甘肃省天水市秦安县高中2013-2014学年高二上学期期末考试数学(文)试题含解析

一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的选项填涂在答题卡上）
1。

下列命题中的假命题是（ ）。

A.
0lg ,=∈∃x R x
B.
1tan ,=∈∃x R x
C.
0,3>∈∀x R x D.
02,>∈∀x R x
【答案】C
【KS5U 解析】A. 0lg ,=∈∃x R x ,
1lg 0
x x ∃==时，，所以为真命题；
B 。

1tan ,=∈∃x R x ，,tan 14
x x π
∃=
=时，所以为真命题;
C 。

0,3>∈∀x R x 为假命题； D.
02,>∈∀x R x 为真命题。

2.“0m n >>”是“方程2
21mx
ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）。

A.充分而不必要条件 B 。

必要而不充分条件
C 。

充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C
【KS5U 解析】 若方程2
21mx ny +=表示椭圆，需满足0m n >>,所以
“0m n >>”是“方程2
21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆"的充要条
件.
3.
设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的虚轴长为
2，焦距为32，则双曲线
的渐近线方程为（ ）。

A 。

x y 2±
=
B 。

x y 2
2±
= C 。

x y 2±=
D 。

x y 2
1
±=
【答案】B 【KS5U
解析】因为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的虚轴长为
2，焦距为32，
所以
22,21,b c b c a ===即所以,所以双曲线的渐近线方程为
x y 22
±
=.
4．如果方程12
1||2
2=---m y m x 表示双曲线，那么实数m 的取值范围是
（ ）。

A.
2>m
B .1<m 或2>m
C . 21<<-m
D 。

11<<-m 或2>m
【答案】D 【KS5U
解析】如果方程12
1||2
2=---m y m x 表示双曲线，则()()||120m m -->，
解得：11<<-m 或2>m 。

5．已知椭圆2222
=+y x
的两焦点为21,F F ，且B 为短轴的一个端点，则
21BF F ∆的外接圆方程为（)
A ．4)1(22
=+-y x B.
122=+y x C.
422=+y x D 。

4)1(22=-+y x
【答案】B
【KS5U 解析】易知椭圆的焦点在y 轴上，且2
222,1,1a
b c ===,所以2
1BF F ∆
为直角三角形，所以其外接圆的圆心为直角三角形斜边的中点,即原点，半径为斜边的一半，即为1，所以2
1
BF F ∆的外接圆方程为122
=+y x。

6。

已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ）.
A.
14
B ．142
C ．15
D ．152
【答案】B
【KS5U 解析】因为△ABC 的三边长
6
,5,3===c b a ，所
以
2221cos ,sin =
21515
a b c C C ab +-==-所以
所以1=sin 2ABC S ab C ∆= 7．等比数列{a n ｝中，a 2＝9,a 5＝243,则｛a n }的前4项和为（ ).
A ．81
B ．120
C ．168
D ．192
【答案】B
【KS5U 解析】3
5
2
27,3a q
q a =
==所以，所以a 1＝3,所以{a n ｝的前4项和为
3+9+27+81=120。

8. 不等式2
2
0ax bx 的解集是11
(
,)23
,则a b 的值是( ）。

A. 10 B 。

10 C. 14 D 。

14
【答案】D
【KS5U 解析】因为不等式2
2
0ax
bx 的解集是11
(
,)23
，所以0
112311223
a
b a a
,解得：12,2a b =-=-，所以a b 的值是14。

9．设x x x f ln )(=，若2)(0
='x f ，则=0
x （ ）。

A ． 2e
B ． e
C ． ln 2
2
D ．ln 2
【答案】B
【KS5U 解析】因为x x x f ln )(=,所以0
0()ln 1,()ln 12f x x f x x
x e ''=+=+==所以得。

10。

如图，1F 和2F 分别是双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的两个焦点，
A 和
B 是以O 为圆心，以1
OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2
∆是等边三角形，则双曲线
的离心率为（ ）
A 。

3 B. 5 C.13+ D 。

2
5
【答案】C
【KS5U 解析】连接1
AF ，则1
2
2,2
3
F AF
AF B π
π
∠=
∠=
,
11221213=
=,=3,22
F A F F c AF F c =,32,13c c a e -==即。

11. 设曲线2
ax y =在点(1，a )处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）
A ． 1
B ．21
C ． 2
1
-
D ．
1-
【答案】A
【KS5U 解析】因为2
ax y =,所以2y ax '=，因为曲线2
ax y =在点（1，a ）
处的切线与直线062=--y x 平行，所以(1)22f a '==,即=a 1.
12。

函数y ＝3x 2＋错误!的最小值是（ )
A ．3错误!－3
B ．－3
C ．6错误!
D ．6错误!－3 【答案】D 【
KS5U
解
析
】
y ＝3x 2＋
错误!
()()()222
222
6663132313623,31=1111
x x x x x x x ++
-≥+⨯=+=±+++当且仅当即时取等号.
二。

填空题(每小题5分，共20分）
13．抛物线2
8
1x y -=的准线方程是 ；
【答案】2=y
【KS5U 解析】把抛物线方程2
8
1x y -=转化为标准式为2
=-8y x
，
所以准线方程是2=y 。

14．函数
1
)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则m 的取值范围
为 ； 【答案】),3
1(+∞
【KS5U 解析】因为1)(23
+++=mx x x
x f ，所以2()320f x x x m '=++≥恒成立，
所以14120,3
m m ∆=-≤≥即.
15. 过点(1,1)M 作一直线与椭圆
22
194
x y +=相交于B A ,两点,若M 点恰好为弦
AB
的中点,则AB 所在直线的方程为 ；
【答案】013-94=+y x
【KS5U 解析】设 ()1
1
,A x y ，()2
2
,B x y ，代入椭圆方程，得2
21
14994x
y +=⨯，
22224994x y +=⨯,两式相减，得()()()()12121212490x x x x y y y y +-++-=，由中点坐标
公式
12
12
x x +=，
12
12
y y +=，所以1
2
12
49
y y
k x x -==-
-,所以所求直线方程为
013-94=+y x 。

16.
设实数,x y 满足20
25020
x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨
⎪-≤⎩
，则y
u x =的取值范围是 .
【答案】1,23
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【KS5U
解析】画出约束条件20
25020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
的可行域，由可行域知,目标
函数y u x
=过点()1,2时取最大值2，过点()3,1时取最小值13
，所以y u x
=的
取值范围是1,23
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
三、解答题：(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分10分）
求下列函数的导数：
在ABC ∆中,a BC = ,b AC =，b a ,是方程0
2322
=+-x x
的两根，且
1)cos(2=+B A .
（1)求角C ；
（2）求AB 的长度。

18．（本小题满分12分) 已知数列{}n
a 是一个等差数列，且2
5a
=，511a =．
（1)求数列{}n
a 的通项公式n
a ;
(2）令*
2
1()1
n
n b
n a =
∈-N ,求数列{}n b 的前n 项和n
T ．
19．(本小题满分12分)
已知函数8332)(23+++=bx ax x x f 在1x =及2x =处取得极值． (1)求a 、b 的值; (2)求()f x 的单调区间
20． (本小题满分12分）
已知直线b x y +=与抛物线px y
22
=()0>p 相交于A 、B 两点，
若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程
21．（本小题满分12分）
已知函数ax x x f +=3
2)(与c bx x g +=2
)(的图像都过点)0,2(P ，且在点p 处有相同的切线.
（1） 求实数a ，b,c
（2） 设函数)()()(x g x f x F +=，求)(x F 在[]m ,2上的最小值。

22．(本小题满分12分）
已知椭圆1C 的方程为2
214
x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、
右顶点，而2
C 的左、右顶点分别是1
C 的左、右焦点.
（1）求双曲线2
C 的方程;
（2)若直线
:l y kx =1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点,
且l 与2C
的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范
围。

甘肃省天水市秦安县高中2013-2014学年第一学期期末联合考试
高二数学（文）答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项填涂在答题卡上)
二.填空题（每小题5分，共20分) 13．2=y 。

14．),3
1(+∞. 15。

013-94=+y x 。

16.
1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
三、解答题：(本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分10分)
【解析】（1）2
1)cos(=+B A 所以2
1)cos())(cos(cos -=+-=+-=B A B A C π所以3
2π=C
（2）由题意得⎩
⎨⎧=+=322b a ab 所以
103
2cos 22)(32cos
22222=--+=-+=ππab ab b a ab b a AB 所
以
21
1n n b a =
-=21=2+1)1n -（114(+1)
n n ⋅=111()4+1n n ⋅-．………………
所以n
T =111111(1)4223
+1n n -+-+
+
-=11
(1)=
4+1n -4(+1)
n n 19．(本小题满分12分) 【解析】（1）由已知b ax x
x f 366)(2
++='
因为)(x f 在1=x 及2=x 处取得极值,所以1和2是方程0
366)(2
=++='b ax x x f 的两根故3-=a 、4=b （2）由（1）得81292)(23
++-=x x x
x f
)2)(1(612186)(2--=+-='x x x x x f
当1<x 或2>x 时，0)(>'x f ，)(x f 是增加的; 当21<<x 时，
0)(<'x f ，)(x f 是减少的。

所以，)(x f 的单调增区间为)1,(-∞和),2(+∞,)(x f 的单调减区间为)2,1(. 20．（本小题满分12分) 【解析】 设()()22
1
1
,,,y x
B y x A 由
⎩⎨⎧=+=px
y b
x y 22
得0)(222
=+--b x b p x
则 ()2
2
12
1
,2b x x b p x x =-=+ 所以pb y y p y y 2,22
1
2
1
==+ 又因为OB OA ⊥
所以12211
-=•
x y x y
即1222-==b p
b
pb 所以2
b p -=所以2212121,,3b y y b y y b x x -=-=+-=+
又因为52=∆O AB
S ，b AB 10=，
原点O 到AB 的距离2
b d =
所以由522
1
=d AB 得2±=b ，所以)0(1>±=p p
所以x y
p 2,12
==.
21．（本小题满分12分）
【解析】:(1）8,022
2,0)2(0,2)(),(3
-==⨯+⨯=a a f P x g x f 即），所以（的图像过
04,0)2(=+=c b g 即。

有相同的切线在又因为P x g x f )(),(16,4,164-===c b b 所以
(2）886)(,16842)(2,23
-+=--+=x x x F x x x x F
解不等式3
220886)(2,
≥
≤≥-+=x x x x x F
或得 故单调增区间为(]⎪⎭⎫⎢
⎣⎡+∞-∞-,3
2,2, 同理，单调减区间为⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
-32,2 因此，当16842)()
(3
2223min
--+==≤≤-m m m m F x F m 时，
当27
512
)32(3
2min
-==>F x F m ）
（时，
)
2)(2(,66319
,3126),,(),,(2
2+++=+<+<⋅--=⋅-=
+B A B A B A B A B A B A B
A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设
22222962(1)2()2(1)221337.31
A B A B k
k x x k x x k k k k k -=+++=+⋅++-+=-
.01
31315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得：
.3115132
2<>k k 或 ③
学必求其心得，业必贵于专精 由①、②、③得：.11513314122<<<<k k 或 故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----。