2019-2020学年山西省太原市第四实验中学高二数学文测试题含解析

2019-2020学年山西省太原市第四实验中学高二数学文
测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 用数学归纳法证明不等式成立，其的初始值至少应为 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
参考答案：
B
2. “﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则，
所以，即﹣3＜m＜5且m≠1．
所以“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．
故选B．
3. 命题“若a＞0，则a＞1”的逆命题．否命题．逆否命题中，真命题的个数是
( )
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
考点：四种命题的真假关系．
专题：阅读型．
分析：因为原命题与它的逆否命题真假相同，故只需写出逆命题，判断原命题和逆命题的真假即可．
解答：解：命题“若a＞0，则a＞1”是假命题，
它的逆命题为：“若a＞1，则a＞0”为真命题．
所以在四个命题中真命题的个数是2
故选C
点评：本题考查四种命题的关系、命题真假的判断，属基本题型的考查．在判断命题的真假时，要充分利用“原命题与它的逆否命题真假相同”这一结论．
4. 已知直线x+2ay﹣1=0与直线x﹣4y=0平行，则a的值为（）
A．﹣2 B．2 C．﹣D．
参考答案：
A
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】利用两条直线平行，它们的斜率相等求解．
【解答】解：∵直线x+2ay﹣1=0与直线x﹣4y=0平行，
∴﹣=，
解得a=﹣2．
故选：A
5. 已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则等于（）
Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7
参考答案：
C
试题分析：根据二项式系数的性质，展开式中，各项二项式系数之和为；
在中，令x=1，可得，则各项系数的和为；
依题意有，解可得.
故选C．
考点：二项式定理与性质.
6. 已知向量，且，则（）
A. 5
B.
C.
D.
参考答案：
C
【分析】
根据向量平行可求得，利用坐标运算求得，根据模长定义求得结果. 【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及到利用向量共线求解参数、向量的坐标运算问题，属于基础题.
7. “”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
8. 中国古代数学的瑰宝——《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体——鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体.现有四面体ABCD为一个鳖擩，已知AB⊥平面BCD，
，若该鳖擩的每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）
A．6π B．7π C.8π D．9π
参考答案：
B
9. 已知，且成等差数列，又成等比数列，则的最小值是
A．0 B．1 C．2 D．4
参考答案：
D
10. 已知双曲线的右焦点为,过点作一条渐近线的垂线，
垂足为，的面积为（为原点），则此双曲线的离心率
是（）．
A． B．C．
D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点在不等式组所表示的平面区域内运动，则的最大值为___________．
参考答案：
[－1,4]
绘制不等式组表示可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得
最小值，在点处取得最大值.则的取值范围为；
12. ____．
参考答案：
8π
【分析】
分别求得和的值，相加求得表达式的结果.
【详解】由于表示圆心在原点，半径为4的圆的上半部分，故
..故原式.
【点睛】本小题主要考查利用几何意义计算定积分的值，考查定积分的计算，属于基础题.
13. 设z的共轭复数是,若,,则等于__________.
参考答案：
【分析】
可设，由,可得关于a,b的方程，即可求得，然后求得答案.
【详解】解析：设,因为,所以,
又因为,所以,
所以.所以,
即,故.
【点睛】本题主要考查共轭复数的概念，复数的四则运算，难度不大.
14. 已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，
），则点A到直线l的距离为．
参考答案：
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．
【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y ﹣x=1，
点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．
点A到直线l的距离为： =．
故答案为：．
15. 抛物线系在平面上不经过的区域是________，其面积等于_________。

参考答案：
；
16. A是整数集的一个非空子集，对若则称k是A的一个“孤立元”，给定S=｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.
参考答案：
6个
略
17. 在△ABC中，若_________。

参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 思南县第九届中小学运动会于2019年6月13日在思南中学举行，组委会在思南中学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高如图所示的茎叶图（单位：cm），身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.
男女
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人
数，求出的分布列和数学期望.
参考答案：
（1）；（2）详见解析.
【分析】
(1)由题意及茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人,利用用分层抽样的方法,每个人被抽
中的概率是,利用对立事件即可
（2）由于从所有“高个子”中选3名志愿者,用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,利用离散型随机变量的定义及题意可知的取值为0,1,2,3,利用古典概型的概率公式求出每一个值对应事件的概率,有期望的公式求出即可
【详解】（1）根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人,用分层抽样的方法,每个人被
抽中的概率是,所以选中的“高个子”有人,“非高个子”有人.用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”,
则因此,至少有一人是“高个子”的概率是.
（2）依题意, 的取值为0,1,2,3.
的分布列为:
所以
【点睛】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题.解题时要注意茎叶图的合理运用.
19. (本小题满分12分)
某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值．(最佳使用年限佳是使年平均费用的最小的时间)
参考答案：
解：设这台机器最佳使用年限是n年,则n年的保养、维修、更换易损零件的总费用为： -------------5分
--------8分
-------------10分
当且仅当等号成立
-------------12分
答：这台机器最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为1.55万元
20. 已知点H在正方体ABCD-A B C D的对角线B'D上，HDA=60o．
(I)求DH与CC所成角的大小；
(II)求DH与平面AA D D所成角的大小．
参考答案：
21. 掷3枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差X 的分布列，并求其均值和方差． 参考答案：
【考点】BC ：极差、方差与标准差；BB ：众数、中位数、平均数．
【分析】由题意知X 的可能取值是﹣3，﹣1，1，3，结合变量对应的事件，写出变量的概率值，列出分布列，求出均值和方差．
【解答】解：X=﹣3，﹣1，1，3，且P （X=﹣3）=××=；
P （X=﹣1）=C 31××（）2=，
P（X=1）=C32××（）2=，
P（X=3）=××=；
∴分布列为
∴EX=0，DX=3．
22. （10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知
(1)求B；（2）若
参考答案：
解：(I)由正弦定理得
由余弦定理得。

故，因此。

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分（II）
故
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分。