第五部分电磁波的辐射ElectromagneticWaveRadiation

这就是说现在的 ，在数值上不等于把单位正电
荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为
了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势
（Scalar potential)。
整体c，) 必在须时把变矢场势中，A 和磁标场势和电场作是为相一互个作整用体着来的描
述电磁场。
2、规范变换和规范不变性
虽然
E
j A

D t
,

B 0H
得到：


B ( A)






(0
H
)

0 H

0( j 0

0 j 0

0 j 0
2 A ( A)

E )
t

0
t
(

A) t

A
A0ei(
kxt
)
由库仑规范条件得到

A ik A 0
即保证了
A

只有横向分量，即 A A横
，从而得到

B E

A ik
A
t

A
AikiA横A
t

A
是一个
有旋无源场（横场）。这个规范的特点是 E 的纵
场场部部分分完 由全A 描由述（描即述（A即具有无源具性有）无。旋由性)，横
t
E



A
t
可见，
项对应库仑场
E库

， A
t
对应着感应
场E感 。
b) 洛仑兹规范(Lorentz gauge)
t
( )


0 j
b)
采用洛仑兹规范(


A

1
0)
c2 t
上述方程化为

2


2
A

1 c2
1 c2
2
t 2
2A t 2
0
0
j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论 试求单色平面电磁波的势
场，而两种描述方式的等价性的桥梁（bridge）
就是


B A


E



A t
注意： a) 当
A与时间无关，即
A t
பைடு நூலகம்

0
时,且
E


这时 就直接归结为电势；
b)
绝对不要把

E

A
t
中的标势

与电势 况下，
E不(E再 是保守) 混力为场一，谈不。存因在为势在能非的稳概恒念情，
t
某个标量函数的梯度，因此
E

A


t
这里，仍用 来表示这个标量函数，并且右边采 用 “负号” 以A便 与时间无关时仍回到静电场
情形中去，即电场为
E



A
t
至场此，，也我 可们 以既 用可 矢以量直A 接和用标场势量
E
、 B
来描述电磁
一起来描述电磁
0
t
( )

0 0
2A t 2
即
2
A

0 0
2A t 2

(

A

0 0

t
)

0
j
应用 00

1 c2
，并将上述两个结论式公式整
理，且得到

2
A

1 c2
2A t 2
( A
1 c2
)
t
)
A e0
由Lorentz规范条件
A
1

0，即得
c2 t
ik

A

1 c2
(i
)

0


c2
k

A

这表明，只要给定了 A ，就可以确定单色平面电
磁波，这是因为：


B


A

ik

A

ik

(
A横

A纵
)

ik
Solution:
单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自
由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程）变为 波动方程：

2


2
A

1 c2
1 c2
2
t
2

2A
t 2
0 0
其解的形式为：

A

i
(
k
x t
)
e0
i
(k x
0
因为点电荷的场分布是球对称的，若以r 表示源
点到场点的距离，则 不依赖于角变量，只依赖
于r 和t . 也就是说， 与 和φ无关，仅是r 和t 的
函数，即
(r,t)
而且除原点外， 满足波动方程
1 (r 2 ) 1 2 0
r 2 r r c2 t 2
(r 0)
电磁场的矢势和标势 推迟势 电偶极辐射 磁偶极辐射和电四极辐射 电磁波的干涉和衍射 电磁场的动量
§5. 1 电磁场的矢势和标势
Vector and Scalar Potential of Electromagnetic

1、用势 A , 描述电磁场
为简单起见，只讨论真空中的电磁场。由 Maxwell’s equations出发

D

E



B t

B 0
H
j

D t

这里D 0E , B 0H . 度为大零家意知味道着，B 齐是次某方个 程矢量的 B旋度0，，即显然
B
的散

B A
A 的物理意义可由下式看出：
上式的解是球面波，考虑到r 增大时势 减弱，
所以作如下代换




cnˆ


B
如果取 A A横 ，即只取 A具有横向分量，那么
有

k A k A横 0
从而得到：


c2
k

A

0

因此有：


B E

A ik
A
t

A
AikiA横A
第五章 电磁波的辐射
Electromagnetic Wave Radiation
本章所研究的问题是电磁波的辐射。方 法和稳恒场情况一样，当考虑由电荷、电流 分布激发电磁场的问题时，引入势的概念来 描述电磁场比较方便。
本章首先把势的概念推广到一般变化电 磁场情况，然后通过势来解辐射问题。
本章主要内容
t
变换，则仍可使
E
保持不变。
现在来研究，唯一地决定场的势可以确定到
什么程度。
设 为任意的标量函数，即

( x, t )，作下
述变换式：

A A A









t
于是我们得到了一组新的 A . ，很容易证明：



A ( A ) A ( )
由Faraday电磁感 E应 定律B可 得：
(
A)
t t
因为时间和空间皆为独立变量，故 与

t
可交换位置。
于是


E



A
t
故

E

A t


0
可以看成一个矢量
矢量
(E

A
)
的旋度为零，意味着它可表示为
的组矢选势( A择.A仅并) 而仅不对确是应定唯同到一一一的个个，场任通。意过从函变变数换换的式式梯可可度以以；找看标到出势无，穷
仅仅确定到同一任意函数的时间导数。因为势 A
和 缺乏唯一性，我们可以按照一定的附加条件
去挑选我们所需要的一组势，这些附加条件通常 是势之间的关系，称为规范条件(Gauge condition)， 不同的场合可以选择不同的规范条件。
t


iA横
其中：
(k A 0)
如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变
为
2 0

2
A

1 c2

2 t
A
2

1 c2
t

0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势 0 ，
则只有
2 A
1 c2
2A t 2
0
其解的形式为
程变式电是磁线 场性 中的 的， 矢它势反A 映和了标电势磁 场均的满叠足加叠性加，原理故。交
因此，对于场源分布在有限体积内的势，可先求
出场源中某一体积元所激发的势，然 后对场源区 域积分，即得出总的势。又因矢势 A 的方程与标
势 的方程在形式上相同，故只需求出 的方程
的解即可。
根据标势 所满足的方程：
t

0 j

2


A


t
0
这两个方程是互相关联的，
A
、
混杂在同一个
方程中， 而且两个方程的形 式也不对称。 a) 采用库仑规范 ( A 0)
上述方程化为
2
2
A

0
1 2A c2 t 2

1 c2

A横

ik

A纵
E

ik A横

A

0（对于单色平面波而言）


ik iA
t

ik (
c
2
k

A)


iA

i c2


k (k A) k 2 A


i
c2
k (k
A)

c2
kB

A B


A

(


)


(A
)
t
t t
( ) A ( )



t A

E
t t
t


由此可见，( A . ) 和 ( A . ) 描述同一电磁 场，
换句话说，对于同一电磁场 E 和B ，其势( A . )
A
D 0E

t
出发推导矢势 A
和标势

所满足的方程，
得到：


D



(
0
E)

0

E

0

(

A) t


0


2

t


A


即
2


A


t
0
再由
B

H

的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变 性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
§5.2 推迟势
Retarded Potential
本节主要是求解达朗贝尔（ d’ Alembert ） 方程，并阐明其解的物理意义。
1、达朗贝尔方程的解
不管是矢势
A
还是标势
，在Lorentz规范条
件下都满足同样的达朗贝尔方程。而达朗贝尔方
和
B
，以及
种等价的方式，但由于

A E
和、B
是和描A述、电之磁间场是的微两分
方程的关系，所以它 们之间的关系不是一一对应
的的的将，梯梯E这度度 是 ， 在因 结E为 果矢 不A势影响A中B可的A，以t而加中与这上对此个一融E 任个合要意任也发标意作生量标相影函量应响数函的，数但
从物理观点来看，物理上可测量的量一定是
规范不变的，因此描述涉及电磁现象的物理规 律——方程形式都应当在规范变换下保持不变， 这就称为规范不变性(Gauge invariance)。而变换 式
称为规范变换(Gauge transformation)。
a) 库仑规范(Coulomb gauge) 库仑规范条件为 A 0 ，即规定

iA横
( A 0)
通过例子可看到：
用，库可仑直规接范由的电优荷分点布是： 它求的出标，势它的 矢描势述库A 只仑有作
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立 偏振。
洛仑兹规范的优点是：它的标势 和矢势A
构成的势方程具有对称性。它的矢势 A 的纵向部
分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余
L
A

dl


B

ds

S
即在任一时刻，矢量 A 沿任一闭合回路L的线积
分等于该时刻通过以L为边 线的曲面S的磁通量。
电场在时非那稳样恒引情入况电下势，来E描述0 。电因场而E(不E能 象在)静。

一一和般方有情面旋况 也 的下 受 场， 到 ，电 变E场化的磁等E 场式一的中方激必面发然受。包到因含电此矢荷量的，激EA 发是 ，，有 从另源 而
洛仑兹规范条件为



A


1 C2

t
0
，即规
定 A 是一个有旋有源场（即 A包含横场和纵场两
部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为
特别简单的对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations


D


E



2

1 c2
2
t 2



0
设密坐度标为原(点x,处t) 有Q一(t假) 想(x)变，化此电时荷电Q荷(t)辐，射其的电势荷的体 达朗贝尔方程为
2

1 c2
2
t 2

1
0
Q(t)
(x)
除在原点以外的空间 0 ，因而得到
2

1 c2
2
t 2