《l11初等函数》PPT课件

第一章 函数、极限与连续
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法、工具 连续 — 研究桥梁
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第一节 初等函数
一、集合 二、映射 三、函数
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一、 集合
1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
例如 ,
,
,
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定义3. 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\ B AB
3. 实数集
分类
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实数
正数 有理数 0
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f ( X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 .
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
(2) 单调性
x1 , x2 I , 当 x1 x2 时,
y
若 f (x1) f (x2 ), 称 f (x) 为 I 上的
单调增函数 ;
若 f (x1) f (x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的
单调减函数 .
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x1 x2 x
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
使
为单射, 则存在一新映射 其中
称此映射 f 1为 f 的逆映射 . 习惯上 , y f (x), x D D
f
fห้องสมุดไป่ตู้1
f (D)
的逆映射记成
y f 1(x) , x f (D)
例如, 映射
其逆映射为
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(2) 复合映射 引例.
D1
D 手电筒
D2
D 复合映射
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三、函数
1. 函数的概念
定义4. 设数集 D R , 则称映射
D 上的函数 , 记为
定义域
y f (x), x D
因变量
自变量
y
f ( D ) 称为值域。
y
为定义在
注1： f 为 ln, arcsin, tan等； o a x
注2：几何直观、隐函数与显函数。
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bx
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• 定义域
由（常数及）基本初等函数经过有限次四则运算构成。
(3) 复合函数：函数的函数（拆分为简单函数）
(4) 初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,
并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则20称21/4/2为3 非初等函数 .
注意幂指函数函数 28
非初等函数举例:
符号函数 重点
负数
正整数 正分数 负整数 负分数
无理数：无限不循环小数
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性质
1、实数对于四则运算封闭性
即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
2、实数集有序性 即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：
a<b, a=b, a>b.
3、实数的稠密性
即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有 无理数。
y
1
o
x
1
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有限区间
5
无限区间
点的 邻域
(
)
a a a
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 . 去心 邻域
左 邻域 :
右 邻域 :
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
yx y f (x)
例如 , 指数函数 y ex , x (, ) 对数函数
o
x
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
注: 数集--由数组成的集合。
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表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例:
有限集合
A
a1
,
a2
,,
an
ai
n i 1
自然数集 N 0, 1 , 2 , , n, n
(2) 描述法：M x x 所具有的特征
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(2) 复合函数 — 复合映射的特例
设有函数链
y f (u), u D1 且 g(D) D1
① ②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
例如, 函数链 : y arcsin u ,
可定义复合
函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
狄里克雷函数 （分段函数）
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1, x 为有理数， 0 , x 为无理数。
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3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在逆映射
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D) 性质:
o1 a x x
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二、 映射
1. 映射的概念 引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
的集合
按一定规则入座
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
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对映射
若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射;
X
f Y f (X)
若
有 X
Y
则称 f 为单射; 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
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么么么么方面
• Sds绝对是假的
2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.
• 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦函数
定义域
值域
又如, 绝对值函数
定义域
值域
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2.具有几种特性的函数
设函数 y f (x) , x D ,
(1) 有界性
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 为有界函数, 称 f (x) 在 D 上有界.
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4、实数轴 如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原 点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规 定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为 数轴。 任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数 轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。 实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系
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定义 设有映射链
g xD
f u D1
u g(x) g(D)
则当 g(D) D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复
合映射 , 记作
或 f g(x), x D.
g(D)
注意: 构成复合映射的条件 g(D) D1 不可少.
以上定义也可推广到多个映射的情形.
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当x>0
当x=0 当x<0
y
1
o
x
1
1、熟练掌握初等函数：如正割、余割；反三角；幂指 函数等；
2、熟练拆分复合函数（注意中间变量）；
3、熟悉分段函数函数（注意分段点）。
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非初等函数举例: 符号函数
取整函数 当
y
当x>0
当x=0 当x<0
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2 1o 1 2 3 4 x
例: 整数集合 Z x x N 或 x N
有理数集
Q
p q
pZ, q N,
p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
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开区间 ( a , b ) x a x b 闭区间 [ a , b ] x a x b
(
)
ab
半开区间
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2,)
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
附注：会正确拆分复合函数。
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4. 初等函数 (1) 基本初等函数 对数函数、反三角函数、幂函数、三角函数、指数函数 (2) 简单函数
若
则称 f (x) 为偶函数;
若
则称 f (x) 为奇函数.
y x o x x
ex
y e
x
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o
x
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(4) 周期性
x D, l 0, 且 x l D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C. （图形？）