角平分线的四大模型

角平分线的四大模型
模型1：角平分线的点向两边作垂线
如图，P是∠M O N的平分线上一点，过点P作PA⊥O M于点A，PB⊥O N于点B，则PB＝PA
模型分析
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口
例题1 （1）如图①，在⊥ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6，BD＝4，那么点D 到直线AB的距离是
（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC
1.如下图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°
模型2：截取构造对称全等
如图，P是∠M O N的平分线上的一点，点A是射线O M上任意一点，在O N上截取O B＝O A，连接PB，则⊥O PB⊥⊥O PA
模型实例
例题2 （1）如图①所示，在⊥ABC中，AD是⊥BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由
（2）如图②所示，AD是⊥ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB 的大小，并说明理由
巩固提升
1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC＝16，AD＝8，
求线段BC的长
模型3：角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠M O N的平分线上一点，AP丄O P于P点，延长AP交O N于点.B，则⊥A O B是等腰三角形.
模型分析
构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.
模型实例
例题3 如图，己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，C£丄BD.垂足为E.求证：BD=2C£.
巩固提升
1.如图，在⊥ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.
模型4：角平分线+平行线
模型分析
有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.
模型实例
例题4 解答下列问题：
(1)如图①.⊥ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB.写出线段EF 与BE、CF有什么数量关系？
(2)如图②，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACG. DE//BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由.
(3)如图③，BD 、CD 为外角∠CBM 、∠BCN 的平分线，DE //BC 交AB 延长线于点E .交AC 延长线于点F ，直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么数关系？
巩固提升
1.如图， 在⊥ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E .过点E 作MN ∥BC 交AB 于M 点. 交AC 于N 点.若BM +CN =9，则线段MN 的长为 .
课后练习
1．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，
过E 作EF △AB ，F 为垂足．下列结论：
△△ABD ≌△EBC ；△∠BCE +∠BCD =180°；△AD=AE ；△BA +BC =2BF ．其中正确的是（ ）
A ．△△△
B ．△△△
C ．△△△
D ．△△△△ 2．如图，中，，，垂足为，若，，则的长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．4
ABC ∆135ACB ∠=︒CD AB ⊥D 6AD =20BD =
CD
72。