湖南省三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考数学(理)试题

姓名 准考证号
(在此卷上答题无效）
绝密★启用前
三湘名校教育联盟• 2019届高三第一次大联考
理科数学
本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A={183|2--x x x <0}，B={12|-x x >1},则 = =B A
A. (1,3)
B. (1,6)
C. (2,3)
D. (2,6)
2.已知复数z 满足i i
zi 2111+=-+，则其共轭复数z 的虚部为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.设向量)21
,21(),1,0(-=-=b a ，则下列结论中正确的是
A.a//b
B.(a+b)丄b
C.(a-b)丄b
D.|a-b|=|b|
4.已知x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≤-+≥--0120301y y x y x ,则的最小值为 A. 21 B. 1 C. 2
3 D.2 5.“2=a ”是“函数)21lg()(2ax x x f -+=为奇函数”的
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A.8
B.16
C.24
D.48
7.设 2ln 2
1,)1(43,310221
=-==⎰-c dx x b a ,则 A. a<b 〈c B. b<a<c C.c 〈a 〈b D. c<b 〈a
8.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。

其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中
记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆
在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框 图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S 用算筹表示为
9.过双曲线C: 122
22=-b
y a x (a>b>0)的一个焦点F 向其一条渐近线引垂线，垂足为E ，0为坐标原点，若△O EF 的面积为1，其外接圆面积为4
5π，则C 的离心率为 A. 2
5 B.3 C.2 D. 5 10.设α>0，β>0,将函数x x f sin )(=的图像向左平移α个单位长度得到图像C 1，将函数)6cos()(π
+=x x g 的图像向右平移β个单位长度得到图像C 2，若C 1与C 2重合，则=+)cos(βα
A. 23-
B. 2
3 C. 21- D. 21 11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球的表面积为π4，则正方体外接球的体积为 A. π68 B. π36 C. π332 D. π664
12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=0＞,12
10,1)(x x x e x f x ，若n m ＜且)()(n f m f =，则m n -的最小值为
A. 12lg 2-
B. 2lg 2-
C. 2lg 1+
D. 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若6)2(a x -的展开式中3x 的系数为-20,则a = .
14. 抛物线py x 22= (p>0)上纵坐标为4的点A 到其焦点F 的距离为5,则点A 到原点的距离为 .
15.函数x x x f cos 22sin )(+=在区间],0[π上的值域为 .
16.已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边，B A b a 2sin cos ,3,62===，则△ABC 的面积为 .
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(―)必考题：共60分。

17.(12分）
已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且112
3+=+n n n a a S . (1)是否存在常数λ，使得n n n a a a λλ++=++12)1(?请说明理由；
(2)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和.
18. (12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA 丄底面ABCD,且PA=2AB ，F 是AB 的中点，点E 在线段PC 上，且PE 丄PC 3
1. （1）证明：平面丄平面
ABCD;
（2）求二面角B-AE-D 的余弦值.
19.(12分）
随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。

已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：
以这80名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率。

（1）若某送餐员一天送餐的总距离为80千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；
（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定1千米内为短距离，每份3元， 2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份9元。

(i)记X 为送餐员送一份外卖的收入（单位：元），求X 的分布列和数学期望；
(ii)若送餐员一天的0标收入不低于150元，试估计一天至少要送多少份外卖？
20.(12分）
已知椭圆C: 122
22=+b
y a x (a>b>0)的上顶点E 与其左、右焦点F 1、F 2构成面积为1的直角三角形。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点F 2的直线l 交C 于A （11,y x )，B(22,y x )两点，P 是C 上的动点，当
3112
1=+x x 吋，求△PAB 面积的最大值。

21.(12分）
设函数)1ln()(++=x b ae x f x ，曲线)(x f y =在点（0, )0(f )处的切线方程为：12+=x y .
（1）求b a ,的值；
（2）若当0≥x 时，mx x f +≥1)(,求m 的取值范围.
(二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1: 142
2
=+y x ，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心极坐标为（3，π)，半径为1的圆。

（1）求曲线C 1的参数方程和C 2的直角坐标方程；
（2）设M ，N 分别为曲线C 1、C 2上的动点，求|MN|的取值范围.
23.[选修4 一5 :不等式选讲](10分）
已知函数 |2||12|)(+--=x x x f .
（1）求不等式)(x f >0的解集；
（2）若关于x 的不等式|5|3)3(|12|+++≥+x x f m 有解，求实数m 的取值范围.
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数z 满足i
i i z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．10
2．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）
A ．}1|{≤x x
B ．}121|{≤<-
x x C ．}12
1|{<<-x x D ．}211|{<<-x x 3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ）
A ．631π-
B ．43
C ．6
3π D ．41 4．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ）
A ．12+
B ．2
C ．3
D ．13+
5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）
A ．2-或2
B ．2-或2
C ．2-或2
D ．2-或2
6．已知函数)2
||,0)(3sin()(π
ϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离
为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π
个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12
(
π
对称 B ．关于点)0,12
(π
-
对称
C ．关于直线12
π
=
x 对称 D ．关于直线12
π
-
=x 对称
7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）
A. 3
2
B.
43
C. 2
D. 4
11 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2
(x x -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）
A ．160
B ．160-
C ．350
D ．320-
9．已知函数)0(2
1
2)(<-=x x f x 与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的
点，则a 的取值范围是（ ）
A ．)2,(--∞
B ．)2,(-∞
C ．)22,(--∞
D ．)2
2,
22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）
A ．π16
B ．π20
C ．π65
D ．
π4
65 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
12．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若
n n a a a c b ==++1111,2，2
,211n
n n n n n a b c a c b +=+=
++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列
C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列
D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数
=a .
14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .
15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-2
2
，则
B
A tan 1
tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 满足)
(log )12(1
12+⋅+=
n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .
18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.
（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；
（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.
19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.
（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；
（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为0
30，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.
20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .
（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.
（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）
21．已知函数x a x g x x f ln )(,2
1)(2
==
. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；
（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)
()(2
121>--x x x h x h 恒成立，求
实数a 的取值范围；
（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()
('1
)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值
范围.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪
⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ）
，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：
0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；
（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定
值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；
（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．3 14．8 15．16 16．)3
3
2,
1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
+=+=+=28242
23
21
m S m S m S ，)(R m ∈，
从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比22
3
==
a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.
（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)1
21
1
21(
2
1)
12)(12(1+-
-⨯=
-+=
n n n n b n ∴)1
211215131311(2121+--++-+-⨯=
+++=n n b b b T n n 1
2+=
n n
. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；1201
1)(310==C B P ，10312036)(3
102416===C C C C P ， 21
12060)(3101
426===C C C D P ，6
112020)(31036===C C E P
∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.
（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则
18
1
)|(2912==C C F G P .
（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为
由题意得，若要不亏本，则
032
12103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.
19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1
又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.
（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，
以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -
∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为0
30，∴0
30=∠ABO
设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形 ∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，
则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩
⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n
设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则4
6
||
||||,cos |sin =
=><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42
020=+y x ，
则)24,2(),2,
2(0
00y x F y x E +--， ∴41
164164164244242
2
002000
0021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k
设),(y x G ，则1441224122
21=+⇒-=+⋅-⇒
-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为14
22
=+y x （0≠y ）
（2）联立⎩⎨⎧=++=4
42
2y x m x y 消去y ，得044852
2=-++m mx x ， 设),(),,(2211y x Q y x P ，则5
4
4,5822121-=-=+m x x m x x ，
由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m ∴222212
212
55
2
45444)58(24)(1
1||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，
易得)1,1(),2,2(---+m T m S ，
∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=， ∴2
2
)3(554||||m m ST PQ S S OST
OPQ +-=
==
∆∆λ， 令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ，
则4
5)431(4544
65
422
2+--⨯=
-+-=
t t t t λ， 当431
=
t ，即43=t 时，λ取得最大值5
52，此时35-=m . 21．解：（1）x
a
x y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得32
2=-
a
，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 2
1
2+=
对任意两个不等的正数21,x x ，
2)
()(2
121>--x x x h x h 恒成立，
令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 2
1)(2
-+=
在),0(+∞上为增函数
2)('-+
=x
a
x x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立，
所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞. （3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+
等价于0
000ln 1x a
x a x x -<+， 整理得01ln 0
00<++
-x a
x a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m
2
222)
1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--=
因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1
①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得
2-<a ；
②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值. 令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n(11+<++a a a ，可得)1ln(1
1+<++a a
a （*）
令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为
t t t ln 1
1
<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++
-=e
a
a e e m 解得1
1
2-+>e e a .
综上所述，实数a 的取值范围是),1
1
(
)2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，
4)2(22=++y x
∵0
90=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b .
（2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t
y t x 22222（t 为参数）
，代入曲线1
C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 042
12
>+=
∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ， ∴||||22N C M C 为定值8.
23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，
即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x
解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ， 故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.
（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立
⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立
3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a .。