八年级数学全册全套试卷测试卷(解析版)

八年级数学全册全套试卷测试卷（解析版）
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．已知,如图A 在x 轴负半轴上，B （0，-4），点E （-6,4）在射线BA 上，
(1) 求证：点A 为BE 的中点
(2) 在y 轴正半轴上有一点F, 使 ∠FEA=45°，求点F 的坐标.
(3) 如图，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN=NB=MA ，点I 为△MON 的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点, IH⊥ON 于H, 记△POQ 的周长为C△POQ.求证：C△POQ=2 HI.
【答案】（1）证明见解析；（2）22(0,
)7
F ；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）过E 点作E
G ⊥x 轴于G ，根据B 、E 点的坐标，可证明△AEG ≌△ABO ，从而根据全等三角形的性质得证；
（2）过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ，过D 作DK ⊥x 轴于K ，然后根据全等三角形的判定得到△AEG ≌△DAK ，进而求出D 点的坐标，然后设F 坐标为（0，y ），根据S 梯形EGKD =S 梯形EGOF +S 梯形FOKD 可求出F 的坐标；
（3）连接MI 、NI ，根据全等三角形的判定SAS 证得△MIN ≌△MIA ，从而得到
∠MIN=∠MIA 和∠MIN=∠NIB ，由角平分线的性质，求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接OI ，作IS⊥OM 于S, 再次证明△HIP ≌△SIC 和△QIP ≌△QIC ，得到C △POQ 周长.
试题解析：（1）过E 点作EG⊥x 轴于G ，
∵B （0，-4），E （-6,4），∴OB=EG=4，
在△AEG 和△ABO 中，
∵
90
EGA BOA
EAG BAO
EG BO
∠=∠=︒
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△AEG≌△ABO（AAS），∴AE=AB
∴A为BE中点
（2）过A作AD⊥AE交EF延长线于D，过D作DK⊥x轴于K，
∵∠FEA=45°，∴AE=AD，
∴可证△AEG≌△DAK，∴D（1,3），
设F（0，y），
∵S梯形EGKD=S梯形EGOF+S梯形FOKD，
∴()()() 111
347463
222
y y +⨯=+⨯++
∴22
7
y=
∴
22
0,
7
F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
（3）连接MI、NI
∵I为△MON内角平分线交点，∴NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，在△MIN和△MIA中，
∵
MN MA
NMI AMI
MI MI
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△MIN≌△MIA（SAS），
∴∠MIN=∠MIA，
同理可得∠MIN=∠NIB，
∵NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，∠MON=90°，
∴∠MIN=135°∴∠MIN=∠MIA =∠NIB=135°，
∴∠AIB=135°×3-360°=45°，
连接OI，作IS⊥OM于S, ∵IH⊥ON，OI平分∠MON，
∴IH=IS=OH=OS，∠HIS=90°，∠HIP+∠QIS=45°，
在SM上截取SC=HP，可证△HIP≌△SIC，∴IP=IC，
∠HIP=∠SIC，∴∠QIC=45°，
可证△QIP≌△QIC，
∴PQ=QC=QS+HP，
∴C△POQ=OP+PQ+OQ=OP+PH+OQ+OS=OH+OS=2HI.
2．已知△ABC中，AB=AC，点P是AB上一动点，点Q是AC的延长线上一动点，且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同，PQ与BC相交于点D，若
AB=82BC=16．
（1）如图1，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设
BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．
【答案】（1）4；（2）8
【解析】
【分析】
（1）过P点作PF∥AC交BC于F，由点P和点Q同时出发，且速度相同，得出
BP=CQ，根据PF∥AQ，可知∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，则可得出∠B=∠PFB，证出BP=PF，得出PF=CQ，由AAS证明△PFD≌△QCD，得出，再证出F是BC的中点，即可得出结果；
（2）过点P作PF∥AC交BC于F，易知△PBF为等腰三角形，可得BE=1
2
BF，由（1）
证明方法可得△PFD≌△QCD 则有CD=1
2
CF，即可得出BE+CD=8．
【详解】
解:（1）如图①，过P点作PF∥AC交BC于F，
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，
∴BP=CQ，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PFB，
∴BP=PF，
∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，
∴△PFD≌△QCD，
∴DF=CD=1
2
CF，
又因P 是AB 的中点，PF ∥AQ ，
∴F 是BC 的中点，即FC=
12BC=8， ∴CD=12CF=4； （2）8BE CD λ+==为定值．
如图②，点P 在线段AB 上，
过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，
易知△PBF 为等腰三角形，
∵PE ⊥BF
∴BE=12
BF ∵易得△PFD ≌△QCD
∴CD=12
CF ∴()111182222
BE CD BF CF BF CF BC λ+==
+=+== 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，熟悉相关性质定理是解题的关键．
3．如图，在ABC ∆中，903, 7C AC BC ∠=︒==，，点D 是BC 边上的动点，连接AD ，以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE ．
（1）填空：ABC ∆的面积等于 ；
（2）连接CE ，求证：CE 是ACB ∠的平分线；
（3）点O 在BC 边上，且1CO =， 当D 从点O 出发运动至点B 停止时，求点E 相应的运动路程．
【答案】（1）
212
；（2）证明见解析；（3）32【解析】
【分析】 （1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；
（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM ≌△DEN （AAS ），得到ME=NE ，即可利用角平分线的判定证明；
（3）由（2）可知点E 在∠ACB 的平分线上，当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=
1()2
AC CD +，根据CD 的长度计算出CE 的长度即可．
【详解】
解：（1）903, 7C AC BC ∠=︒==， ∴112137222
ABC S AC BC =
⨯=⨯⨯=， 故答案为：212 （2）连接CE ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，作EN ⊥BC 于点N ，
∴∠EMA=∠END=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠MEN=90°，
∴∠MED+∠DEN=90°，
∵△ADE 是等腰直角三角形
∴∠AED=90°，AE=DE
∴∠AEM+∠MED=90°，
∴∠AEM=∠DEN
∴在△AEM 与△DEN 中，
∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN ，AE=DE
∴△AEM ≌△DEN （AAS ）
∴ME=NE
∴点E 在∠ACB 的平分线上，
即CE 是ACB ∠的平分线
（3）由（2）可知，点E在∠ACB的平分线上，
∴当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，∵△AEM≌△DEN
∴AM=DN，
即AC-CM=CN-CD
在Rt△CME与Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，
∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）
∴CM=CN
∴CN=1
() 2
AC CD
+，
又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，
∴CE=
2
2() CN AC CD
=+，
当AC=3，CD=CO=1时，
CE=
2
(31)22 2
+=
当AC=3，CD=CB=7时，
CE=
2
(37)52 2
+=
∴点E的运动路程为：522232
-=，
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．
4．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m
上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，求证:△DEF 是等边三角形．
【答案】(1)见解析；（2）成立，理由见解析；(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）因为DE=DA+AE ，故通过证BDA AEC ≅△△，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE.
（2）成立，仍然通过证明BDA AEC ≅△△，得出BD=AE ，AD=CE ，所以
DE=DA+AE=EC+BD.
（3）由BDA AEC ≅△△得BD=AE ，=BDA AEC ∠∠，ABF 与ACF 均等边三角形，得==60BA AC ︒∠F ∠F ，FB=FA ，所以=BA BA AC AC ∠F ＋∠D ∠F ＋∠E ，即FBD FAB ≅∠∠，所以BDF AEF ≅△△，所以FD=FE ，BFD AFE ≅∠∠，再根据=60BFD FA BFA =︒∠＋∠D ∠，得=60AF FA =︒∠E ＋∠D ，即=60FE =︒∠D ，故DFE △是等边三角形.
【详解】
证明：(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m
∴∠BDA＝∠CEA=90°，∵∠BAC＝90°
∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°
∴∠CAE=∠ABD，又AB=AC ，∴△ADB≌△CEA
∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD= BD+CE
(2)∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α
∴∠DBA=∠CAE ，∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC
∴△ADB≌△CEA，∴AE=BD，AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE
（3）由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA =∠CAE
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE
∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°
∴△DEF为等边三角形.
【点睛】
利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.
5．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE⊥AC，连结DF 交射线 AC 于点 G
(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；
(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。

(3)聪明的斯扬同学通过测量发现，当点 D 在线段 AB 上时，EG 的长始终等于 AC 的一半，他想当点D 运动到图 2 的情况时，EG 的长是否发生变化?若改变，说明理由；若不变，求出 EG 的长。

【答案】（1）4
3
；（2）见详解；（3）不变.
【解析】
【分析】
（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．当DF⊥AB时，通过解直角△BDF求得x的值，易得t 的值；
（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，构建全等三角形：△DHG≌△FCG，结合全等三角形的对应边相等的性质和图中相关线段间的和差关系求得DG=GF；
（3）过F作FH⊥AC，可证△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再证△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解题．
【详解】
解：（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．
当DF⊥AB时，∵∠B=60°，
∴∠DFB=30°，
∴BF=2BD，即4+x=2（4-x），
解得x=4
3
，
故t=4
3
；
（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，则∠DHG=∠FCG．
∵△ABC是等边三角形，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD=DH．
又AD=CF，
∴DH=FC．
∵在△DHG与△FCG中，
DGH FGC
DHG FCG
DH FC
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△DHG≌△FCG（AAS），
∴DG=GF；
（3）如图2，过F作FH⊥AC，
在△ADE和△CFH中，
90
AED FHC
A FCH
AD CF
∠∠︒
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝＝
＝
＝
，
∴△ADE≌△CFH（AAS），
∴DE=FH，AE=CH，
∴AC=EH，
在△GDE和△GFH中，
DEG FHG
DGE FGH
DE FH
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴△GDE≌△GFH（AAS），
∴EG=GH，
∴EG=
1
2
EH=
1
2
AC．
【点睛】
本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△GDE≌△GFH是解题的关键．
二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
6．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：
（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；
（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．
（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°
【解析】
【分析】
（1）通过角度转换得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判断；
（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；
（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的度数即可.
【详解】
解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：
（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：
①当分割的直线过顶点B时，
【1】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点
此时∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值为108°；
【2】：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点
此时：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值为126°；
【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况
△BCD以B为顶点：∠A=36°，∠D=72°，
∴∠ABD=72°，最大角的值为72°；
△BCD以C为顶点：∠A=36°，∠D=54°，
∴∠ABD=90°，最大角的值为90°；
△BCD以D为顶点：∠A=36°，∠D=36°
∴∠ABD=108°，最大角的值为108°；
②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的；
③当分割三角形的直线过点A时，
此时∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，
最大角的值为132°；
综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°.
【点睛】
本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键，难度较大，分类讨论是解决本题的关键.
7．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；
（3）在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．
【答案】（1）∠A＝36°；（2）如图所示：见解析；（3）如图所示：见解析；∠C为20°或40°的角．
【解析】
【分析】
（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．
（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；
（3）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值；
【详解】
（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝180?-x
2
，
可得2x＝180?-x
2
，
解得：x＝36°，
则∠A＝36°；
（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线，如图1；
由45°自然想到等腰直角三角形，有两种情况，
①如图2，过底角一顶点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；
②如图3，以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；
（3）如图4所示：
①当AD＝AE时，
∵2x+x＝30°+30°，
∴x＝20°；
②当AD＝DE时，
∵30°+30°+2x+x＝180°，
∴x＝40°；
综上所述，∠C为20°或40°的角．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
8．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线
．．AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有
∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出
△ACD≌△BCE同样可以得出结论．
【详解】
（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．
∵线段AM为BC边上的中线，∴∠CAM
1
2
∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝30°．
（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角
形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD ＝∠BCE．
在△ADC 和△BEC 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）； （3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，则∠CBE ＝∠CAD ＝30°，又∠ABC ＝60°，∴∠CBE +∠ABC ＝60°+30°＝90°．
∵△ABC 是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线，∴AM 平分∠BAC ，即
11603022
BAM BAC ∠∠==⨯︒=︒，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2．
∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ． 在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°．
由（1）得：∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
③当点D 在线段MA 的延长线上时．
∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠ACE ＝∠BCE +∠ACE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ．
在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ．
由（1）
得：∠CAM ＝30°，∴∠CBE ＝∠CAD ＝150°，∴∠CBO ＝30°，∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
综上所述：当动点D 在直线AM 上时，∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
9．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边ABC ∆，如图1，并在边AC 上任意取了一点F （点F 不与点A 、点C 重合），过点F 作FH AB ⊥交AB 于点H ，延长CB 到G ，使得BG AF =，连接FG 交AB 于点l .
（1）若10AC =，求HI 的长度；
（2）如图2，延长BC 到D ，再延长BA 到E ，使得AE BD =，连接ED ，EC ，求证：ECD EDC ∠=∠.
【答案】（1）HI =5；(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）作FP ∥BC 交AB 于点P ，证明APF ∆是等边三角形得到AH=PH ， 再证明
PFI BGI ∆≅∆得到PI=BI ，于是可得HI =12
AB ，即可求解； （2）延长BD 至Q ，使DQ=AB ，连结EQ ，就可以得出BE=BQ ，得出△BEQ 是等边三角形，就可以得出BE=QE ，得出△BCE ≌△QDE 就可以得出结论．
【详解】
解：如图1，作FP∥BC交AB于点P，
∵ABC
∆是等边三角形,
∴∠ABC=∠A=60°,
∵FP∥BC,
∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,
∴∠APF=∠A=60°,
∴APF
∆是等边三角形,
∴PF=AF,
∵FH AB
⊥，
∴AH=PH,
∵AF=BG,
∴PF=BG,
∴在PFI
∆和BGI
∆中，
PIF BIG
PFI BGI
PF BG
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴PFI BGI
∆≅∆,
∴PI=BI,
∴PI+PH=BI+AH=
1
2
AB,
∴HI=PI+PH =
1
2
AB=
1
10
2
⨯=5；
(2)如图2，延长BD至Q，使DQ=AB，连结EQ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC ，∠B=60°．
∵AE=BD ，DQ=AB ，
∴AE+AB=BD+DQ ，
∴BE=BQ ．
∵∠B=60°，
∴△BEQ 为等边三角形，
∴∠B=∠Q=60°，BE=QE ．
∵DQ=AB ，
∴BC=DQ ．
∴在△BCE 和△QDE 中，
BC DQ B Q BE QE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCE ≌△QDE （SAS ），
∴EC=ED ．
∴∠ECD=∠EDC.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键．本题难度较大，需要有较强的综合能力.
10．探究题：如图，AB ⊥BC ，射线CM ⊥BC ，且BC ＝5cm ，AB ＝1cm ，点P 是线段BC （不与点B 、C 重合）上的动点，过点P 作DP ⊥AP 交射线CM 于点D ，连结AD ．
（1）如图1，若BP ＝4cm ，则CD ＝ ；
（2）如图2，若DP 平分∠ADC ，试猜测PB 和PC 的数量关系，并说明理由；
（3）若△PDC 是等腰三角形，则CD ＝ cm ．（请直接写出答案）
【答案】（1）4cm ；（2）PB ＝PC ，理由见解析；（3）4
【解析】
【分析】
（1）根据AAS 定理证明△ABP ≌△PCD ，可得BP ＝CD ；
（2）延长线段AP 、DC 交于点E ，分别证明△DPA ≌△DPE 、△APB ≌△EPC ，根据全等三角形的性质解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质计算．
【详解】
解：（1）∵BC ＝5cm ，BP ＝4cm ，
∴PC ＝1cm ，
∴AB ＝PC ，
∵DP ⊥AP ，
∴∠APD ＝90°，
∴∠APB +∠CPD ＝90°，
∵∠APB +∠CPD ＝90°，∠APB +∠BAP ＝90°，
∴∠BAP ＝∠CPD ，
在△ABP 和△PCD 中，
B C BAP CPD AB PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABP ≌△PCD ，
∴BP ＝CD ＝4cm ；
（2）PB ＝PC ，
理由：如图2，延长线段AP 、DC 交于点E ，
∵DP 平分∠ADC ，
∴∠ADP ＝∠EDP ．
∵DP ⊥AP ，
∴∠DPA ＝∠DPE ＝90°，
在△DPA 和△DPE 中，
ADP EDP DP DP
DPA DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△DPA ≌△DPE （ASA ），
∴PA ＝PE ．
∵AB ⊥BP ，CM ⊥CP ，
∴∠ABP ＝∠ECP ＝Rt ∠．
在△APB 和△EPC 中，
ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
，
∴△APB ≌△EPC （AAS ），
∴PB ＝PC ；
（3）∵△PDC 是等腰三角形，
∴△PCD 为等腰直角三角形，即∠DPC ＝45°，
又∵DP ⊥AP ，
∴∠APB ＝45°，
∴BP ＝AB ＝1cm ，
∴PC ＝BC ﹣BP ＝4cm ，
∴CD ＝CP ＝4cm ，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了三角形的全等的证明、全等三角形的性质以及等腰三角形的性质.做出辅助线证明三角形全等是本题的关键.
三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
11．因式分解是多项式理论的中心内容之一，是代数中一种重要的恒等变形，它是学习数学和科学技术不可缺少的基础知识．在初中阶段，它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算的基础；利用因式分解的知识，有时可使某些数值计算简便．因式分解的方法很多，请根据提示完成下面的因式分解并利用这个因式分解解决提出的问题．
（1）填空： ①()24
2221144x x x x ⎡⎤+=++-=⎢⎥⎣⎦（ ）22x -=（ ）（ ） ②()()242116=644⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦
=（ ）（ ）=（ ）⨯ （ ） （2）解决问题，计算：4444116844115744⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭ 【答案】（1）①212x +，221122x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，，②26，26，2211666622⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，42.530.5，；（2）14541 【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式和平方差公式计算可得；
（2）利用前面所得规律变形即可．
【详解】
（1）()242221144x x x x ⎡⎤+=++-⎢⎥⎣⎦ 22212x x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭ 221122x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭ ()2422211666624⎡⎤+=++-⎢⎥⎣⎦ 2211666622⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
42.530.5=⨯ 故答案为：①2
12x +，221122x x x x ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，②26，26，
2211666622⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，42.530.5，； （2）4444116844115744⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭ 2222222211116666888822221111555577772222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+ ⎪⎪⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 42.530.372.556.530.520.556.542.5⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯ 14541
= 【点睛】
本题考查了因式分解的应用；熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
12．阅读下列解题过程，再解答后面的题目.
例题：已知22
4250x y y x ++-+=，求x y +的值. 解：由已知得22(21)(44)0x x y y -++++=
即22(1)(2)0x y -++=
∵2(1)0x -≥，2(2)0y +≥
∴有1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩
∴1x y +=-. 题目：已知22464100x y x y +-++=，求xy 的值.
【答案】-
32 【解析】
【分析】
先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x 、y 的值，再代入求出xy 的值．
【详解】
解：将22
464100x y x y +-++=，
化简得22694410x x y y -++++=，
即()()223210x y -++=．
∵()230x -≥，()2210y +≥，且它们的和为0，
∴3x = ，12y
， ∴12233xy ⎛⎫=⨯-
=- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式．
13．一个四位正整数m 各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m 的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”；把四位数m 的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′，设m′＝abcd ，在m′的所有可能的情况中，当|b+2c ﹣a ﹣d|最小时，称此时的m′是m 的“伴随数”，并规定F （m′）＝a 2+c 2﹣2bd ；例如：m ＝2365，则m′为：3652，6523，5236，因为|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴随数”，F （5236）＝52+32﹣2×2×6＝10． （1）最大的四位“半期数”为 ；“半期数”3247的“伴随数”是 ．
（2）已知四位数P ＝abcd 是“半期数”，三位数Q ＝2ab ，且441Q ﹣4P ＝88991，求F （P'）的最大值．
【答案】（1）4192，7324；（2）42.
【解析】
【分析】
（1）根据“半期数”的定义分析最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192，分析3247的所有可能为，2473，4732，7324．根据题意|b +2c ﹣a ﹣d |最小的数是7324，所以3247的“伴随数”是：7324．
（2）根据定义可知a +b =5，c +d =11．再根据441Q ﹣4P =88991，可以算出P 的值，从而求出F （P '）的最大值．
【详解】
解；（1）根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192．
∵3247的所有可能为，2473，4732，7324．
∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4， 4最小，所以7324为3247的“伴随数”．
故答案为4192；7324．
（2）∵P 为“半期数”
∴a +b =5，c +d =11，∴b =5﹣a ，d =11﹣c ，∴P =1000a +100（5﹣a ）+10c +11﹣
c =900a +9c +511．
∵Q =200+10a +c ，∴441Q ﹣4P =88991，∴441（200+10a +c ）﹣4（900a +9c +511）=88991
化简得：2a +c =7
①当a =1时，c =5，此时这个四位数为1456符合题意；
②当a =2时，c =3，此时这个四位数为2338不符合题意，舍去；
③当a =3时，c =1，不符合题意，舍去；
综上所述：这个四位数只能是1456，则P '可能为4561，5614，6145．
∵|5+12﹣4﹣1|=12，|6+2﹣5﹣4|=1，|1+8﹣6﹣5|=2，1最小，所以5614为P 的“伴随数”，∴F （5614）=a 2+c 2﹣2bd =25+1﹣2×6×4=﹣22；
F （4561）=a 2+c 2﹣2bd =16+36﹣2×5×1=42；
F （6145）=a 2+c 2﹣2bd =36+16﹣2×1×5=42；
∴F （P '）的最大值为42．
【点睛】
解决本道题的关键是理解好半期数的定义：一个四位正整数m 各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m 的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”，然后根据当|b +2c ﹣a ﹣d |最小时，称此时的m '是m 的“伴随数”来确定伴随数．
14．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，321=+，∴321是“和数”，2232-1=，∴321是“谐数”，∴321是“和
谐数”．
（1）最小的和谐数是 ，最大的和谐数是 ；
（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；
（3）已知103817m b c =++（0714b c ≤≤≤≤，，且,b c 均为整数）是一个“和数”，请求出所有m ．
【答案】（1）110；954；（2）见解析；（3）880m =或853或826.
【解析】
【分析】
（1）根据“和数”与“谐数”的概念求解可得；
（2）设“谐数”的百位数字为x 、十位数字为y ，个位数字为z ，根据“谐数”的概念得x=y 2-z 2=（y+z ）（y-z ），由x+y+z=（y+z ）（y-z ）+y+z=（y+z ）（y-z+1）及y+z 、y-z+1必然一奇一偶可得答案；
（3）先判断出2≤b+2≤9、10≤3c+7≤19，据此可得m=10b+3c+817=8×100+（b+2）×10+（3c-3），根据“和数”的概念知8=b+2+3c-3，即b+3c=9，从而进一步求解可得．
【详解】
（1）最小的和谐数是110，最大的和谐数是954.
（2）设：“谐数”的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为z
（19,09,09x y z ≤≤≤≤≤≤且 y z >且 ,,x y z 均为正数），
由题意知，()()22
x y z y z y z =-=+-， ∴()()()()1x y z y z y z y z y z y z ++=+-++=+-+，
z∵y z +与y z -奇偶性相同，
∴y z +与1y z -+必一奇一偶，
∴()()1y z y z +-+必是偶数，
∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；
（3）∵07b ≤≤，
∴229b ≤+≤，
∵14c ≤≤，
∴3312c ≤≤，
∴103719c ≤+≤，
∴817103m b c =++，
()()810011037b c =⨯++⨯++
()()81002103710b c =⨯++⨯++-
()()810021033b c =⨯++⨯+-，
∵m 为和数，
∴8233b c =++-，
即39b c +=，
∴61b c =⎧⎨=⎩或32b c =⎧⎨=⎩或03
b c =⎧⎨=⎩， ∴880m =或853或826.
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意、熟练掌握“和数”与“谐数”的概念及整式的运算、不等式的性质．
15．探究
阅读材料：“若x 满足()()806030x x --=，求()()22
8060x x -+-的值” 解：设()80x a -=，()60x b -=，
则()()806030x x ab --==，()()806020a b x x +=-+-=，
所以()()22228060x x a b -+-=+()2
2220230340a b ab =+-=-⨯=.
解决问题：
（1）若x 满足()()451520x x --=-，求()()22
4515x x -+-的值. （2）若x 满足()()22
202020184040x x -+-=，求()()20202018x x --的值. （3）如图，正方形ABCD 的边长为x ，20AE =，30CG =，长方形EFGD 的面积是700，四边形NGDH 和MEDQ 都是正方形，PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）.
【答案】（1）940；（2）2018；（3）2900
【解析】
【分析】
（1）根据材料提供的方法进探究，设（45-x ）=a ，（x-15）=b ，则有
()()451520x x ab --==-，()()4515=30a b x x +=-+-，据此即可求出
()()
224515x x -+-的值； （2）（2020-x ）=m ，（ x-2018）=n ，则()()
2222202020184040,2x x m n m n -+-=+=+=，则可求出()()
20202018x x --的值； （3）根据题意知S 四EFGD =（x-20）（x-30）=700，知S 正MEDQ =（x-20）2，S 正DHNG =（x-30）2，S 四PQDN =（x-20）（x-30）=700,设x-20=a ，30-x=b ，则有-ab=700，据此即可求出阴影部分的面积.
【详解】
解：（1）设（45-x ）=a ，（x-15）=b ，
则有()()451520x x ab --==-，()()4515=30a b x x +=-+-
∴()()()()222
2224515=230220940x x a b a b ab -+-+=+-=-⨯-=；
（2）（2020-x ）=m ，（ x-2018）=n ，则()()2222202020184040,2x x m n m n -+-=+=+=
∴()()20202018x x --=-()()20202018x x -- ()()
222+-44040-201822
m n m n mn +-===
∴()()20202018x x --=-mn=2018；
（3）根据题意知
S 四EFGD =（x-20）（x-30）=700，S 正MEDQ =（x-20）2，S 正DHNG =（x-30）2，S 四PQDN =（x-20）（x-30）=700
设x-20=a ，30-x=b ，
∴-ab=700，
∴()()()()222
222302021027001500x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯-=
∴S 阴影=1500+700+700=2900
故答案为：（1）940；（2）2018；（3）2900
【点睛】
本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．
四、八年级数学分式解答题压轴题（难）
16．阅读下面材料并解答问题 材料：将分式322231
x x x x --++-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为21x -+，可设()322231()x x x x x a b --++=-+++，
则323223x x x x ax x a b --++=--+++
∵对任意x 上述等式均成立，
∴2a =且3a b +=，∴2a =，1b = ∴()
2322221(2)12312111x x x x x x x x x -+++--++==++-+-+-+ 这样，分式322231
x x x x --++-+被拆分成了一个整式2x +与一个分式211x -+的和 解答：（1）将分式371
x x +-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式 （2）求出422681
x x x --+-+的最小值． 【答案】（1）3+
101
x -；（2）8 【解析】
【分析】
（1）直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可；
（2）由分母为-x 2+1，可设-x 4-6x 2+8=(-x 2+1)(x 2+a)+b ，按照题意，求出a 和b 的值，即可把分式422681
x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
【详解】 解：（1）371x x +-=3310
1
x x -+- =
()31101x x -+-
=3+
10
1
x -； （2）由分母为21x -+，
可设4268x x --+(
)(
)
2
2
1x x a b =-+++， 则4268x x --+
()()
221x x a b =-+++ 422x ax x a b =--+++
42(1)()x a x a b =---++．
∵对于任意的x ，上述等式均成立，
∴168a a b -=⎧⎨+=⎩
解得71a b =⎧⎨=⎩
∴422681
x x x --+-+
()()
2
22
1711
x x x -+++=
-+
()(
)2
22
2
171
1
1
x x x x -++=
+
-+-+
22171
x x =++
-+．
∴当x=0时，2
21
71x x ++-+取得最小值8，即 422
68
1
x x x --+-+的最小值是8． 【点睛】
本题主要考查分式的混合运算，解答本题的关键是理解阅读材料中的方法，并能加以正确应用．
17．某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天，2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨；2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均每天的垃圾处理量的2. 5倍. 若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处理率的1. 25倍.
（注：=
垃圾处理量
垃圾处理率垃圾排放量
）
（1）求该市2018年平均每天的垃圾排放量；
（2）预计该市2020年平均每天的垃圾排放量比2019年平均每天的垃圾排放量增加10%. 如果按照创卫要求“城市平均每天的垃圾处理率不低于90%”，那么该市2020年平均每天的垃圾处理量在2019年平均每天的垃圾处理量的基础上，至少还需要増加多少万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求？ 【答案】（1）100；（2）98. 【解析】 【分析】
（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，根据题意列方程求出x 的值即可； （2）设设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，根据题意列出不等式，解得m 的取值范围即可得到答案. 【详解】
（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，
40 2.540
1.25100x x
⨯=⨯+，
解得：x=100，
经检验，x=100是原分式方程的解， 答：2018年平均每天的垃圾排放量为100万吨. （2）由（1）得2019年垃圾的排放量为200万吨， 设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，
40 2.5200(110%)
m
⨯+⨯+≥90%，
m ≥98，
∴至少还需要増加98万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求. 【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，找到各量之间的关系是解题的关键.
18．我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：
112122
111111
x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552()11111
x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++. （1）下列分式中，属于真分式的是：____________________（填序号）
①21a a -+； ②21x x +； ③223b b +； ④2231
a a +-. （2）将假分式
43
21
a a +-化成整式与真分式的和的形式为： 43
21
a a +-=______________+________________. （3）将假分式23
1a a +-化成整式与真分式的和的形式：
23
1
a a +-=_____________+______________. 【答案】(1)③；(2)2，521a -；(3)a ＋1＋4
1
a - . 【解析】
试题分析：（1）认真阅读题意，体会真分式的特点，然后判断即可； （2）根据题意的化简方法进行化简即可； （3）根据题意的化简方法进行化简即可.
试题解析：（1）①中的分子分母均为1次，②中分子次数大于分母次数，③分子次数小于分母次数，④分子分母次数一样，故选③. （2）
4321a a +-=42552212121a a a a -+=+---，故答案为2，5221
a +
-； （3）231a a +-=214(1)(1)4111
a a a a a a -++-=+
---=411a a ++-，故答案为a+1+41a -.
19．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b 元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n 所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n 所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，
由1到n 排序，第1所民办学校得奖金
b
n
元，然后再将余额除以n 发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n 所民办学校．
（1）请用n 、b 分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；
（2）设第k 所民办学校所得到的奖金为k a 元（1k n ≤≤），试用k 、n 和b 表示k a （不必证明）；
（3）比较k a 和1k a +的大小（k=1，2 ，……，1n -），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．
【答案】（1）211()(1)b b a b n n n n =-⨯=- ,23111()(1)(1)b b a b n n n n n
=-⨯-=-； （2）1
1
(1)
k k b
a n
n
-=- ；。