2004年全国各地高考数学试题精析(圆锥曲线部分)整理

2004年全国各地高考数学试题精析（圆锥曲线部分）
一、选择题
1.(2004全国I,理7文7) 椭圆x 24+y 2
=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线
与椭圆相交,一个交点为P,则2||PF
=( ) A ．
32 B ． 3 C ．72 D ．4 【答案】C .
【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识.一般地，过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长，叫做圆锥曲线的通径.
椭圆、双曲线的通径长为2b 2a .本题中|PF 1|=b 2a =1
2
,由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a =4,∴
|PF 2|=4-12=7
2
.
2.(2004全国I,理8文8)设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是（ ）
A ．[-12,1
2
] B ．[-2,2] C ．[-1,1] D ．[-4,4]
【答案】C .
【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及解析几何的基本思想. Q(-2,0),设直线l 的方程为y =k (x +2),代入抛物线方程，消去y 整理得：
k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0, 由△=(4k 2-8)2-4k 2·4k 2=64(1-k 2)≥0, 解得 -1≤k ≤1.
3.(2004全国III 、广西,理7文8)设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为y =±1
2
x,则
该双曲线的离心率e =( )
A ．5
B ． 5
C ．52
D ．5
4
【答案】C .
【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识.∵双曲线的焦点在x 轴上,
两条渐近线为y =±12x,∴b a =12,即a =2b ,∴c =a 2+b 2=5b ,故该双曲线的离心率e =c a =5
2
.
4.(2004全国IV,理8)已知椭圆的中心在原点,离心率e =1
2
,且它的一个焦点与抛物线
y 2=-4x 的焦点重合,则此椭圆方程为( ) A .x 24+y 23=1 B . x 28+y 26=1 C .x 22+y 2=1 D .x 24+y 2=1 【答案】A.
【解析】本小题主要考查椭圆、抛物线的方程与几何性质.
∵抛物线焦点为(-1,0),∴c =1,又e =12，∴a =2,∴b 2=a 2-c 2
=3,故椭圆方程为x 24+y 23
=1.
5.(2004江苏,5)若双曲线x 28-y
2b
2=1的一条准线与抛物线y 2=8x 的准线重合,则双曲线的
离心率为( )
A.2
B.22
C.4
D.42 【答案】A.
【解析】本小题主要考查双曲线、抛物线的方程与几何性质等基本知识.
∵抛物线y 2
=8x 的准线方程为x =2,双曲线x 28-y 2b 2=1的一条准线方程为x =88+b 2
,
∴2=88+b
2,解得b 2=8,∴c =a 2+b 2
=4 ∴e =c a =422
= 2.
6.(2004天津,理4文5)设P 是双曲线22
219x y a
-=上一点，双曲线的一条渐近线方程为
3x -2y =0,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|=3,则|PF 2|=( ) A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C .
【解析】本小题主要考查双曲线的概念、方程与几何性质. ∵双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0,
∴a 2=4.由双曲线的定义知||PF 1|-|PF 2||=4,∵|PF 1|=3,∴|PF 2|=7.
7.(2004广东,8)若双曲线2x 2-y 2=k (k >0)的焦点到它相对应的准线的距离是2,则k = （ ）
A.6
B. 8
C. 1
D.4 【答案】A. 【解析】本小题主要考查双曲线的方程与几何性质等基本知识.双曲线方程化为标准
方程为 x 2 k 2-y 2
k =1,
∵a 2=k 2,b 2=k ,∴c 2=3k 2
.
焦点到准线的距离2=c -a 2c ,即2=k
3k
2
,
解得k =6.
8.(2004福建,理4文4)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )
A.33
B.23
C.22
D.32 【答案】A.
【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质，以及基本量的运算.设椭圆方程为x 2a 2+y 2
b
2=1,
则过F 1且与椭圆长轴垂直的统弦AB=2b 2a .若△ABF 2是正三角形,则2c = 2b 2a ·3
2,即3
a 2-2ac -3c 2=0,(a -3c )(3a -c )=0,∴e =c a =3
3
.
9.(2004福建,理12)如图,B 地在A 地的正东方向4km 处,C 地在B 地的北偏东300方向2km 处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离比到
B 的距离远2km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头,
向B 、C 两地转运货物.经测算,从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A.(27-2)a 万元 B.5a 万元
C. (27+1)a 万元
D.(23+3)a 万元 【答案】B.
【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质，考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为y 万元,则
y=a ·MB+2a ·MC
∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km., ∴曲线PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且a =1,c =2.
过M 作双曲线的焦点B 对应的准线l 的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得MB MD =e ,即MB=2MD. ∴y = a ·2MD+ 2a ·MC=2a ·(MD+MC)≥2a ·CE.(其中CE 是点C 到准线l 的垂线段). ∵CE=GB+BH
=(c -a 2c )+BC·cos600=(2-12)+2×12=52.
∴y ≥5a (万元).
10.(2004福建,文12)如图,B 地在A 地的正东方向4km 处,C 地在B 地的北偏东300方向2km 处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头,向B 、C 两地转运货物.经测算,从M 到B 、C 两地修建公路的费用都a
万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A.(7+1)a 万元 B.(27-2)a 万元
C.27a 万元
D.( 7-1)a 万元 【答案】B. 【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质,考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为y 万元,则
y=a ·(MB+MC)
∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km., ∴曲线PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且a =1,c =2. 由双曲线第一定义,得MA -MB=2a , 即MB=MA -2, ∴y = a ·(MA+MC -2)≥a ·AC.
以直线AB 为x 轴,中点为坐标原点,建立直角坐标系,则A(-2,0),C(3,3). ∴AC=(3+2)2+(3)2=27, 故y ≥(27-2)a (万元).
11.(2004湖北,理6)已知椭圆x 216+y 2
9
=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上,若P 、
F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为( )
A ．95
B ．3
C ．977
D ．94
【答案】D.
【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质.注意！P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点时，要考虑直角顶点的确定.若P 为直角顶点，则PF 12
＋PF 22=F 1F 22,即PF 12＋
PF 22=(27)2,又PF 1＋PF 2=2a =8,∴PF 1·PF 2=18.在Rt △PF 1F 2中,P 到x 轴的距离h =1827=977
,但977>b =3,不合题意，舍去.由对称性，F 1、F 2之一为直角顶点（不妨设
F 2为直角），则PF 2=b 2a =9
4
.
12.(2004浙江,文6理4)曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线方程是( ) A.y 2=8-4x B.y 2=4x -8 C.y 2=16-4x D.y 2=4x -16 【答案】C
【解析】设所求曲线上的任意一点的坐标为P(x ,y ),其关于x =2对称的点的坐标为Q(4-x ,y ),把它代入y 2=4x 并化简,得y 2=16-4x ．
13.(2004浙江,理9) 若椭圆122
22=+b
y a x (
a ＞
b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2
被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5∶
3的两段,则此椭圆的离心率为( ) A.
1617 C.45
【答案】D.
【解析】抛物线y 2=2bx 的焦点为F(
2
b
,0),
∵F 1(－c,0),F 2(c ,0),|F 1F|：|FF 2|=5：3,∴5232
b c
b c +=-
,化简,得c =2b,即c =两边平方并化简得4a 2＝5c 2,∴22245c e a ==,∴e =
14.(2004年浙江,文11) 若椭圆122
22=+b y a x (
a ＞
b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段
F 1F 2被点
(2
b
,0)分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( )
A.1617
C.45
【答案】D
【解析】见上题．
15.(2004湖南,文4理2)如果双曲线
112
132
2=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13,那么点P 到右准线的距离是( ) A ．
5
13
B ．13
C ．5
D ．
13
5 【答案】A
【解析】考查双曲线线的基本量的运算．
解：a 5c =,由双曲线的第二定义,
c e a ===,∴d=135. 16.(2004重庆,文理10) 已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左,右焦点分别为
12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为
( )
A ．43
B ．53
C ．2
D ．7
3
【答案】A
【解析】设|PF 1|=m,|PF 2|=n,则m -n =2a, m =4n,∴m =83a ,n =2
3
a,又m -n <2c ≤m +n,即2a <2c
≤103a ,∴1<e=a c ≤5
3,所以e 的最大值为53
．
17.(2004辽宁,6)已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x ,y )满足2PA PB x ⋅=
,则点P 的轨迹是
( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线 【答案】D
【解析】∵PA =(x +2,y ),PB =(x -3,y ),∴PA ·PB =(x +2)(x -3)+y 2=x 2,化简,得y 2
=x +6. 18.(2004辽宁,9)已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ,动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的
纵坐标是
2
1
时,点P 到坐标原点的距离是( ) A ．2
6
B ．23
C ．3
D ．2
【答案】A
【解析】由题意知,P 点的轨迹是双曲线的左支,c a =1,b =1,∴双曲线的方程为
x 2-y 2=1,把y =12代入双曲线方程,得x 2=1+14=54,∴|OP|2=x 2+y 2=5
4+14=64,.
二、填空题
19.(2004全国II,理15文15)设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .
【答案】x 22
+y 2
=1.
【解析】本小题主要考查椭圆、双曲线的方程与几何性质.在双曲线2x 2-2y 2=1中a 2=21
,b 2=2
1,c 2=1,则其焦点坐标为F 1(-1,0),F 2(1,0),离心率e 1=2.所以椭圆的离心率为2
1
,∵c =1,∴a =2,则b =a 2
-c 2
=1.故椭圆的方程是x 22+y 2
=1.
20.(2004全国III 、广西,理16)设P 是曲线y 2=4(x -1)上的一个动点,则点P 到点(0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .
【答案】5.
【解析】本小题主要考查抛物线的方程与几何性质等基本知识,以及数形结合的思想方法.∵抛物线的顶点为A(1,0), p =2,∴准线方程为x =0,焦点F 坐标为(2,0), 所以点P 到点B(0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和等于|PB|+|PF|,如图, |PB|+|PF|≥|BF|,当B 、P 、F 三点共线时取得最小值,此时|BF|=(0-2)2+(1-0)2= 5.
21.(2004年天津,理14文15)如果过两点A(a ,0)和B(0,a )的直线与抛物线y =x 2-2x -3没有交点,那么实数a 的取值范围是 .
【答案】(-∞,-13
4
).
【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系等基本知识.直线AB 的方程是x +y =a ,
由⎩⎨⎧x+y=a y =x 2-2x -3
，得x 2-x -3-a =0.若直线AB 与该抛物线没有交点，则△=(-1)2-4(-3-a )=13+4a <0,故a <-13
4
22.(2004上海,文理2)设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x =－1,则它的焦点坐标为 . 【答案】(5,0)
【解析】考查抛物线的基本概念．
解：由抛物线的定义知,顶点到准线的距离等于它到焦点的距离,设焦点坐标为(m ,0),则2+1=m -2,∴m =5
23.(2004上海,理7) 在极坐标系中,点M(4,3
π
)到直线l :ρ(2c osθ+sinθ)=4的距离
d = .
【解析】考查极坐标的概念及极坐标与直角坐标的互化．化为直角坐标系下,点
M(2,到直线2x +y =4的距离问题．由点到直线的距离公式,得d
24.(2004上海,文理11) 教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 . 【答案】用代数的方法研究图形的几何性质．
【解析】考查对教材知识体系的把握,此题型不多见．
25.(2004湖南,理16) 设F 是椭圆16
72
2=+y x 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点P i (i =1,2,3,…),使|FP 1|,|FP 2|, |FP 3|,…组成公差为d 的等差数列,则d 的取值范围
为 .
【答案】11
[,0)(0,]10
-⋃
【解析】a =,c =1,1,1,
当d>0时,|FP 1|＝－1,|FP n |＝＋1,∴d=1||||1
n FP FP n --＝21n -,∵n ≥21,∴
1010d <≤,同理,当d ＜0时,1010
d -≤<．故d ∈11
[,0)(0,]1010-⋃．
26.(2004湖南,文15) F 1,F 2是椭圆C ：14
82
2=+x x 的焦点,在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为__________.
【答案】2
【解析】a =,2c =,e =
,设P 00(,)x y ,则|PF 1|=0,
|PF 2|= 0x , ∵PF 1⊥PF 2,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2
,
即(0)2＋(-0)2
=16,解得0x =0,故在椭圆上存在两点即短轴的两
顶点使PF 1⊥PF 2．
27.(2004重庆,理16) 对任意实数k,直线：y k x b =+与
椭圆：
2cos (02)14sin x y θ
θπθ⎧=⎪≤<⎨
=+⎪⎩
恒有公共点,则b 取值范围是 . 【答案】[-1,3]
【解析】∵直线y kx b =+过定点(0,b ),所以对任意的实数k,它与椭圆
2
(1)16y -+=1恒有公共点的充要条件是(0,b )在椭圆上或其内部,∴
2
(1)116
b -+≤,解得13k -≤≤. 28.(2004北京春,理文14)若直线mx+ ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,则m,n 满足的
关系式为_______;以(m,n )为点P 的坐标,过点P 的一条直线与椭圆x 27+y 2
3
=1的公共点有
____个.
【答案】0<m 2+n 2<3,2.
【解析】考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系.处理直线与曲线的位置关系的一般方法是方程思想:由直线方程与曲线方程联立方程组,通过判别式△确定解的个数(交点个数),而直线与圆可以用圆心到直线距离与半径的大小关系进行判定.另外,要注意数形结合思想的应用,比如直线过定点时,要考虑定点与曲线的位置关系.
∵直线mx+ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,∴3
m 2+n
2>3,解得0<m 2+n 2<3.
∴m 27+n 23< m 2
3+n
23
<1,即点P (m ,n )在椭圆内部,故过P 的直线必与椭圆有两个交点. 29.(2004安徽春,理13)抛物线y 2=6x 的准线方程为 .
【答案】x =-3
2
.
【解析】考查抛物线的几何性质.抛物线y 2=2px (p >0)的准线方程为x =-p
2
.
30.(2004上海春,4)过抛物线y 2
=4x 的焦点F 作垂直于x 轴的直线,交抛物线于A 、B 两点,则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________. 【答案】(x -1)2+y 2=4.
【解析】本小题主要考查抛物线的概念与几何性质,圆的概念与方程等基础知识,以及运算能力.解题中要注意一些特殊结论的应用,对于抛物线而言,过焦点垂直于抛
物线对称轴的弦叫做抛 物线的通径,其长度等于2p .
抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),因为AB 为抛物线的通径,所以AB ＝4,即圆的半径为2,故圆的方程是(x -1)2+y 2=4.
31.(2004上海春,10)若平移椭圆4(x +3)2+9y 2=36,使平移后的椭圆中心在第一象限,且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点,则平移后的椭圆方程是______.
【答案】(x -3)29
+(y -2)2
4=1.
【解析】本小题主要考查椭圆的性质、平移变换等基础知识,以及数形结合的能力.椭圆方程可化为(x +3)29
+y 2
4=1,因此椭圆的长半轴长为3,短半轴长为2.移后使椭圆与x 轴、
y 轴分别只有一个交点,即长轴的左项点在y 轴上,下顶点在x 轴上,又椭圆中心在第一象
限,故中心坐标为(3,2),此时椭圆方程为(x -3)29
+(y -2)2
4=1.
三、解答题
32.(2004全国I,理21文22)设双曲线C ：x 2a
2-y 2
=1(a >0)与直线l:x+y =1相交于两个不同
的点A 、B.
(I)求双曲线C 的离心率e 的取值范围; (II)设直线l 与y 轴的交点为P,且5.12
PA PB =
求a 的值. 【解析】本题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.
解：(I)由C 与l 相交于两个不同的点,故知方程组
22
21,
1.x y a
x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩
有两个不同的实数解.消去y 并整理得
(1-a 2)x 2+2a 2x-2a 2=0. ①
24
22
10.48(1)0.0 1.
a a a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩<<≠所以解得 双曲线的离心率
01,e a a e e ==
<<≠∴>
≠
).e +∞ 即离心率
（II ）设1122(,),(,),(0,1)A x y B x y P
1122125,
125
(,1)(,1).12
5.12
PA PB x y x y x x =∴-=-=
由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1-a 2≠0,
2
22
2
222
222
172.12152.1212289
,,60117
0,.
13
a x a a x a a x a a a =--=---=->=所以消去得由所以
33.(2004全国II,理21文22)给定抛物线C ：y 2=4x ,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.
(I)设l 的斜率为1,求OA 与OB 的夹角的大小；
(II)设AF FB λ=,若λ∈[4,9],求l 在y 轴上截距的变化范围. 【解析】本题主要考查抛物线的性质,直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力,
解：(I)C 的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为y =x -1. 将y =x -1代入方程y 2=4x ,并整理得
x 2-6x +1=0.
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有
x 1+x 2
=6,x 1x 2=1.
∴11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+
12122()1 3.x x x x =-++=-
||||OA OB =
∴cos(,)||||
OA OB OA OB OA OB ⋅==⋅
故OA 与OB 夹角的大小为π-arccos
314
41
. (II)由题设FB AF =λ
得
(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1), 即⎩⎨⎧x 2-1=λ(1-x 1)， ①y 2=-λy 1， ② 由②得y 22=λ2y 12,
∵y 12=4x 1, y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1, ③ 联立①、③解得x 2=λ,依题意有λ>0, ∴B(λ,2λ),或(λ,-2λ).
故直线l 的方程为
(λ-1)y =2λ(x -1)或(λ-1)=-2λ(x -1).
当λ∈[4,9]时,直线l 在y 轴上的截距为2λλ-1或-2λ
λ-1
.
由 2λλ-1=2λλ+1+2λ-1,可知
2λλ-1在[4,9]
上是递减的,
∴
3443,,4334
≤≤-≤≤- 直线l 在y 轴上截距的变化范围为
4334[,][,].3443
-- 34.(2004全国III 、广西,理21文22)设椭圆2
211
x y m +=+的两个焦点是F 1(-c ,0)与
F 2(c ,0)(c >0),且椭圆上存在点P,使得直线PF 2与直线PF 2垂直. (I)求实数m 的取值范围；
(II)设L 是相应于焦点F 2的准线,直线PF 2与L 相交于点Q.若|QF 2|
|PF 2|
=2-3,求直线PF 2
的方程.
【解析】本题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力. 解:(I)由题设有m >0,c =m .设点P 的坐标为(x 0,y 0),由PF 1⊥PF 2,得
00001,y y
x c x c
⋅=--+ 化简得 x 02+y 02=m . ①
将①与22
0011
x y m +=+联立,
解得 22
20011,.m x y m m -==
由2
2
010,0, 1.m m x m m
->=≥≥得
所以m 的取值范围是m ≥1.
(II)准线L 的方程为x
=设点Q 的坐标为(x 1,y 1),则1x =
∴2120||||QF x c PF c x -
==- ② 将 0
x =
,化简得
22||||QF
m PF == 由题设
22
||
2|
|
QF PF =,得 2m 无解.
将
0x =
22||||QF m PF ==
由题设
22||
2||
QF PF =,得
2m =解得m =2.
从而00x y c ===得到PF 2
的方程2)(y x =±
35.(2004全国IV,理21文22)双曲线22
221(1,0)x y a b a b
-=>>的焦点距为2c ,直线l 过点
(a ,0)和(0,b ),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥4
5
c ,求双曲
线的离心率e 的取值范围
【解析】本题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.
解：直线l 的方程为1x y
a b
+=,即 bx+ay -ab=0.
由点到直线的距离公式,且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离
1d =
同理得到点(-1,0)到直线l 的距离
2d =
∴122.ab
s d d c =+== 由424
,,55
ab s c c c ≥≥得 即
252.c 于是得
2422,425250.e e e -+≤即
解不等式,得 25
5.4
e ≤≤
由于e >1所以e 的取值范围是
e ≤ 36.(2004江苏,21)已知椭圆的中心在原点,离心率为1
2
,一个焦点是F(-m ,0)(m 是大于0
的常数).
(I)求椭圆的方程；
(II)设Q 是椭圆上的一点,且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M .若2MQ QF =
,求直
线l 的斜率.
【解析】本题主要考查椭圆的概念、方程与性质,以及向量、定比分点坐标公式的应用,考查考生的推理能力和运算能力.求直线l 的斜率,要充分利用条件“2MQ QF =
”实施几何特征向数量 关系的转化：首先向量特征可转化为定比分点坐标问题,但要注意内、外分点两种情形的讨论；其次设直线斜率为k ,用k 、m 表示出Q 点的坐标；最后由Q 点在椭圆上,列方程即可求解. 解：(I)设所求椭圆方程为
x 2a 2+y 2
b 2
=1(a >b >0). 由已知中,得c =m , c a =1
2
,
所以a =2m , b =3m ,
故所求椭圆方程是x 24m 2+y 2
3m
2=1.
(II)设Q(x 0,y 0),直线l :y=k (x +m ), 则点M (0,km ). 当2MQ QF =
时,由于F(-m ,0),M (0,km ),由定比分点坐标公式,得 x 0=0-2m 1+2=- 2m 3, y 0=km +01+2=13
km .
又点Q 在椭圆上,∴ 4m 29 4m 2+ k 2m 2 9
3m 2=1, 解得 k=±2 6. 当2MQ QF =-
时, x 0=0+(-2)×(-m )1-2=-2m , y 0=km 1-2=-km .
于是 4m 24m 2+k 2m 23m 2=1,
解得 k=0.
故直线l 的斜率是0或±2 6.
37.(2004北京,理17)如图,过抛物线y 2=2px (p >0)上一定点P(x 0,y 0)(y 0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x 1.y 1),B(x 2,y 2). (I)求该抛物线上纵坐标为
p
2
的点到其焦点F 的距离; (II)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12
y y y +的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数.
y
P
O x
A
B
【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.
解:(I)当y =p 2时,x =p
8
.
又抛物线y 2=2px 的准线方程为x =-p 2,由抛物线定义得,所求距离为5()828
p p p
--=.
(II)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB . 由y 12=2px 1,y 02=2px 0,相减得: 101010()()2()y y y y p x x -+=-, 故10101010
2()PA y y p
k x x x x y y -=
=≠-+. 同理可得2020
2()PB p
k x x y y =
≠+, 由PA 、PB 倾斜角互补知PA PB k k =- 即
102022p p
y y y y =-++, 所以1202y y y +=-, 故
12
2y y y +=-. 设直线AB 的斜率为k AB ,
由2222y px =,2112y px =,相减得 212121()()2()y y y y p x x -+=-, 所以21122112
2()AB y y p
k x x x x y y -=
=≠-+. 将12002(0)y y y y +=->代入得
120
2AB p p
k y y y =
=-+, 所以k AB 是非零常数.
38.(2004北京,文17)如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)均在抛物线上. （I ）写出该抛物线的方程及其准线方程;
（II ）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求y 1+y 2的值
及直线AB 的斜率.
【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,
考查运用
解析几何的方法分析问题和解决问题的能力. 解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y 2=2px . ∵点P(1,2)在抛物线上, ∴22=2p ×1,得p=2.
故所求抛物线的方程是y 2=4x ,准线方程是x =－1. (II)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB ,则
1112
(1)2
PA y k x x -=
≠-,2
222(1)1PB y k x x -=≠-, ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补,
∴k PA =－k PB .
由A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)均在抛物线上,得 2114y x = （1），
2224y x = （2）
12
2212121222
111144
2(2)4
y y y y y y y y --∴
=---∴+=-+∴+=-
由(1)－(2)得直线AB 的斜率:
211221
12
441()4
AB y y k x x x x y y -===-=-≠-+.
39.(2004天津,理22文22)椭圆的中心是原点O,它的短轴长为22,相应于焦点F(c ,0)(c >0)的准线l 与x 轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若0OP OQ ⋅=
,求直线PQ 的方程；
(3)(理科做,文科不做)设AP AQ =λ
(1λ>),过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交
于另一点M ，证明FM FQ =-λ
.
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力. (1)解:由题意,可设椭圆的方程为
22
21(2
x y a a +=. 由已知得222
2,2().
a c a c c c ⎧-=⎪
⎨=-⎪⎩
,
解得2a c ==.
所以椭圆的方程为22
162
x y +=,
离心率e =.
(2)解:由(1)可得A(3,0).
设直线PQ 的方程为y =k (x -3).由方程组
22
1,6
2(3)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩ 得2
222(31)182760k x k x k +-+-=,
依题意212(23)0k ∆=->,得
k <<. 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则
2
122
1831k x x k +=+ ① 2122
276
31
k x x k -=+ ② 由直线PQ 的方程得
1122(3),(3)y k x y k x =-=-,
于是
21212(3)(3)
y y k x x =--
2
1212[3()9]k x x x x =-++. ③ ∵0OP OQ ⋅=
,∴12120x x y y +=. ④
由①②③④得5k 2=1,从而
(k =. 所以直线PQ
的方程为30x -=
或30x -=.
(3)(理科)证明: 1122(3,),(3,)AP x y AQ x y =-=-
. 由已知得方程组
121
2221122
223(3),,
1,62 1.6
2x x y y x y x y -=λ-⎧⎪=λ⎪⎪⎨+=⎪
⎪⎪+=⎪⎩ 注意λ>1,解得251
2x λ-=λ
.
因11(2,0),(,)F M x y -,故 1121(2,)((3)1,)FM x y x y =--=λ-+-
1211(,)(,)22y y -λλ-=-=-λλ.
而2221(2,)(,)2FQ x y y λ-=-=λ
,所以
FM FQ =-λ .
40.(2004广东,20)
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点
的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
【解析】本题主要考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力.
解：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点,则A(－1020,0),B(1020,0),C (0,1020). 设P(x ,y)为巨响发生点,由A 、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,
故P 在A C 的垂直平分线PO 上,PO 的方程为y =－x ,因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声,故|PB|－|PA|=340×4=1360.
由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1上,
依题意得a =680,c =1020,
∴b 2=c 2-a 2=10202-6802=5×3402,
故双曲线方程为x 26802-y 2
5×3402
=1.
用y =－x 代入上式,得x =±6805, ∵|PB|>|PA|,∴x =-6805,y =6805, 即P(-6805,6805), 故PO=68010.
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心68010 m 处.
41.(2004广东,22)设直线l 与椭圆22
12516
x y +=相交于A 、B 两点，l 又与双曲线x 2–y 2=1
相交于C 、D 两点， C 、D 三等分线段AB. 求直线l 的方程.
【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及推理运算
能力和综合解题能力. 解:首先讨论l 不与x 轴垂直时的情况,设直线l 的方程为y=kx+b ,
如图所示,l 与椭圆、双曲线的交点为A(x 1,y 1),
B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).
依题意有,3AC DB AB CD ==
, 由22,12516
y kx b x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩,得
(16+25k 2)x 2-2bkx +(25b 2-400)=0①
∴x 1+x 2=-50bk
16+25k 2
.
由⎩⎨⎧y=kx+b x 2-y 2=1
,得 (1-k 2)x 2-2bkx -(b 2+1)=0 ②
若k =±1,则与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故k ≠±1.
∴x 3+x 4=2bk
1-k 2,
由AC DB =
⇒x 3-x 1=x 2-x 4⇒
x 1+x 2=x 3+x 4
⇒-50bk 16+25k 2=2bk 1-k 2
⇒bk=0⇒k =0或b=0.
(i)当k=0时,由①得x 1,2=±5
416-b 2,
由②得x 3,4=±b 2+1, 由3AB CD =
⇒x 2-x 1=3(x 4-x 3),即 10416-b 2=6b 2+1⇒b =±16
13
, 故l 的方程为y =±16
13
.
(ii)当b =0时,由①得x 1,2=±20
16+25k 2
,
由②得x 3,4=±1
1-k 2
,
由3AB CD =
⇒x 2-x 1=3(x 4-x 3),即
4016+25k 2=61-k
2⇒k =±16
25, 故l 的方程为y =±16
25
x .
再讨论l 与x 轴垂直的情况.
设直线l 的方程为x =c ,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，
y 1,2=±4
5
25-c 2,y 3,4=±c 2-1,
由|AB
|=3|CD |⇒|y 2-y 1|=3|y 4-y 3|, 即8525-c 2=6c 2-1⇒c =±25241241
, 故l 的方程为x =±25241
241
.
综上所述,故l 的方程为y =±1613、y =±1625x 和x =±25241
241
.
42.(2004福建,理22)如图,P 是抛物线C ：y =1
2
x 2上一点,直线l 过点P 且与抛物线C 交
于另一点Q ．
(I)若直线l 与过点P 的切线垂直,求线段PQ 中点M 的轨迹方程； (II)若直线l 不过原点且与x 轴交于点S,与y 轴交于点T,试求
|ST||SP|+|ST||SQ|的取值范围． 【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力. 解：(I)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),M(x 0,y 0),依题意x 1≠0,y 1>0,y 2>0.
由y =1
2x 2, ①
得y´=x .
∴过点P 的切线的斜率k 切=x 1,
∴直线l 的斜率k l =-1 k 切=-1
x 1
,
直线l 的方程为
y -12x 12=-1
x 1
(x -x 1). ② 方法1：
联立①②消去y ,得
x 2+2
x 1
x -x 12-2=0.
∵M 为PQ 的中点，
∴⎩
⎨⎧x 0=x 1+x 22=-1x 1
y 0=12x 12-1
x 1
(x 0-x 1),
消去x 1,得y 0=x 02+1
2x 0
2+1(x 0≠0),
∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+
1
2x 2
+1(x ≠0). 方法2：
由y 1=12x 12, y 2=12x 22,x 0=x 1+x 2
2,得
y 1-y 2=12x 12-12x 22=1
2(x 1+x 2)(x 1-x 2)=x 0(x 1-x 2),
则x 0=y 1-y 2x 1-x 2
=k l =-1x 1,
∴x 1=-1x 0
,
将上式代入②并整理,得
y 0=x 02+1
2x 0
2+1(x 0≠0),
∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+1
2x
2+1(x ≠0).
(II)设直线l :y =kx+b ,依题意k ≠0,b ≠0,则T(0,b ). 分别过P 、Q 作PP´⊥x 轴，QQ´⊥y 轴，垂足分别为P´、Q´.则|ST||SP|+|ST||SQ|=|OT||PP´|+|OT||QQ´|=|b ||y 1|+|b ||y 2|. 由⎩⎨⎧y =12x 2
y=kx+b
消去x ,得 y 2-2(k 2+b )y+b 2=0 ③
则⎩⎨⎧y 1+y 2=2(k 2
+b )y 1y 2=b 2, 方法1: ∴|ST||SP|+|ST||SQ|=|b |(1y 1+1y 2)≥2|b |1y 1y 2
=2|b |
1b 2
=2. ∵y 1,y 2可取一切不相等的正数， ∴|ST||SP|+|ST||SQ|的取值范围是(2,+∞). 方法2: ∴|ST||SP|+|ST||SQ|=|b |y 1+y 2y 1y 2=|b |2(k 2+b )b 2
. 当b >0时,|ST||SP|+|ST||SQ|=b ·2(k 2+b )b 2=2k 2
b
+2>2;
当b <0时，|ST||SP|+|ST||SQ|=-b ·2(k 2
+b )b 2=2(k 2+b )
-b
.
又由方程③有两个相异实根，得 △=4(k 2+b )2-4b 2=4k 2(k 2+2b )>0, 于是k 2+2b >0，即k 2>-2b ,
所以|ST||SP|+|ST||SQ|＞2(-2b +b )-b
=2.
∵当b >0时,2k 2
b
可取一切正数，
∴|ST||SP|+|ST||SQ|的取值范围是(2,+∞). 方法3：
由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =k TP ,
即 y 2-b x 2=y 1-b x 1
,
则 x 1y 2-bx 1=x 2y 1-bx 2, 即 b (x 2-x 1)=(x 2y 1-x 1y 2).
于是 b =x 2·12x 12-x 1·12x 22
x 2-x 1
=-1
2x 1x 2,
∴|ST||SP|+|ST||SQ|=|b |y 1+|b |y 2=|-12
x 1x 2|12x 12+|-12x 1x 2|
12x 2
2
=|x 2x 1|+|x 1
x 2|≥2. ∵|x 2
x 1
|可取一切不等于1的正数， ∴|ST||SP|+|ST||SQ|的取值范围是(2,+∞). 43.(2004福建,文21)如图，P 是抛物线C ：y =1
2
x 2上一点,直线l 过点P 并与抛物线C
在点P 的切线垂直,l 与抛物线C 相交于另一点Q ． (I)当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；
(II)当点P 在抛物线C 上移动时,求线段PQ 中点M 的轨迹方
程,并求点M 到x 轴的最短距离．
【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，
求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.
解：(I)把x =2代入y =1
2
x 2,得y =2,
∴点P 坐标为(2,2).
由y =1
2x 2, ①
得y´=x .
∴过点P 的切线的斜率k 切=2,
直线l 的斜率k l =-1 k 切=-1
2
,
∴直线l 的方程为
y -2=-1
2
(x -2),
即x+2y -6=0.
(II)设P(x 0,y 0),则y 0=1
2
x 02.
∵过点P 的切线斜率k 切=x 0,当x 0时不合意，
∴x 0≠0,∴直线l 的斜率k l =-1 k 切=-1
x 0
,
直线l 的方程为
y -12x 02=-1
x 0
(x -x 0). ② 方法1：
联立①②消去y ,得
x 2+2
x 0
x -x 02-2=0.
设Q(x 1,y 1),M(x ,y ), ∵M 为PQ 的中点，
∴⎩
⎨⎧x =x 0+x 12=-1x 0
y 0=-1x 0(-1x 0-x 0)+12x 02=1x 02+x 022
+1
,
消去x 0,得y =x 2+1
2x 2+1(x ≠0),就是所求轨迹方程.
由x ≠0知x 2
>0,
∴y =x 2+12x 2+1≥≥2+1.
上式等号仅当x 2=
12x 2,即x = 所以点M 到x 轴的最短距离是2+1.
方法2：
设Q(x 1,y 1),M(x ,y ),则 y 0=12x 02, y 1=12x 12,x =x 0+x 12,得 y 0-y 1=12x 02-12x 12=1
2
(x 0+x 1)(x 0-x 1)=x (x 0-x 1),
∴x =y 0-y 1x 0-x 1
=k l =-1x 0, ∴x 0=-1x
, 将上式代入②并整理,得
y =x 2+12x 2+1(x ≠0), 就是所求轨迹方程.
由x ≠0知x 2>0,
∴y =x 2+12x 2+1≥
≥2+1. 上式等号仅当x 2=12x 2,即x
= 所以点M 到x 轴的最短距离是2+1.
44.(2004湖北,理20文20)直线l :y=kx +1与双曲线C:2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点
A 、B.
（I ）求实数k 的取值范围；
（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
【解析】本题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线与方程的关系,及其综合应用能力.
解：（Ⅰ）将直线l 的方程y=kx +1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得：
22(2)220.k x kx -++=……①
依题意,直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点,故
2222220,(2)8(2)0,
20220.2
2k k k k k k k k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪⎪>-⎩-<<解得的取值范围是 （Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1), (x 2,y 2),则由①式得
1222222,22.2k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩
……② 假设存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F(c ,0).则由FA ⊥FB 得：
12121212()()0.
()()(1)(1)0.x c x c y y x c x c kx kx --+=--+++=即
整理得
221212(1)()()10.k x x k c x x c ++-+++=③
把②式及c =62
代入③式化简得
2560.k +-=
解得k =
(2,)k =-或舍去
可知k =AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 45.(2004浙江,文22理21)已知双曲线的中心在原点,右顶点为A (1,0),点P 、Q 在双曲线的右支上,点M (m ,0)到直线AP 的距离为1,
⑴若直线AP 的斜率为k ,且|k |∈
求实数m 的取值范围； ⑵当m =2+1时,△APQ 的内心恰好是点M ,求此双曲线的方程.
【解析】解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程(1),y k x =-即0.kx y k --=因为点M 到直
线AP 的距离为1,
1,=
即1m -==
∵
k ∈
12,m
≤-≤≤m ≤3或--1≤m ≤.
∴m
的取值范围是[1,1[1- (Ⅱ)可设双曲线方程为2
221(0),y x b b
-=≠由1,0),(1,0),M A
得AM =.又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠
MAP=45º,直线AM 是∠PAQ
的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1.因此,1,1-==AQ AP k k (不妨设P 在第一象限)直线PQ 方程为2x =直线AP 的方程y =x -1,∴解得P 的坐标是(将P 点坐标代入
1222
=-b y x 得
,2b =
所以所求双曲线方程为221,x y =
即221) 1.x y -= 46.(2004上海,文20) 如图, 直线y =21x 与抛物线y =8
1x 2-4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y =-5交于Q 点.
(1) 求点Q 的坐标；
(2) 当P 为抛物线上位于线段AB 下方
(含A 、B) 的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.
【解析】解:⑴解方程组212148y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
,得42x y =-⎧⎨=-⎩或84x y =⎧⎨=⎩,即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==12,直线AB 的垂直平分线方程y －1=12
(x －2).令y =－5, 得x =5,
∴Q(5,－5)
(2) 直线OQ 的方程为x +y =0, 设P(x , 18
x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离
d=
=2832x +-
, OQ =,∴S ΔOPQ ＝21OQ d ＝2583216
x x +-.∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上,
∴－4≤x
4或4<x ≤8. ∵函数y =x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增,
∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30.
47.(2004湖南文22,理21) 如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A,B 两点,点Q 是点P 关于原点的对称点.
(I)设点P 分有向线段AB 所成的比为λ,证明:()QP QA QB λ⊥- ；
(II)设直线AB 的方程是x -2y +12=0,过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线,求圆C 的方程．
【解析】解：(Ⅰ)依题意,可设直线AB 的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42=得.0442=--m kx x ①设A 、B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、122),,(x y x 则、x 2是方程①的两根.
所以 .421m x x -= 由点P(0,m)分有向线段AB 所成的比为λ,得
.,012121x x x x -==++λλλ即又点Q 是点P 关于原点的对称点,故点Q 的坐标是(0,－m),从而(0,2)QP m = . 1122(,)(,)QA QB x y m x y m λλ-=+-+ =
1212(,(1)).x x y y m λλλ--+- 12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+-
22112122
2[(1)]44x x x x m n x x =+⋅++1212242()4x x m m x x x +=+⋅ 122
442()0.4m m m x x x -+=+⋅
= 所以 ().Q P Q A Q B λ⊥- (Ⅱ)由 ⎩⎨⎧==+-,
4,01222y x y x 得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(－4,4). 由 y x =2 得 ,2
1,412x y x y ='= 所以抛物线 y x 42=在点A 处切线的斜率为 36='=x y
设圆C 的方程是222()(),x a y b r -+-= 则222291,3
(6)(9)(4)(4).b a b a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩
解之得 32a =-,232
b =,
222125(4)(4).2
r a b =++-=
所以圆C 的方程是22323125()(),222x y ++-= 即22323720.x y x y ++-+= 48.(2004重庆,文理21) 设0p >是一常数,过点(2,0)Q p 的直线与抛物线22y px =交于相异两点A 、B,以线段AB 为直经作圆H(H 为圆心).试证抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程.
【解析】解法一：由题意,直线AB 不能是水平线,故可设直线方程为：2ky x p =-.又
设(,),(,)A A B B A x y B x y ,则其坐标满足
22,2.ky x p y px =-⎧⎨=⎩
消去x 得 22240y pky p --=,
由此得22,4.A B A B
y y pk y y p +=⎧⎪⎨=-⎪⎩, 22
224()(42),()4(2)A B A B A B A B x x p k y y k p y y x x p p ⎧+=++=+⎪⎨==⎪⎩ 因此0A B A B OA OB x x y y ⋅=+= .
即OA ⊥OB ．
故O 必在圆H 的圆周上.又由题意圆心H(H H y x ,)是AB 的中点,
故2(2),2.2
A B H A B B x x x k p y y y kp +⎧==+⎪⎪⎨+⎪=
=⎪⎩, 由前已证,OH
应是圆H 的半径,且||OH =.
从而当k=0时,圆H 的半径最小,亦使圆H 的面积最小.
此时,直线AB 的方程为：x =2p.
解法二：由题意,直线AB 不能是水平线,故可设直线方程为：ky =x －2p ,
),(),,(B B A A y x B y x A ,则其坐标满足⎩
⎨⎧=-=.2,22px y p x ky ,分别消去x ,y 得 22222240,2(2)40.
y pky p x p k x p ⎧--=⎪⎨-++=⎪⎩ 故得A 、B 所在圆的方程2222(2)20.x y p k x pky +-+-=
明显地,O(0,0)满足上面方程所表示的圆上,又知A 、B 中点H 的坐标为
2(,)((2),),22
A B A B x
x y y k p kp ++=+ 故 ||OH =,而前面圆的方程可表示为
222[(2)]()x k p y pk -++-
＝22222(2)k p k p ++,
故|OH|为上面圆的半径R,从而以AB 为直径的圆必过点O(0,0).又22422||(54)R OH k k p ==++,
故当k=0时,R 2最小,从而圆的面积最小,
此时直线AB 的方程为：x =2p.
解法三：同解法一得O 必在圆H 的圆周上,又直径
4.p ≥
上式当B A x x =时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆面积最小.此时直线AB 的方程为x =2p.
49.(2004辽宁,19) 设椭圆方程为14
2
2
=+y x ,过点M(0,1)的直线l 交椭圆于点A 、B,O 是坐标原点,点P 满足1()2OP OA OB =+ ,点N 的坐标为)21,21(,当l 绕点M 旋转时,求： (1)动点P 的轨迹方程；
(2)||NP 的最小值与最大值.
【解析】考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识,以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．。