超实用高考数学专题复习教学课件：1.2简单不等式的解法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a ≤ f(x)在∁R 上恒成立.
另一转化方法:若x∈D,f(x)≥AБайду номын сангаасD上恰成立,等价于f(x)在D上的最小值
f(x)min=A;若x∈D,f(x)≤B在D上恰成立,则等价于f(x)在D上的最大值
f(x)max=B.
注:例如“恒、能、恰”成立:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立
{x|x1<x<x2}
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a>0)的根
b
x x≠2a
⌀
⌀
b
b+m b
b-m
a
a+m a
a-m
1.若 a>b>0,m>0,则 <
; >
a
a+m a
a-m
b
b+m b
b-m
(b-m>0); >
; <
(b-m>0).
2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间.
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<a<c
)
)
答案 (1)B (2)B
解析 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)·(a2-1).
∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.
)
答案 (1)D
(2)C
解析 (1)(方法1)根据数轴可得c<b<a<0,且|c|>|b|>|a|,对于A:因为c<b,a<0,
所以c+a<c,b-a>b,则c+a<c<b<b-a,即c+a<b-a,故A错误;对于B:因为
c<b<a<0,|c|>|b|>|a|,所以c2>b2>a2,且b2>ab,所以c2>b2>ab,即c2>ab,故B错
(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c.
(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d.
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.
(5)可乘方:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1).
(6)可开方:a>b>0⇒
>
3ln4
(2)(方法 1)易知 a,b,c 都是正数, = 4ln3 =log8164<1,所以 a>b;
5ln4
= 4ln5 =log6251 024>1,
所以 b>c.故 c<b<a.
(方法 2)对于函数 y=f(x)=
ln
1-ln
,y'=
2
,易知当 x>e 时,函数 f(x)递减.
(2)由a>b>0,得ab>b2,所以log2(ab)>log2b2,故A不正确;
因为c2≥0,当c2=0时,ac2=bc2,故B不正确;
由
1
a>b>0,两边同乘,得>1,由
数 y=
1
a>b>0,两边同乘,得<1,故
1
1 1 b
为减函数,得
<( ) ,故
2
2
2
D 不正确.故选 C.
养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前，要
认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟
着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善
于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查
，查漏补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。
-2
(4)不等式
≤0 的解集是[-1,2].( × )
+1
(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则关于x的不等式
ax2+bx+c>0的解集为R.( × )
)
2.(2019四川雅安一中期中)设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的是
(
)
A. >
简单不等式的解法
距离高考还有一段时间，不少有经验的老师都会提醒考生，愈是临近高考，
能否咬紧牙关、学会自我调节，态度是否主动积极，安排是否科学合理，能不
能保持良好的心态、以饱满的情绪迎接挑战，其效果往往大不一样。以下是本
人从事10多年教学经验总结出的超实用新高考数学专题复习讲义希望可以帮助
大家提高答题的正确率，希望对你有所帮助，有志者事竟成！
)
答案 C
解析 由题意,得A={-1,0,1,2,3},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B={-1,0,1,2},故选C.
5.设a,b,c是任意实数,能够说明“若c<b<a且ac<0,则ab<ac”是假命题的一组
整数a,b,c的值依次为
.
答案 1,0,-1(答案不唯一)
解析 由c<b<a且ac<0,可取a为正数,c为负数,由命题为假命题,得ab<ac不
C.c>b>a
D.a>c>b
(2)已知a,b是实数,且e<a<b,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系
是
.
答案 (1)A
(2)ab>ba
解析 (1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.
又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,
∴b=a2+1,
∴b-a=a -a+1= 2
在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面
对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难”
，遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最好
再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30天
冲刺复习方法。
【知识梳理】
1
误;对于C:因为b<a<0,所以
c<0,所以|b|c<|a|c,故D正确.
>
1
,则
<
,故C错误;对于D:因为|b|>|a|,且
(方法 2)不妨令 c=-5,b=-4,a=-1,则 c+a=-6<b-a=-3,故 A 错误;c2=25>ab=4,
故B
错误;
5
4
= <
=5,故
(2)由于 a>b>1,所以
考点2
【例2】 (1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所
示,则下列式子中正确的是(
A.b-a<c+a
B.c2<ab
C.
D.|b|c<|a|c
>
)
(2)(2020 山西太原三模,理 3)已知 a>b>1,c<0,则(
A.
<
C.ac<bc
B.ca<cb
D.loga(b-c)>logb(a-c)
3.恒成立问题的转化:a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max;a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min.
4.能成立问题的转化:a>f(x)能成立⇒a>f(x)min;a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.
5.恰成立问题的转化:a>f(x)在M上恰成立⇔a>f(x)的解集为
M⇔
a > f(x)在 M 上恒成立,
C 正确;由 a>b,函
考点3
利用均值不等式证明不等式
考向1 常系数一元二次不等式的解法
【例3】 解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
解 (1)由 2x
1
1
-3x-2=2(x-2)(x+ )>0,得不等式的解集是{x|x<- 或
答案 B
解析 由x>y,得-x<-y.由y=2t是增函数,得2-x<2-y.
4.(2020安徽马鞍山二模,理1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈Z},
B={x||x|≤2,x∈Z},则A∩B=(
A.{-1,0,1}
B.{-2,-1,0,1}
C.{-1,0,1,2}
D.{-2,-1,0,1,2,3}
(3)方程 4x -4x+1=0 的解是
2
1
x1=x2=2,
函数 y=4x2-4x+1 是开口向上的抛物线,
1
所以原不等式的解集是{x|x=2}.
(n∈N,n≥2).
3.三个“二次”之间的关系
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)
的图像
有两个相异实根 有两个相等
b
x1,x2(x1<x2)
实根x1=x2= 2a
没有实数根
ax2+bx+c>0(a>0)的解集
{x|x>x2或x<x1}
R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简
变形,从而使结果能够与1比较大小.
(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.
对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小
关系是(
)
A.c≥b>a
B.a>c≥b
1.两个实数比较大小的方法
- > 0⇔ >
(1)作差法 - = 0⇔ =
- < 0⇔ <
(2)作商法
,
,
.
> 1⇔
>
(∈R, > 0),
= 1⇔
=
(∈R, > 0),
< 1⇔
<
(∈R, > 0).
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b⇔b<a.
思考已知某些量的范围,求由这些量组成的代数式的范围常用不等式的哪
些性质?
解题心得1.已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用
不等式同向可加性、同向同正可乘性;
2.在应用可乘方性时要注意应用的条件,当不等式两边异号时,平方后不等
号不确定;
3.当 ab>0 时,对不等式 a>b
1
1
两边取倒数,或两边同乘以 ,化简得
因为 e<3<4<5,所以 f(3)>f(4)>f(5),即 c<b<a.
思考比较两个数(式)大小常用的方法有哪些?
解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.
(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、
因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.
成立,即ab≥0,所以a,b,c可取的一组分别为1,0,-1.
比较两个数(式)的大小
考点1
例❶(1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(
A.M<N
B.M>N
C.M=N
D.不确定
(2)若
ln3
ln4
ln5
a= 3 ,b= 4 ,c= 5 ,则(
A.a<b<c
B.a-c>b-d
C.ac>bd
D.a+c>b+d
答案 D
解析 ∵a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,根据同向不等式的可加性,得a+c>b+d,
故选D.
3. (2020福建厦门期末检测)实数x,y满足x>y,则下列不等式恒成立的是
(
)
A.<1
B.2-x<2-y
C.lg(x-y)>0
D.x2>y2
2
2
2
(2)不等式可化为 3x2-6x+2<0.
因为 3x2-6x+2=0 的判别式 Δ=36-4×3×2=12>0,
所以方程 3x -6x+2=0 的解是 x1=12
3
3
,x2=1+ .
3
3
因为函数 y=3x2-6x+2 是开口向上的抛物线,
所以不等式的解集是{x|1-
3
3
<x<1+
}.
3
3
x>2}.
1
0<
C 错误;|b|c=-20<|a|c=-5,故 D 正确.故选 D.
<
1
,又
c<0,故
> ,选项 A 错误;当 c=-2,a=4,b=3
时,ca>cb,故选项 B 错误;由于 a>b>1,c<0,故 ac<bc,选项 C 正确;由于
a>b>1,c<0,所以 a-c>b-c,故 loga(b-c)<logb(a-c),选项 D 错误,故选 C.
ln
(2)令 f(x)=
1 2
2
3
+ >0,∴b>a,∴c≥b>a.
4
1-ln
,则 f'(x)=
2
,当 x>e 时,f'(x)<0,所以 f(x)在(e,+∞)上递减,因
ln
为 e<a<b,所以 f(a)>f(b),即
>
ln
⇒bln a>aln b⇒ab>ba.
不等式的性质及应用
>
1
.
对点训练2(1)(2020海南高三期末,4)已知实数a,b满足a>b>0,则下列不等式
一定成立的有(
)
A.a2<b2
B.-a<-b
C.
D.a+b>ab
+
≥2
(2)(2020山东青岛5月模拟,9改编)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式中
另一转化方法:若x∈D,f(x)≥AБайду номын сангаасD上恰成立,等价于f(x)在D上的最小值
f(x)min=A;若x∈D,f(x)≤B在D上恰成立,则等价于f(x)在D上的最大值
f(x)max=B.
注:例如“恒、能、恰”成立:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立
{x|x1<x<x2}
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a>0)的根
b
x x≠2a
⌀
⌀
b
b+m b
b-m
a
a+m a
a-m
1.若 a>b>0,m>0,则 <
; >
a
a+m a
a-m
b
b+m b
b-m
(b-m>0); >
; <
(b-m>0).
2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间.
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<a<c
)
)
答案 (1)B (2)B
解析 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)·(a2-1).
∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.
)
答案 (1)D
(2)C
解析 (1)(方法1)根据数轴可得c<b<a<0,且|c|>|b|>|a|,对于A:因为c<b,a<0,
所以c+a<c,b-a>b,则c+a<c<b<b-a,即c+a<b-a,故A错误;对于B:因为
c<b<a<0,|c|>|b|>|a|,所以c2>b2>a2,且b2>ab,所以c2>b2>ab,即c2>ab,故B错
(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c.
(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d.
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.
(5)可乘方:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1).
(6)可开方:a>b>0⇒
>
3ln4
(2)(方法 1)易知 a,b,c 都是正数, = 4ln3 =log8164<1,所以 a>b;
5ln4
= 4ln5 =log6251 024>1,
所以 b>c.故 c<b<a.
(方法 2)对于函数 y=f(x)=
ln
1-ln
,y'=
2
,易知当 x>e 时,函数 f(x)递减.
(2)由a>b>0,得ab>b2,所以log2(ab)>log2b2,故A不正确;
因为c2≥0,当c2=0时,ac2=bc2,故B不正确;
由
1
a>b>0,两边同乘,得>1,由
数 y=
1
a>b>0,两边同乘,得<1,故
1
1 1 b
为减函数,得
<( ) ,故
2
2
2
D 不正确.故选 C.
养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前，要
认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟
着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善
于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查
，查漏补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。
-2
(4)不等式
≤0 的解集是[-1,2].( × )
+1
(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则关于x的不等式
ax2+bx+c>0的解集为R.( × )
)
2.(2019四川雅安一中期中)设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的是
(
)
A. >
简单不等式的解法
距离高考还有一段时间，不少有经验的老师都会提醒考生，愈是临近高考，
能否咬紧牙关、学会自我调节，态度是否主动积极，安排是否科学合理，能不
能保持良好的心态、以饱满的情绪迎接挑战，其效果往往大不一样。以下是本
人从事10多年教学经验总结出的超实用新高考数学专题复习讲义希望可以帮助
大家提高答题的正确率，希望对你有所帮助，有志者事竟成！
)
答案 C
解析 由题意,得A={-1,0,1,2,3},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B={-1,0,1,2},故选C.
5.设a,b,c是任意实数,能够说明“若c<b<a且ac<0,则ab<ac”是假命题的一组
整数a,b,c的值依次为
.
答案 1,0,-1(答案不唯一)
解析 由c<b<a且ac<0,可取a为正数,c为负数,由命题为假命题,得ab<ac不
C.c>b>a
D.a>c>b
(2)已知a,b是实数,且e<a<b,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系
是
.
答案 (1)A
(2)ab>ba
解析 (1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.
又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,
∴b=a2+1,
∴b-a=a -a+1= 2
在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面
对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难”
，遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最好
再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30天
冲刺复习方法。
【知识梳理】
1
误;对于C:因为b<a<0,所以
c<0,所以|b|c<|a|c,故D正确.
>
1
,则
<
,故C错误;对于D:因为|b|>|a|,且
(方法 2)不妨令 c=-5,b=-4,a=-1,则 c+a=-6<b-a=-3,故 A 错误;c2=25>ab=4,
故B
错误;
5
4
= <
=5,故
(2)由于 a>b>1,所以
考点2
【例2】 (1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所
示,则下列式子中正确的是(
A.b-a<c+a
B.c2<ab
C.
D.|b|c<|a|c
>
)
(2)(2020 山西太原三模,理 3)已知 a>b>1,c<0,则(
A.
<
C.ac<bc
B.ca<cb
D.loga(b-c)>logb(a-c)
3.恒成立问题的转化:a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max;a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min.
4.能成立问题的转化:a>f(x)能成立⇒a>f(x)min;a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.
5.恰成立问题的转化:a>f(x)在M上恰成立⇔a>f(x)的解集为
M⇔
a > f(x)在 M 上恒成立,
C 正确;由 a>b,函
考点3
利用均值不等式证明不等式
考向1 常系数一元二次不等式的解法
【例3】 解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
解 (1)由 2x
1
1
-3x-2=2(x-2)(x+ )>0,得不等式的解集是{x|x<- 或
答案 B
解析 由x>y,得-x<-y.由y=2t是增函数,得2-x<2-y.
4.(2020安徽马鞍山二模,理1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈Z},
B={x||x|≤2,x∈Z},则A∩B=(
A.{-1,0,1}
B.{-2,-1,0,1}
C.{-1,0,1,2}
D.{-2,-1,0,1,2,3}
(3)方程 4x -4x+1=0 的解是
2
1
x1=x2=2,
函数 y=4x2-4x+1 是开口向上的抛物线,
1
所以原不等式的解集是{x|x=2}.
(n∈N,n≥2).
3.三个“二次”之间的关系
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)
的图像
有两个相异实根 有两个相等
b
x1,x2(x1<x2)
实根x1=x2= 2a
没有实数根
ax2+bx+c>0(a>0)的解集
{x|x>x2或x<x1}
R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简
变形,从而使结果能够与1比较大小.
(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.
对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小
关系是(
)
A.c≥b>a
B.a>c≥b
1.两个实数比较大小的方法
- > 0⇔ >
(1)作差法 - = 0⇔ =
- < 0⇔ <
(2)作商法
,
,
.
> 1⇔
>
(∈R, > 0),
= 1⇔
=
(∈R, > 0),
< 1⇔
<
(∈R, > 0).
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b⇔b<a.
思考已知某些量的范围,求由这些量组成的代数式的范围常用不等式的哪
些性质?
解题心得1.已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用
不等式同向可加性、同向同正可乘性;
2.在应用可乘方性时要注意应用的条件,当不等式两边异号时,平方后不等
号不确定;
3.当 ab>0 时,对不等式 a>b
1
1
两边取倒数,或两边同乘以 ,化简得
因为 e<3<4<5,所以 f(3)>f(4)>f(5),即 c<b<a.
思考比较两个数(式)大小常用的方法有哪些?
解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.
(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、
因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.
成立,即ab≥0,所以a,b,c可取的一组分别为1,0,-1.
比较两个数(式)的大小
考点1
例❶(1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(
A.M<N
B.M>N
C.M=N
D.不确定
(2)若
ln3
ln4
ln5
a= 3 ,b= 4 ,c= 5 ,则(
A.a<b<c
B.a-c>b-d
C.ac>bd
D.a+c>b+d
答案 D
解析 ∵a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,根据同向不等式的可加性,得a+c>b+d,
故选D.
3. (2020福建厦门期末检测)实数x,y满足x>y,则下列不等式恒成立的是
(
)
A.<1
B.2-x<2-y
C.lg(x-y)>0
D.x2>y2
2
2
2
(2)不等式可化为 3x2-6x+2<0.
因为 3x2-6x+2=0 的判别式 Δ=36-4×3×2=12>0,
所以方程 3x -6x+2=0 的解是 x1=12
3
3
,x2=1+ .
3
3
因为函数 y=3x2-6x+2 是开口向上的抛物线,
所以不等式的解集是{x|1-
3
3
<x<1+
}.
3
3
x>2}.
1
0<
C 错误;|b|c=-20<|a|c=-5,故 D 正确.故选 D.
<
1
,又
c<0,故
> ,选项 A 错误;当 c=-2,a=4,b=3
时,ca>cb,故选项 B 错误;由于 a>b>1,c<0,故 ac<bc,选项 C 正确;由于
a>b>1,c<0,所以 a-c>b-c,故 loga(b-c)<logb(a-c),选项 D 错误,故选 C.
ln
(2)令 f(x)=
1 2
2
3
+ >0,∴b>a,∴c≥b>a.
4
1-ln
,则 f'(x)=
2
,当 x>e 时,f'(x)<0,所以 f(x)在(e,+∞)上递减,因
ln
为 e<a<b,所以 f(a)>f(b),即
>
ln
⇒bln a>aln b⇒ab>ba.
不等式的性质及应用
>
1
.
对点训练2(1)(2020海南高三期末,4)已知实数a,b满足a>b>0,则下列不等式
一定成立的有(
)
A.a2<b2
B.-a<-b
C.
D.a+b>ab
+
≥2
(2)(2020山东青岛5月模拟,9改编)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式中