2022届高三数学功能小题第3练--函数(3)解析版

2022届高三数学功能小题第3练 函数（3）(解析版）
考察范围：函数的定义域、值域、最值、极值等
1.函数
的定义域是 A （ ）
A ．（0，1）∪（1，4]
B ．（0，4]
C ．（0，1）
D ．（0，1）∪[4，+∞） 【答案】A
【解析】偶次根式被开方数非负，分母不为0，对数真数大于0
2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数10lgx y =的定义域和值域相同的是( ) A ．y x = B ．y lgx = C ．2x y = D ．y
=
【答案】D
【解析】函数10lgx y =的定义域和值域均为(0,)+∞，函数y x =的定义域和值域均为R ，不满足要求；
函数y lgx =的定义域为(0,)+∞，值域为R ，不满足要求；函数2x y =的定义域为R ，值域为(0,)+∞，不满足要求；函数y
=
(0,)+∞，满足要求；故选D ．
3.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为( ) A ．1- B ．32e -- C ．35e - D ．1
【答案】A
【解析】函数21()(1)x f x x ax e -=+-，可得121()(2)(1)x x f x x a e x ax e --'=+++-，
2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，可得：33(2)(4)(421)0f a e a e --'-=-++--=，
即4(32)0a a -++-=．解得1a =-．可得121
()(21)(1)x x f x x e x x e --'=-+--21(2)x x x e -=+-，
函数的极值点为：2x =-，1x =，
当2x <-或1x >时，()0f x '>函数是增函数，(2,1)x ∈-时，函数是减函数，
1x =时，函数取得极小值：211(1)(111)1f e -=--=-．故选：A ．
4.设点P 在曲线1
2
x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 最小值为 （ ）
A ．1ln2-
B ln2)-
C ．1ln2+
D ln2)+
【答案】B
【解析】函数1
2
x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称，
函数1
2x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =
的距离为1
||
x e x d -=
设1()(0)2x g x e x x =->，则1()12x g x e '=-，由1
()102
x g x e '=-可得ln2x ，
由1
()102
x g x e '=-<可得0ln2x <<，∴函数()g x 在(0,ln2)单调递减，在[ln2，)+∞单调递
增，
∴当ln2x =时，函数()1ln2min g x =-
，min d ，由图象关于y x =对称得：||PQ 最小
值为2ln2)min d -．故选：B ．
5.已知函数()||f x lgx =，若0a b <<，且f (a )f =(b )，则2a b +的取值范围是( ) A
．)+∞ B
．)+∞ C ．(3,)+∞ D ．[3，)+∞
【答案】C
【解析】因为f (a )f =(b )，所以||||lga lgb =，所以a b =（舍去），或1b a =，所以22a b a a
+=+ 又0a b <<，所以01a b <<<，令2
()f a a a
=+
， 由“对勾”函数的性质知函数f (a )在(0,1)a ∈上为减函数，所以f (a ) >f (1) 2
131
=+=，即2a b +的取值范围是(3,)+∞． 故选：C ．
6.下列函数中最小值为4的是（ ） A. 224y x x =++
B. 4
sin sin y x x
=+
C. 222x x y -=+
D. 4ln ln y x x
=+
【答案】C 【解析】
【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．
【详解】对于A ，()2
2
24133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最
小值为3，A 不符合题意；
对于B ，因为0sin 1x <≤，4
sin 4sin y x x
=+
≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；
对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，24
22
242x
x
x x
y -=+=+
≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；
对于D ，4
ln ln y x x
=+
，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当
ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．
故选：C ．
7. 设0a ≠，若x a =为函数()()()2
f x a x a x b =--的极大值点，则（ ）
A. a b <
B. a b >
C. 2ab a <
D.
2ab a >
【答案】D 【解析】
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出
图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若a b =，则()()3
f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a
b .
()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近
是变号的.依题意，为函数
的极大值点，∴在x a =左右附
近都是小于零的.
当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：
由图可知b a <，0a <，故2ab a >.
当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：
由图可知b a >，0a >，故2ab a >. 综上所述，2ab a >成立. 故选：D
8.若正实数,a b ，满足1a b +=，则
3
3b a b
+的最小值为（ ）
A ．2
B ．
C ．5
D ．【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得
33333333b b a b b a a b a b a b
++=+=++，结合基本不等式的性质分析可
得答案. 【详解】
根据题意，若正实数,a b ，满足1a b +=，
则
333332353333b b a b b a b a b a b a b a ++=+=++⨯⨯=， 当且仅当3
34
b a ==
时等号成立， 即
3
3b a b
+的最小值为5； 故选：C
9（多选）若函数32())(20f x x ax a =-<在6
,23
()a a +上有最大值，则a 的取值可能为（）
A.6-
B.5-
C.4-
D.3-
【答案】ABC 【解析】
令()2(3)f x x x a '=-，得10x =，2(0)3
a
x a =<， 当
03a x <<时，()0f x '<；当3
a
x <或0x >时，()0f x '>， 则()f x 的增区间为(),,0,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，减区间为,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 从而()f x 在3a x =处取得极大值3
()327
a a
f =-，
由3
()27a f x =-，得22()(3)03a a x x -+=，解得3a x =或6a x =-，
又()f x 在6
,23()a a +上有最大值，
所以6336
a a a
+<
-，即4a -， 故选ABC.
10（多选）已知函数()[]2,2,2
3
-∈+++=x c bx ax x x f 表示的曲线过原点，且此曲线在x=±1
处的切线的斜率均为-1，则以下命题正确的是
A.()[]2,2,43-∈-=x x x x f
B.()x f 的极值点有且仅有一个
C.()x f 的极大值为9
3
16 D.()x f 的最大值与最小值之和等于零 【答案】ACD 【解析】
由题意可得()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=--=++===1231123100//b a f b a f c f 解得⎪⎩⎪
⎨⎧=-==0
40
c b a ，令f'（x ）=0，得[]
2,2332-∈±=x 有两个极值点，且函数()x f 的极大值为93
16332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 也为最大值，极小值
93
16332-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛f 也为最小值，所以最值之和为0。

故选ACD. 11. 函数
()212ln f x x x
=--的最小值为______.
【答案】1 【解析】
【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、1
12
x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.
【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞， ∴当1
02
x <≤
时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减； 当
1
12x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x
'=-≤，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()212ln f x x x =--，有2
()20f x x
'=->，此时()f x 单调递增； 又()f x 在各分段的界点处连续，
∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为：1.
12.函数的最大值是 ．
【答案】1 【解析】
， 令且，，则， 当时，，即的最大值为1，故答案为：1 13.已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意可得是的一个周期，
故只需考虑在，上的值域，先来求该函数在，
上的极值点， 可得，
令可解得或，可得此时，或； 的最小值只能在点，或和边界点中取到，
计算可得，，，，∴函数的最小值为，
故答案为：． 14.设函数22
(1)sin ()1
x x
f x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ． 【答案】2
【解析】函数可化为222(1)sin 2sin ()111
x x x x
f x x x +++==+++，
令22sin ()1x x g x x +=
+，则22sin ()1x x g x x +=+为奇函数，∴22sin ()1
x x
g x x +=
+的最大值与最小值的和为0．
∴函数22(1)sin ()1
x x
f x x ++=
+的最大值与最小值的和为1102++=．即2M m +=． 15.【答案】4 【解析】略 16.【答案】(
]
76， 【解析】略
23()sin ([0,])42
f x x x x π
=-
∈2
2
33()sin 1cos 44
f x x x x x =-=--
cos x t =[0t ∈
1]22
1(14y t t =-++=--
+t =
()1max f t =()f x ()2sin sin 2f x x x =+()f
x 2πT =()2sin sin 2f x x x =+()2sin sin 2f x x x =+[02π)[02π)()2cos 2cos2f x x x '=+2
2cos 2(2cos 1)2(2cos 1)(cos 1)x x x x =+-=-+()0f x '=1cos 2x =
cos 1x =-π
3
x =π5π32sin sin 2y x x ∴=+π
3
x =
π5π30x
=π()3f =(π)0f
=5π()3f =(0)0f
=。