控制系统的综合和设计PPT课件

给定一个极点集合，能通过状态反馈进行配置的充 分必要条件是该极点集合包含开环系统所有不能控 极点。
状态反馈对传递函数零点的影响
0
0
A M
0
0
10 0O OO L0
1 L
L O 1 0
n2
c 1 2 L n
0
M
0 ,
1
n1
0
0
b M 0
1
G (s) c(sI A ) 1 bsn n 1 n s n 1 s 1 n 1 L L 1 s1 s 00
控制系统 的综合
状态空间描述 状态方程的解 控制系统的定性分析 控制系统的综合
内容提要
状态反馈与输出反馈 闭环系统的极点配置 镇定问题 状态观测器的设计 带有状态观测器的反馈控制系统
控制系统
定性分析 能控性 能观性
李雅普诺夫稳定性
综合设计 极点配置 镇定问题 状态观测器设计 带有状态观测器的 反馈控制
其中 1*,2*,L ,n* 是期望的极点。
极点可配置的条件
极点配置所需要的反馈增益矩阵
极点可配置条件
两种线性非奇异变换
➢ 不完全能控系统： 结构分解
xxˆ&ˆ&cc
Aˆc 0
Aˆ12 Aˆc
xˆc xˆc
Bˆc 0
u
y
Cˆ1
Cˆ2 xˆ
➢ 完全能控的SISO系统：规范型
G F (s) C (sI A B F C ) 1 B R
系统的输出方程不变 传递函数改变 输出反馈是状态反馈的特殊情况(K=FC)
状态反馈与输出反馈的区别
状态反馈利用的信息完整，可以在不增加系统维数的情况下 自由的支配响应特性；而输出反馈仅利用状态变量的线性组 合进行反馈，信息量小，难以得到任意的所期望的响应特性。 一个输出反馈系统的性能一定有对应的状态反馈系统与之等 同；反之对一个状态反馈系统，却不一定有对应的输出反馈 与之等同。
计算
K
[
* 0
0
1* 1
L
* n1
n1 ];
求化能控规范型的变换矩阵P,
P [B AB L
1
2
2 L 3 L
n1 1
1 0
An1B] M M N
M
n1 1
M
1 0 L L 0
KKP1
给定一个极点集合的可配置条件
例
0 1 0 A2 3 0 ,
0 0 1
0 b1
0
c2 1 1
是否存在状态反馈控制器使得闭环系统极点为-1，-2，-3？
xˆ&(AHC)xˆHyBu
xˆ(0)xˆ0
u
+ B
xC
y
+
A
H
+ + B
+
xˆ
A HC
存在全维状态观测器的条件 全维状态观测器设计的算法
全维状态观测器的观测偏差
设x%xxˆ,则
x & % (A H C )x % , x % (0 ) x 0 x ˆ0
观测器设计的关键问题是使得 lim x%(t) 0 ， t
开环观测器存在的问题
系统矩阵A包含实部大于等于0的特征值时，只要初始
状态x0和
xˆ
之间存在很小的偏差，原状态
0
x(t) 和观测
器状态 之xˆ ( t间) 的偏差就会随t 而扩散或振荡。
改进途径：引入反馈！
全维状态观测器的构造思路
由“复制”和“反馈”合 x & ˆ A x ˆ B u H (y y ˆ),y ˆ C x ˆ
0
0
A M
0
0
10 0O OO L0
1 L
L O 1 0
n2
0
M
0 ,
1
n1
0
0
b M 0
1
c 1 2 L n d e t(s I A ) s n n 1 s n 1 L 1 s0
极点可配置条件
状态反馈 利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要 条件是被控系统完全能控。 ➢ 对单输入系统，K的选取唯一； ➢ 对多输入系统，K的选取不唯一。
输出反馈 利用输出反馈，即使系统完全能控也不能任 意配置闭环极点。 输出反馈只能将闭环系统的极点配置到根轨 迹上。
状态反馈下的极点配置算法
Step 1 Step 2 Step 2
Step 3
计算*(s)(s1*)(s2*)L(sn*) sn n*1sn1L1*s0*
(s)sn n1sn1L 1s0
状态反馈增益 k
0
10 L
0
0O O
Abk M O O
1
0
L0
0
0k1 1k2 L n2kn1
c1 2 L n
0
M
0 ,
1
n1kn
0
0
bM 0
1
GK(s)c(sIAbk)1b
sn(n1k nn)1 ssnn 11L L( 1 1sk2)0s(0k1)
G (s) c(sI A ) 1 bsn n 1 n s n 1 s 1 n 1 L L 1 s1 s 00
求化能控规范型的变换矩阵P,
P [B AB L
1
2
2 L 3 L
n1 1
1 0
An1B] M M N
M
n1 1
M
1 0 L L 0
KKP1
检验系统
1 0 -1 0
x&
0
-2
0
x
0
u
-1 0 2 1
是否可用状态反馈镇定。
若可以，设计状态反馈阵镇定该系统。
状态观测器的设计
问题的提出
GK(s)c(sIAbk)1b
sn(n1k nn)1 ssnn 11L L( 1 1sk2)0s(0k1)
在状态反馈控制下， 闭环系统的零点与被控系统的零点相同。
镇定问题
镇定问题的提法
所谓镇定，就是用某种控制形式（如状态反馈或输出 反馈）使原来不稳定的系统变为稳定系统。
所谓状态反馈镇定，就是对线性定常系统
v R
u
BLeabharlann －+x C y
A
K
r(t)
－
k1
－
k2
1 Ts 1
速度
1 s
位置 y(t)
2
1
位置和速度反馈构成的闭环系统
状态反馈后闭环系统：
x&(ABK)xBRv yCx
闭环系统的传递函数为：
G K (s) C (sI A B K ) 1B R
系统的输出方程不变 传递函数改变
输出反馈
考虑线性定常系统
x& Ax Bu
y
Cx
输出反馈控制器： uFyRv
其中，v为参考输入；F为输出反馈增益矩阵； R为前馈增益矩阵。
vR
u
B
－
+
x C y
A
F
指令位置 r(t)
－
K
1 Ts 1
速度 1
s
位置 y(t)
位置反馈构成的闭环系统
输出反馈后闭环系统： x&(ABFC)xBRv yCx
闭环系统的传递函数为：
可镇定的条件 状态反馈镇定矩阵的算法
可镇定条件
充分条件 如果开环系统完全能控，那么一定可以通过状 态反馈使其镇定。
例
0 1 0 A 2 3 0 ,
0 0 1
0 b 1
0
c 2 1 1
是否存在状态反馈控制器使得闭环系统渐近稳定呢？
充分必要条件 线性定常系统可由状态反馈镇定，
开环系统不能控部分为渐近稳定的（不能控子 系统的极点都在复平面的左半平面）。
Step 2 Step 4
计算状态反馈增益矩阵 KKˆ1 0P1
Step 5
对(A,B)，任意指定n个实部为负的
期望闭环特征值{1*,2*,L,n*}，
按极点配置算法，计算状态反馈矩阵K
能控性结构分解
按能控性的结构分解规范形式
xxˆ&ˆ&cc
Aˆc 0
Aˆ12 Aˆc
xˆc xˆc
成。
“复制”：基于被 观测系统的矩阵
u
+ B
xC
y
A,B,C，按相同结
+
构建立一个复制系
A
统；
“反馈”：取被观 测系统输出 y 和复
制系统输出 的yˆ 差
值作为修正变量， 经增益矩阵H 反馈 到复制系统的输入 端以构成闭环系统。
+ + B
+
ˆ
+
H
— yˆ
xˆ C
A
xˆ
全维状态观测器的状态空间描述
利用 中可直接量测的输出 y 和输入 u 作为 ˆ 的输入，
并使 ˆ 的状态 xˆ 渐近等价于 的状态 x，即
limxˆ(t)limx(t)
t
t
u
+ B
x
C
y
+
A
状态观测器
xˆ
ˆ
观测器的分类
状态观测器
全维状态观测器
维数等于被观测系 统的状态观测器
降维状态观测器
维数小于被观测系 统的状态观测器
全维状态观测器
即观测偏差系统渐近稳定。
全维状态观测器存在的条件
观测状态变量的装置或计算机程序状态观测器的实质状态观测器的实质是对给定线性定常被观测系统构造与具有相同属性的一个线性定常系统利用中可直接量测的输出y和输入u作为的输入的状态渐近等价于的状态x即limlimxtxt观测器的分类全维状态观测器全维状态观测器状态观测器状态观测器降维状态观测器降维状态观测器维数等于被观测系统的状态观测器维数小于被观测系统的状态观测器全维状态观测器的属性axbu考虑n维连续时间线性定常系统其中状态x不能直接量测输出y和输入u是可以利用的
反馈结构对系统性能的影响
状态反馈对系统能控性、能观性的影响
设R为非奇异方阵
状态反馈不会改变系统的能控性。 例状子态反馈可能改变系统的能观性。
输出反馈对系统能控性、能观性的影响
输出反馈不会改变系统的能控性。 输出反馈不会改变系统的能观性。
反馈结构对系统稳定性的影响
状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性！
t
t
全维状态观测器的构造形式
状态观测器的直观构造——开环观测器
由被观测系统矩阵A,B,C导出的复制系统
xˆ& A xˆ B u
yˆ
C xˆ
理想情形：若 xˆ(t0)x(t0) ，则对任意 t t 0
xˆ(t) x(t)
如果 xˆ(t0)x(t0)，式
limxˆ(t)limx(t)
t
t
还成立吗？
Bˆc 0
u
y
Cˆ1
Cˆ2 xˆ
非奇异矩阵的构造：xˆ P1x
1. rankQc= rank[B AB … An-1B] = k < n； 2. 取Qc中k个线性无关的列向量l1, l2, …, lk ； 3. 取与向量组{l1, l2, …, lk}线性无关的(n-k)个线性独立的列向量
lk+1,…, ln；
4. 则 P l1l2Llk lk 1Lln
状态反馈下的极点配置算法
Step 1 Step 2 Step 2
Step 3
计算*(s)(s1*)(s2*)L(sn*) sn n*1sn1L1*s0*
(s)sn n1sn1L 1s0
计算
K
[
* 0
0
1* 1
L
* n1
n1 ];
指令位置 r(t) K
－
1 Ts 1
速度 1
s
位置 y(t)
经典控制理论：用输出量作为反馈量 现代控制理论：输出反馈，状态反馈
两种常用的反馈结构
状态反馈
考虑线性定常系统
x& Ax Bu
y
Cx
状态反馈控制器： uKxRv
其中，v为参考输入；K为状态反馈增益矩阵； R为前馈增益矩阵（对某些综合任务来说，可令R=I）
状态观测：对不可量测的状态进行估计的过程 状态观测器：观测状态变量的装置或计算机程序
状态观测器的提出，概括地说，主要是为了解决状态 反馈在性能上的不可替代性和在物理上的不能实现性 的矛盾。
状态观测器的实质
状态观测器的实质，是对给定线性定常被观测系统 ，
构造与 具有相同属性的一个线性定常系统 ˆ ，
状态反馈和 输出反馈
反馈控制
所谓反馈，就是将被控输出量或状态量反向传递到系统的 输入端并与给定输入信号比较，根据所得的偏差来实现对 被控量的控制，并在有不可预知的扰动的情况下，使得输 出量与给定量（参考输入值）之间的偏差尽可能小。
由于在这种控制系统中，信号的流程构成一个闭环，所以 也称为闭环控制。
x&
0 1
1 0
x
0 1
u
y
0
1 x
参考输入为v 0.
判断系统在状态反馈下的能观性。
闭环系统的极点 配置
极点配置
所谓极点配置，就是利用状态反馈或输出反馈使闭环 系统的极点位于所希望的极点位置，即：
状态反馈：d e t ( s I A B K ) ( s 1 * ) ( s 2 * ) L ( s n * ) 输出反馈：d e t ( s I A B F C ) ( s 1 * ) ( s 2 * ) L ( s n * )
x& Ax Bu
y
Cx
找到一个状态反馈控制器
uKx
使状态反馈闭环系统
x&(ABK)x
为渐近稳定。
镇定问题属性
状态反馈闭环系统
x&(ABK)x
渐近稳定
系统闭环特征值均具有负实部
镇定问题实质上属于极点区域配置问题。
对于镇定问题，系统闭环极点的综合目标， 并不要求配置于任意指定期望位置，而只要求 配置到复平面的左半开平面上。
全维状态观测器的属性
考虑n维连续时间线性定常系统
x& Ax Bu
y
Cx
其中状态x不能直接量测，输出y和输入u是可以利用的。 A,B,C矩阵都已知。
全维状态观测器，也是n维线性定常系统，并且取状态观
测器的输入为被观测系统的输出 y 和输入 u ，观测器的
状态 xˆ 满足
limxˆ(t)limx(t)
Aˆ P1APAˆc 0
AAˆˆ1c2,Bˆ P1BB0ˆc
其中Aˆc Rkk，即rankQc k 判断 Aˆ c 的特征值是否都具有负实部，
若是，进入下一步。
对 (A ˆc,B ˆc)， 任 意 指 定 k个 实 部 为 负 的 期 望
闭 环 特 征 值 {1 *,2 *,L,k *}，
按极点配置算法，计算极点配置状态反馈矩阵 K ˆ 1
Aˆ P1APAˆc 0
AAˆˆ1c2,Bˆ P1BB0ˆc
其中Aˆc Rkk，即rankQc k
特征值 实部小 于零
状态反馈镇定矩阵的算法
判断(A,B)的能控性。若不完全能控，进入下一步； Step 1 若完全能控，去Step 5。
SStteepp 22 Step 3
对(A,B) 按能控性结构分解，构造变换矩阵P，计算