基于函数凹凸性命制的高考数学导数试题本质研究

基于函数凹凸性命制的高考数学导数试题本质研究
严天珍
(甘肃省天水市第一中学ꎬ甘肃天水７４１０００)
摘㊀要:凹凸性是刻画连续函数性质的重要工具之一.文章从高中学生认知水平的实际出发ꎬ在介绍了函数凹凸性相关定义和定理的基础上ꎬ对近年基于函数凹凸性的高考数学导数试题进行示例分析和解题本质研究ꎬ以期为一线教师的解题教学和高考备考提供参考和启示.关键词:凹凸性ꎻ高考数学ꎻ导数ꎻ试题本质
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３３－００６９－０３
收稿日期:２０２３－０８－２５
作者简介:严天珍(１９９０－)ꎬ男ꎬ甘肃省天水人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.
基金项目:甘肃省 普通高中数学新课程实验跟踪与质量监测教改实验项目 专项课题 天水市高中数学新教材使用研究
㊀㊀美国数学家哈尔莫斯(Ｐ.Ｒ.Ｈａｌｍｏｓ)曾说:问题是数学的心脏ꎬ数学的真正组成部分是问题和
解[１]ꎻ数学作为一门研究规律的学科ꎬ毫无疑问数学解题教学有其内在的属性和规律ꎬ而这个属性与规律就是数学解题的本质[２].
凹凸性是刻画连续函数性质的重要工具之一ꎬ不仅在高等数学中具有广泛的应用价值ꎬ同时也是高考数学试题命制的热点
[３]
.回顾近年高考试题发现ꎬ
基于函数凹凸性命制的高考数学试题频频出现ꎬ但由于普通高中数学课程标准并没有对函数的凹凸性做具体要求ꎬ相关性质在高中数学内容中又分布得较为隐蔽和零散ꎬ导致学生不会以整体的视野去统整相关的内容ꎬ更难将该思想方法顺利迁移到相关的解题中去.因此ꎬ函数凹凸性的 学考分离 现象成为高中数学教学和高考备考中一个不容忽视的问题.
为此ꎬ笔者从高中学生认知水平的前提出发ꎬ在介绍函数凹凸性相关定义和定理的基础上ꎬ对近年基于函数凹凸性的高考数学导数试题进行示例分析和解题本质研究ꎬ以期为一线教师的解题教学和高考备考提供参考和启示.
１预备知识
定义㊀设ｆ(ｘ)为定义在ａꎬｂ[]上的连续函数ꎬ若对ａꎬｂ[]中任意两点ｘ１ꎬｘ２和任意实数λɪ(０ꎬ１)总有ｆ(λｘ１＋(１－λ)ｘ２)ɤλｆ(ｘ１)＋(１－λ)ｆ(ｘ２)ꎬ则称ｆ(ｘ)为ａꎬｂ[]上的凸函数ꎻ反之ꎬ如果总有ｆ(λｘ１＋(１－λ)ｘ２)ȡλｆ(ｘ１)＋(１－λ)ｆ(ｘ２)ꎬ则称ｆ(ｘ)为ａꎬｂ[]上的凹函数.
定理[４]㊀设ｆ(ｘ)为定义在ａꎬｂ[]上的二阶可导
函数ꎬ则在ａꎬｂ[]上ｆ(ｘ)为凸(凹)函数的充要条件是ｆᵡ(ｘ)ȡ０(ｆᵡ(ｘ)ɤ０).
２ ｆ(ｘ)ɤｋｘ＋ｂ(或ȡ) 型导数试题的分析与结论
㊀㊀例１㊀(２０１７年高考全国Ⅱ卷文科数学第２１题)设函数ｆ(ｘ)＝(１－ｘ２)ｅｘ.(１)讨论函数ｆ(ｘ)的单调性ꎻ
(２)当ｘȡ０时ꎬｆ(ｘ)ɤａｘ＋１ꎬ求实数ａ的取值
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范围.
解析㊀(１)略ꎻ(２)因为ｆ(ｘ)＝(１－ｘ２)ｅｘꎬ所以ｆᶄｘ()＝ｅｘ(－ｘ２－２ｘ＋１)ꎬ进而有ｆᵡｘ()＝－ｅｘ
(ｘ２
＋４ｘ＋１)<０在[０ꎬ＋¥)上恒成立ꎮ由定理
可知ｆｘ()在[０ꎬ＋¥)上为凹函数ꎬ又因为ｆｘ()过点(０ꎬ１)ꎬ所以ｆｘ()在点(０ꎬ１)处的切线方程为ｙ＝ｘ＋１ꎬ因为ｆ(ｘ)为[０ꎬ＋¥)上的凹函数ꎬ易知曲线ｙ＝ｆ(ｘ)总是在它的任一切线的下方ꎬ即ｆｘ()ɤｘ＋１ꎬ
又因为ꎬ当ｘȡ０时ｆ(ｘ)ɤａｘ＋１ꎬ所以ａ的取值范围为[１ꎬ＋¥).
评析㊀含参不等式恒成立求参数取值范围的问
题是高考中的热点ꎬ也是难点.解决的方法主要有分类讨论和分离参数ꎬ分类讨论由于分类标准的复杂多样往往不被一线师生所使用ꎬ而分离参数因其思想简单而易于被学生接收ꎬ但解题过程往往因为构造函数复杂㊁用到洛必达法则等困难而半途而废.因此在解决 ｆ(ｘ)ɤｋｘ＋ｂ型 函数问题时ꎬ利用函数的凹凸性并考虑相切的临界状态ꎬ无疑是一种简洁有效的办法.结论１㊀设ｆ(ｘ)为定义在ａꎬｂ[]上的二阶可导函
数ꎬ对ａꎬｂ[]中任意两点ｘꎬｘ０ꎬ则有:
(１)ｆ(ｘ)为ａꎬｂ[]上的凸函数⇔ｆ(ｘ)ȡｆ(ｘ０)＋ｆᶄ(ｘ０)(ｘ－ｘ０)ꎻ
(２)ｆ(ｘ)为ａꎬｂ[]上的凹函数⇔ｆ(ｘ)ɤｆ(ｘ０)＋ｆᶄ(ｘ０)(ｘ－ｘ０).
不难理解ꎬ该定理的几何意义是:若ｆ(ｘ)为ａꎬｂ[]上的凸函数ꎬ则曲线ｙ＝ｆ(ｘ)总是在它的任一切线的上方ꎻ若ｆ(ｘ)为ａꎬｂ[]上的凹函数ꎬ则曲线ｙ＝ｆ(ｘ)总是在它的任一切线的下方.
回望近年高考ꎬ２０１８年高考全国Ⅰ卷文科数学第２１(２)题㊁２０１８年高考全国Ⅲ卷文科数学第２１
(２)题㊁２０１９年高考全国Ⅱ卷理科数学第２０(２)题㊁
２０１９年高考全国Ⅱ卷理科数学第２０(２)题㊁２０２０年高考全国Ⅰ卷文科数学第２０(２)题㊁２０２０年高考全国Ⅱ卷文科数学第２１(１)题等ꎬ都是基于函数凹凸性命制的ꎬ且均可以借助结论１的思想方法解答.限于篇幅ꎬ此处不再做示例分析.
３
ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)
ｘ－ａ
型函数单调性的探究及结论
例２㊀(２０２０年高考全国Ⅱ卷文科数学第２１题)
已知函数ｆ(ｘ)＝２ｌｎｘ＋１[４].
(１)若ｆｘ()ɤ２ｘ＋ｃꎬ求ｃ的取值范围ꎻ(２)设ａ>０ꎬ讨论函数ｇ(ｘ)＝
ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)
ｘ－ａ
的单
调性.
分析㊀从问题本身来看ꎬ本题第一问主要考查的是含参不等式恒成立求参数取值范围的问题ꎬ第二问主要考查函数单调性的讨论问题ꎬ利用第一问的结论容易得到其单调性.但是从构造函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)
ｘ－ａ的结构来看ꎬ其几何本质为过函数ｆ(ｘ)
图像上动点(ｘꎬｆ(ｘ))和定点(ａꎬｆ(ａ))两点直线的斜率.联想导数的几何意义和函数单调性的本质ꎬｇ(ｘ)的单调性可能与ｆᶄ(ｘ)的单调性有关ꎬ即与ｆ(ｘ)的凹凸性有关.为此ꎬ我们先从形式函数ｇ(ｘ)＝
ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)
ｘ－ａ入手考查其单调性.
解析㊀(１)略ꎻ(２)因为ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)
ｘ－ａ
ꎬｘɪ(０ꎬ
ａ)ɣ(ａꎬ
＋
¥)ꎬ易得
ｇᶄ(ｘ)
＝
ｆᶄ(ｘ)(ｘ－ａ)－ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)[]
(ｘ－ａ)２构造ｍ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)(ｘ－ａ)－ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)[]ꎬ则
ｍᶄ(ｘ)＝ｆᵡ(ｘ)(ｘ－ａ)因为ｆᵡ(ｘ)＝－
２
ｘ２
<０ꎬ所以ｍ(ｘ)在(０ꎬａ)上是增函数ꎬ在(ａꎬ＋¥)上是减函数
所以ｍ(ｘ)ｍａｘ＝ｍ(ａ)＝０ꎬ即ｇᶄ(ｘ)＝ｍ(ｘ)(ｘ－ａ)２
ɤ０在(０ꎬａ)和(ａꎬ＋¥)上恒成立
所以ｇ(ｘ)在(０ꎬａ)和(ａꎬ＋¥)上是减函数.评析㊀与高考标准答案相比ꎬ上述解题过程避开
了具体函数单调性的讨论ꎬ先从形式函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)
ｘ－ａ入手考查其单调性ꎬ这不仅降低了思维
难度㊁简化了解题过程ꎬ而且使这道高考题的本质和内涵也就真正显现出来了.
结论２㊀设ｆ(ｘ)为定义在[ａꎬｂ]上的二阶可导函数ꎬｘ０ɪ(ａꎬｂ)ꎬ则有:
(１)若ｆ(ｘ)为[ａꎬｂ]上的凸函数(或ｆᵡ(ｘ)ȡ
０７
０)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(ｘ０)
ｘ－ｘ０在[ａꎬｘ０)和(ｘ０ꎬｂ]上
是增函数ꎻ
(２)若ｆ(ｘ)为[ａꎬｂ]上的凹函数(或ｆᵡ(ｘ)ɤ
０)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(ｘ０)
ｘ－ｘ０在[ａꎬｘ０)和(ｘ０ꎬｂ]上
是减函数ꎻ
４一个 ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)
ｘ２－ｘ１ɤ∗(或ȡ) 型函数不
等式的探究与结论
㊀㊀例３㊀(２０２０年高考天津卷数学第２０题)已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３＋ｋｌｎｘ(ｋɪＲ)ꎬｆᶄ(ｘ)为ｆ(ｘ)的导函数.
(１)(第一问略)ꎻ
(２)当ｋȡ－３时ꎬ求证:对任意的ｘ１ꎬｘ２ɪ[１ꎬ
＋¥)ꎬ且ｘ１>ｘ２ꎬ有ｆᶄｘ１()＋ｆᶄｘ２()２>ｆｘ１()－ｆｘ２()
ｘ１－ｘ２
.
分析㊀首先将证明结论的分式转化成整式ꎬ利用
作差法证明ꎻ再令ｘ１
ｘ２＝ｔꎬ将差转化为与ｔ有关的函
数ꎻ最后构造新函数ꎬ利用新函数的性质即可证得题中的结论ꎻ
设ｆ(ｘ)为[ａꎬｂ]上的三阶可导函数ꎬｘ０ɪａꎬｂ[]ꎬ
试比较ｆᶄｘ()＋ｆᶄｘ０()２和ｆｘ()－ｆｘ０()
ｘ－ｘ０的大小ꎬ其中
ｘ０为常数.解析㊀
构造ｇ(ｘ)＝ｆᶄｘ()＋ｆᶄｘ０()２
－
ｆｘ()－ｆｘ０()
ｘ－ｘ０ꎬｘɪ[ａꎬｘ０)ɣ(ｘ０ꎬｂ].则ｇᶄ(ｘ)＝
１
２
ｆᵡｘ()(ｘ－ｘ０)２－ｆᶄｘ()(ｘ－ｘ０)＋ｆｘ()－ｆ(ｘ０)](ｘ－ｘ０)２
ꎬ
ｘɪ[ａꎬｘ０)ɣ(ｘ０ꎬｂ]ꎬ再构造ｍ(ｘ)＝
１
２
ｆᵡｘ()(ｘ－ｘ０)２－ｆᶄｘ()(ｘ－ｘ０)＋ｆｘ()－ｆ(ｘ０)ꎬｘɪ[ａꎬｘ０)ɣ(ｘ０ꎬｂ]ꎬ则ｍᶄ(ｘ)＝
１
２
ｆ‴ｘ()(ｘ－ｘ０)２.①当ｆ‴(ｘ)ȡ０时ꎬ则ｍᶄ(ｘ)ȡ０在[ａꎬｘ０)和
(ｘ０ꎬｂ]上恒成立ꎬ则ｍ(ｘ)在[ａꎬｘ０)和(ｘ０ꎬｂ]上为
增函数ꎬ而ｍ(ｘ０)＝０ꎬ所以当ｘɪ[ａꎬｘ０)时ꎬｇᶄ(ｘ)＝
ｍ(ｘ)(ｘ－ｘ０)２<０ꎬ当ｘɪ(ｘ０ꎬｂ]时ꎬｇᶄ
(ｘ)＝ｍ(ｘ)(ｘ－ｘ０)２
>０ꎬ所以ꎬｇ(ｘ)在[ａꎬｘ０)上是减函数ꎬ在(ｘ０ꎬｂ]上是增函数ꎬ由导数的定义易得:ｘңｘ０时ꎬｇ(ｘ)ң０ꎬ所以ｇ(ｘ)>０在[ａꎬｘ０)ɣ(ｘ０ꎬｂ]上恒成立ꎬ即ｆᶄｘ()＋ｆᶄｘ０()２>ｆｘ()－ｆｘ０()
ｘ－ｘ０.
②当ｆ‴(ｘ)ɤ０时ꎬ同理可得
ｆᶄｘ()＋ｆᶄｘ０()
２
<
ｆｘ()－ｆｘ０()
ｘ－ｘ０
.
综上所述ꎬ可以得到如下结论:
结论３㊀设ｆ(ｘ)为[ａꎬｂ]上的三阶可导函数ꎬｘ０ɪａꎬｂ[]ꎬ则有:(１)若ｆ‴(ｘ)ȡ０(或ｆᶄ(ｘ)为[ａꎬｂ]上的凸函数)ꎬ则
ｆᶄｘ()＋ｆᶄｘ０()２>ｆｘ()－ｆｘ０()
ｘ－ｘ０ꎻ
(２)若ｆ‴(ｘ)ɤ０(或ｆᶄ(ｘ)为[ａꎬｂ]上的凹函
数)ꎬ则
ｆᶄｘ()＋ｆᶄｘ０()２<ｆｘ()－ｆｘ０()
ｘ－ｘ０
.
解题研究一直是中国数学教育研究的一个基本课题[５].解题不仅仅是给出试题的一种或几种解答ꎬ更应探求解题本质ꎬ即不断深究问题ꎬ参透题目本质ꎬ实现以题会类ꎬ真正把解题教学与 四基四能 的提升㊁核心素养的形成有机地统一起来.
参考文献:
[１]Ｐ.Ｒ.Ｈａｌｍｏｓꎬ弥静.数学的心脏[Ｊ].数学通报ꎬ１９８２(０４):２７－３１.
[２]郑花青.回归本质:从解题教学谈高考复习
[Ｊ].中学数学教学参考(上旬)ꎬ２０１７(１０):５６－５９.
[３]纪定春.函数凹凸性在高考数学中的命题分析
[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２０(２８):８２－８４.[４]华东师范大学数学系.数学分析 上册[Ｍ].北
京:高等教育出版社ꎬ２００１.
[５]吕世虎ꎬ等.从高等数学看中学数学[Ｍ].北京:
科学出版社ꎬ１９９５.
[责任编辑:李㊀璟]
１７。