,4,7,8
C. 1,3,5,6
D.
2,4,6,8
2. 给定映照 f ： (x, y)
( x
2 y,2x y) ，在映照
f 下（ 3， 1）的原象为（
）
A. （1，3）
B. （ 1，1）
C. （3，1）
D. （1,1
）
2 2
3. 以下函数中是偶函数且在（
0 ， 1）上单一递减的是（
）
1
1
A. y
x 3 B. y x 4 C. y x 2 D. y x 2
4. 已知 a
log 2 0.3， b 20.3 ， c
0.30.2 ，则 a, b,c 三者的大小关系是（
）
A. a b c
B.
b a c
C. b c a
D. c b a
5. 设函数 y
x 3 与 y
( 1) x 2 的图象的交点为 (x 0 , y 0 ) ，则 x 0 所在的区间是（
）
2
A. （0， 1）
B. （1，2）
C. （2，3）
D. （3，4）
6. 若函数 y f ( x) 是函数 y a x （ a 0 ，且 a
1 ）的反函数，其图象经过点
( a , a) ，
则 f ( x) （ ）
A. log 2 x
B.
log 1 x
C.
1 D. x 2
2
2x
7. 函数 f (x)
2 x 5 x
5
10 x 2
（
）
A. 是奇函数但不是偶函数
B. 是偶函数但不是奇函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 既不是奇函数又不是偶函数
8. 已知实数 a
0,b
0 且 a b 1 ，则 (a 1) 2
(b 1) 2 的取值范围为（ ）
A.
9
,5 B.
9 , C.
0,
9
D.
0,5
2
2
2
二、填空题：本大题共
5 小题，每题 5 分，共 25 分。

2 1
9. 27
3
16
2
(1) 2
(
8
2
) 3
2 27
10. 函数 y 2 log 3 x 的定义域是
11. 已知幂函数
y f ( x) 的图象过点 (
1
,
2
) ，则 log 2 f ( 2)
2
2
12. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且知足 f ( x 2) f ( x) ，则 f ( 2)
13. 有以下命题：
2) 的图象对于 y 轴对称；
①函数 y f ( x 2) 与 y
f (x
②若函数 f ( x
2010) x 2
2x
1( x R) ，则函数 f ( x) 的最小值为－ 2；
③若函数 f (x) log a x ( a 0, a
1) 在 (0, ) 上单一递加，则 f ( 2) f (a 1) ；
(3a 1) x
4a, ( x 1)
) 上的减函数，则 a 的取值范围是 (0, 1
) 。

④若 f (x)
1)
是 ( , log a x, (x
3 此中正确命题的序是。

三、解答题：本大题共
3 小题，共 35 分。

要求写出必需演算或推理过程。

14. 已知会合 A
x | log 2 (3 x)
2 ，会合 Bx |
2 1 ，求A B 。

x
2
15. 某租借企业拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3000 元时，可所有租出，当每辆车
的月租金每增添 50 元时，未租出的车将会增添一辆，租出的车每辆每个月需保护费
150 元，未
租出的车每辆每个月需要保护费 50 元。

（ 1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？
（ 2）当每辆车的月租金定为多少元时，租借企业的月利润最大？最大月利润是多少？
16. 已知： 2 x 256 且
log 2 x 1 ， （ 1）求 x 的取值范围；
2
（ 2）求函数 f (x)
log 2 ( x
) log 2
(
x
) 的最大值和最小值。

2
2
第Ⅱ卷（综合卷） 四、填空题：本大题共
3 小题，每题
4 分，共 12 分。

17. 若函数 y
x 2 3x
4 的定义域为
0, m ，值域为
25, 4 ，则 m 的取值范围是
4
18. 已知 a 是实数， 若函数 f ( x) 2ax 2
2x 3 a 在区间
1,1 上恰巧有一个零点， 则 a
的取值范围
19. 已知函数 y f (x 2
4) 的定义域是 1,5 ，则函数 y f (2 x 1) 的定义域为
五、解答题：本大题共
3 小题，共 38 分。

要求写出必需演算或推理过程
20. 已知 f ( x) 是定义在 (0, ) 上的增函数，且知足 f ( xy) f (x)
f ( y)
，
f (2)
1 。

（ 1）求 f (8)
（ 2）求不等式 f ( x) f (x 2) 3 的解集
21. 已知定义在
b 2 x R 上的函数 f (x)
是奇函数
2 x a
（ 1）求 a, b 的值；
（ 2）判断 f ( x) 的单一性，并用单一性定义证明；
（ 3）若对随意的 t
R ，不等式 f (t
2t 2 ) f ( k)
0 恒建立，务实数 k 的取值范围。

22. 设二次函数 f ( x)
ax 2 bx c 的图象以
y 轴为对称轴，已知 a b
1 ，并且若点
(x, y) 在 y
f ( x) 的图象上，则点 ( x, y 2 1) 在函数
g ( x)
f ( f ( x)) 的图象上
（ 1）求 g ( x) 的分析式
（2）设 F ( x)
g (x)
f ( x)
，问能否存在实数
，使
F ( x) 在 (
,
2)
内是减函数，在
2
(
2
,0)
内是增函数。

2
【试题答案】
一、选择题
1-5 BBDCB 6-8 BAA
二、填空题
9.3； 10.
0,9 ；
11. 1 ；
12.0； 13. ②
2
三、解答题
14. 解：由 log 2 (3
x)
3 x 0 2
x
4
3 则 1 x 3
∴ A 1,3
由
2
12 x x 2 ∴ B 2,0
∴ A ∩B
1,0
15. 解：（ 1 ）当每辆车月租金为 3600 元时，未租出的车辆数为
3600 3000
，所以
12
50
这时租出了 88 辆。

（2 ）设每辆车的月租金定为
x 元，则企业月利润为
x 3000 )( x x 3000 50
f ( x) (100
50 150) 50
整理得： f (x)
x 2
162x 21000 1
( x 4050) 2 307050
50
50
∴当 x
4050 时， f ( x) 最大，最大值为 f (4050)
307050 元
16. 解：（ 1 ）由 2 x 256 得 x
8 ，由 log 2 x
1 得 x
2 ∴ 2
x 8
2
（2）由（ 1） 2
x
8 得
1
log 2 x
3
2
f ( x) lo
g 2 ( x
) log 2 ( x ) (log 2 x log 2 2)(log
2 x log 2 2)
2 2
∴ f ( x)
(log 2 x 1) (log 2 x 2)
(log 2 x
3 )2 1 。

3
1
2
4
当
log 2
，当 log 2 x
3 ， f ( x) max
2
x
， f ( x) min
4
2
四、填空题：
3 ；
18.
1 a
5 或 a 3
7 ；
19.
5
,10
17.,3
2
2 2
五、解答题：
20. 解：（ 1 ）由题意得 f (8) f ( 4 2) f (4) f (2) f (2 2) f ( 2)
f (2) f (2) f (2) 3 f ( 2) 又∵ f ( 2) 1
∴ f (8) 3
（ 2 ）不等式化为 f(x) f(x - 2) 3
∴ f (8)
3
f ( x) f ( x 2) f (8) f (8x 16) ∵ f ( x) 是 (0,
) 上的增函数
8(x 2) 0
解得 2
x
16
∴
8(x 2)
7
x
21. 解：（ 1 ）∵ f ( x) 是定义在
R 上的奇函数，∴ b 1 1 2 分
f (0)
0 ，∴ b
a
1
f ( x) 1
2 x
，
a
2 x
2x 2x 即 a(2 x
2 x
∴ a 1 a 1)
1 对一确实数 x 都建立，
∴ a
1 ∴ a b 1
（2 ） f ( x) 1 2 x 2
1 ， f ( x) 在 R 上是减函数
1 2x 1 2x
证明：设 x 1 , x 2 R 且 x 1 x 2
则
∵ x 1 x 2 ，∴ 2
x 2
2
x
1
， 1
2 x 1
0 ， 1 2 x 2
0 ，
∴ f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 ，即 f ( x 1 )
f (x 2 ) ，∴ f (x) 在 R 上是减函数 不等式 f (
t 2 2 ) f ( k ) 0 f ( 2 2 ) f ( k )
t
t t
又 f ( x) 是 R 上的减函数，∴ t
t 2 k
2
∴ k
t
2t 2 2(t 1 )2 1 对 t R 恒建立
1
4 8
∴ k
8
2 2
1) 2
22. 解（ 1）
f ( ) x 1,
g ( x )
( x 1。

x
（2 ）由（ 1 ）可得 F (x) g( x)
f (x)
x 4
(2
) x 2 2。

设 x 1
x 2
2 ，
2
则 F ( x 1 ) F ( x 2 ) ( x 12 x 22 )( x 12 x 22 2
)
要使 F (x) 在 (
,
2
) 内为减函数，只需 F ( x 1 ) F (x 2 )
0 ，但 x 12 x 22 0 ，故只
2
要 x 12
x 2
2
2
0，所以
x 1
2
x 22
2 ， 然 而 当 x 1 , x 2 (
,
2
)时，
2
x 12 x 22
2 3 ，所以，我们只需
3 ， F (x) 在
,
2 内是减函数。

2
同理，当
3 时， F ( x) 在 (
2
,0) 内是增函数。

2
综上议论，存在独一的实数
3 ，使得对应的 F ( x) 知足要求。