(好题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试卷(含答案解析)(2)

一、选择题
1．如图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以为（ ）
A ．21n a n =-
B ．21n
n a =- C ．3n
n a =
D ．13-=n n a
2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在
222+++⋅⋅⋅
中“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似地不难得到12122+
=
+
+⋅⋅⋅
（ ）
A ．12
B ．
12
- C ．21+ D ．21-+
3．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，
1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前
n 项和为n S ，则57S ＝（ ）
A ．265
B ．521
C ．1034
D ．2059
4．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）
A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B ．猜想数列
111
122334
⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=
∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=
D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方
程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=
5．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问考试成绩，老师说：你们4人中有2位优秀，2位良好，我给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看完后甲对大家说：我不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道4人的成绩 C ．丁可以知道自己的成绩 D ．丁可以知道4人的成绩 6．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ） A ．49
B ．43
C ．07
D ．01
7．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证
<”索的因应是（ ）
A ．0a b ->
B ．0a c ->
C ．()>0)(a b a c --
D ．()<0)(a b a c --
8．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了 B ．甲说对了
C ．乙说对了
D ．甲做对了
9．===⋅⋅⋅=（m 、n 均为正实数），根据以上等式，可推测m 、n 的值，则m n +等于（ ）
A ．40
B ．41
C ．42
D ．43
10．在“一带一路”的知识测试后甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲:我的成绩最高. 乙:我的成绩比丙的成绩高 丙:我的成绩不会最差
成绩公布后,三人的成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序可能为（ ） A ．甲、丙、乙 B ．乙、丙、甲 C ．甲、乙、丙
D ．丙、甲、乙
11．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：1、2、6号选手中的一位获得第一名；观众乙猜测：4、5、6号选手都不可能获得第一名；观众丙猜测：4号或5号选手得第一名；观众丁猜测：3号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
12．现有A B C D 、、、四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个教师办公室时，A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我和
A B 、去过同一个教师办公室；D 说：我去过丙办公室，我还和B 去过同一个办公室.由此可判断B 去过的教师办公室为（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．不能确定
二、填空题
13．本学期我们学习了一种求抛物线2y
x 与x 轴和直线1x =所围“曲边三角形”面积的方
法，即将区间[0,1]分割成n 个小区间，求每个小区间上矩形的面积，再求和的极限.类比上述方法，试求
222
2222
22(1)2(21)2lim 2sin 2sin 2sin 2sin cos cos cos cos 844448888n n n n n n n n n n n n
n n πππππππ
ππ→∞⎡⎤
--⎛⎫+++++++++= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
________.
14．若ABC 的三边之长分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r ，则ABC 的面积为
()
2
r a b c ++.根据类比思想可得：若四面体A BCD -的三个侧面与底面的面积分别为
1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为r ，则四面体的体积为__________.
15．把数列121n ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：
11
1351111791113
111115
172729
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
第k 行有12k -
个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(),A t s ，则()11,4A =________. 16．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式
11111+
++
中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x
+
=求得12
x =
=__________．
17．某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:
得出下面四个结论:
①甲同学的逻辑排名比乙同学的逻辑排名更靠前
②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 ③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 ④甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 则所有正确结论的序号是_________.
18．如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．则在圆内画n 条线段，将圆最多分割成______部分．
19．对于大于1的自然数m ，其三次幂可用奇数按一下方式进行“分裂”：3235,=+
3337911,413151719,.=++=+++⋅⋅⋅对此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则
m=_____. 20．已知111
()1......23f n n
=+
+++,(n ∈+N )经计算得()()35(2),42,822f f f =>>,()()7
163,322
f f >>，由此可推得一般性结论为
______________．
三、解答题
21．（1）已知0a >，0b >，求证：22a b ab
a b
+≥+； （2）已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：0a >，0b >，0c >．
22．（13725< （2）用数学归纳法证明：()()()2
*1427311n n n n n N ⨯+⨯+
++=+∈.
23．在△ABC 中，三个内角A ，B ．C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证△ABC 为等边三角形．
24．已知函数()2
f x ax bx c =++及函数
g （x ）＝﹣bx （a ，b ，c ∈R ），若a ＞b ＞c 且
a+b+c ＝0．
（1）证明：f （x ）的图象与g （x ）的图象一定有两个交点； （2）请用反证法证明：122
c a --
＜＜； 25．(I)用综合法证明:a +b +c
a ，
b ，
c 均为正实数)； (Ⅱ)已知:x ∈R ，a =x 2-1,b =4x +5,求证:a ，b 中至少有一个不小于0. 26．设0a >，0b >，且11a b a b
+=+. 证明：(1) 2a b +≥；
(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
着色的小三角形个数构成数列{}n a 的前4项，分别得出，即可得出{}n a 的通项公式． 【详解】
着色的小三角形个数构成数列{}n a 的前4项，
分别为：11a =，23a =，23333a =⨯=，23
4333a =⨯=，
因此{}n a 的通项公式可以是：13-=n n a ． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式，考查了观察分析猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．
2．C
解析：C 【分析】
本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果. 【详解】 由题意，令
12(0)
122x x +
=>+
+⋯
，即1
2x x
+
=， 即2210x x --=，
解得1x =
或1x =（舍去）
1
21
122∴+
=+
+⋅⋅⋅
，
故选：C 【点睛】 本题主要考查类比推理方法的应用，以及一元二次方程的解法，属于中档题.
3．C
解析：C 【分析】
由归纳推理及等比数列前n 项和可得：即57a 在第11组中且为第11组中的第2个数，则
01901
571010222()1034S C C =++⋯+++=，得解．
【详解】
解：将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，⋯． 分组为（1），(1,1)，(1，2，1)，(1，3，3，1)，(1，4，6，4，1)⋯ 则第n 组n 个数且第n 组n 个数之和为12n -， 设57a 在第n 组中， 则
(1)(1)
5722
n n n n -+， 解得：11n =，
即57a 在第11组中且为第11组中的第2个数，即为1
10C ，
则01901
5710
10222()1034S C C =++⋯+++=， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了归纳推理及等比数列前n 项和，属于中档题．
4．C
解析：C 【分析】
根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】
根据合情推理与演绎推理的概念，可得:
对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列
111
122334
⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=
∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；
对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系
中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
5．A
解析：A 【分析】
根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案. 【详解】
四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩，
乙、丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩，若为两良，甲也会知道自己的成绩）；
乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩； 丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩， 故选A. 【点睛】
该题是一道逻辑推理的题目，掌握此类题目的推理方法是解题的关键.
6．C
解析：C 【分析】
先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可. 【详解】
观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，
67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有
1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.
7．C
解析：C 【分析】
根据分析法的步骤以及不等式的性质求解即可. 【详解】
由a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0得b ＝－a －c ，a >0，c <0.
<
只要证22()3a c ac a ---< 即证2220a ac a c -+-> 即证()()()0a a c a c a c -++-> 即证()()0a a c b a c ---> 即证()()0a c a b -->
故求证”索的因应是()()0a c a b -->. 故选：C . 【点睛】
本题主要考查了分析法，属于中档题.
8．B
解析：B 【分析】
分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项. 【详解】
分以下三种情况讨论：
①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；
②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾； ③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾. 故选：B. 【点睛】
本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.
9．B
解析：B 【分析】
根据前面几个等式归纳出一个关于k 的等式，再令6k =可得出m 和n 的值，由此可计算出m n +的值. 【详解】
==，==
==
)2,k k N *
=≥∈，
当6k ==26135m ∴=-=，6n =，因此，41m n +=，
故选B. 【点睛】
本题考查归纳推理，解题时要根据前几个等式或不等式的结构进行归纳，考查推理能力，属于中等题.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
假设一个人预测正确，然后去推导其他两个人的真假，看是否符合题意． 【详解】
若甲正确，则乙丙错，乙比丙成绩低，丙成绩最差，矛盾；
若乙正确，则甲丙错，乙比丙高，甲不是最高，丙最差，则成绩由高到低可为乙、甲、丙；
若丙正确，则甲乙错，甲不是最高，乙比丙低，丙不是最差，排序可为丙、甲、乙． A 、B 、C 、D 中只有D 可能． 故选D ． 【点睛】
本题考查合情推理，抓住只有一个人预测正确是解题的关键，属于基础题．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
分别假设甲、乙、丙、丁猜对比赛结果，逐一判断得到答案. 【详解】
假设甲猜对比赛：则观众丁猜测也正确，矛盾 假设乙猜对比赛：3号得第一名，正确 假设丙猜对比赛：则观众丁猜测也正确，矛盾 假设丁猜对比赛：则观众甲和丙中有一人正确，矛盾 故答案选B 【点睛】
本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据已知信息：首先判断B 去过一个办公室，再确定B 去的哪一个办公室，得到答案. 【详解】
C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室⇒ B 至少去过一个办公室
A 说：我去过的教师办公室比
B 多，但没去过乙办公室⇒A 去过2个办公室，B 去过1个办公室.
B 说：我没去过丙办公室，
C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室，A 没有去过乙办公室
所以B 去的是甲办公室. 答案选A 【点睛】
本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力. 二、填空题
13．【分析】先画出的图象再根据和式的几何意义可得所求的极限【详解】关于中心对称其在上的图象如图所示：将区间分为段每段矩形面积为将区间分为段每段矩形面积为其中原式即求在上与轴和所围图形面积利用割补法易知面
解析：4
π
【分析】
先画出2
sin y x =的图象，再根据和式的几何意义可得所求的极限. 【详解】
211sin cos222y x x ==-+，关于1,42π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，其在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示：
将区间0,
4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π分为n 段，每段矩形面积为211111cos 2sin 424244k k n n n
n ππππ⎡⎤⎛⎫⋅-⨯+=
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，11k =，2，...，n ，
将区间,42
ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
分为2n 段，每段矩形面积为
2222211
1cos2sin cos 42228282888k k k n n n n n n ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅
--+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 其中21k =，...，2n ， 原式即求11cos222y x =-
+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上与x 轴和2x π
=所围图形面积，
利用割补法易知面积为1224
π
π⨯=. 故答案为：
4
π. 14．【分析】由合情推理中的类比推理由平面图形类比空间图形由二维到三维由面积到体积由圆到球即可得出结论【详解】三角形的面积类比为四面体的体积三角形的边长类比为四面体四个面的面积内切圆半径类比为内切球的半径 解析：
()
12343
r S S S S +++
【分析】
由合情推理中的类比推理，由平面图形类比空间图形，由二维到三维，由面积到体积，由圆到球，即可得出结论. 【详解】
三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中1
2类比为三维图形中的13
， 得V 四面体ABCD ＝1
3
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . 故答案为：()
12343
r S S S S +++
【点睛】
本题主要考查了合情推理中的类比推理，考查了推理，归纳能力，属于容易题．
15．【分析】第行有个数知每行数的个数成等比数列要求先要求出就必须求出前行一共出现了多少个数根据等比数列的求和公式可求而由可知每一行数的分母成等差数列可求出令即可求出【详解】由第行有个数可知每一行数的个数 解析：
12053
【分析】
第k 行有12k -个数知每行数的个数成等比数列，要求(),A t s ，先要求出(),1A t ，就必须
求出前1t -行一共出现了多少个数，根据等比数列的求和公式可求，而由1
21
n -可知，每一行数的分母成等差数列，可求出(),A t s ，令11t =，4s =即可求出()11,4A .
【详解】
由第k 行有12k -个数，可知每一行数的个数成等比数列，首项是1，公比是2， 所以，前1t -行共有
()111122112
t t --⨯-=--个数，
所以，第t 行第一个数为()111
,1221
21
t t A t -=
=⋅--， ()()11,2121223t t
A t s s s ∴=
=-+-+-，因此，()111111,422432053A ==+⨯-. 故答案为：1
2053
. 【点睛】
本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数阵的应用，同时要找出数阵的规律，考查推理能力，属于中等题.
16．【分析】先换元令平方可得方程解方程即可得到结果【详解】令则两边平方得得即解得：或（舍去）本题正确结果：【点睛】本题考查新定义运算的问题关键是读懂已知条件所给的方程的形式从而可利用换元法来进行求解
【分析】
()0m m =>，平方可得方程23m m +=，解方程即可得到结果. 【详解】
()0m m =>
，则两边平方得，得23m += 即23m m +=
，解得：12m =+
或12
m =（舍去）
本题正确结果：12
+ 【点睛】
本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.
17．①③【解析】【分析】通过对两图形的阅读和理解分别比较甲乙丙的纵横坐标可以分析出来甲乙丙的类比情况从而可得结论【详解】对于①由左图可知甲同学的逻辑排名比乙同学的逻辑排名更靠前故①正确；对于②乙同学的
总
解析：①③ 【解析】 【分析】
通过对两图形的阅读和理解，分别比较甲、乙、丙的纵横坐标，可以分析出来甲、乙、丙的类比情况，从而可得结论. 【详解】
对于①,由左图可知甲同学的逻辑排名比乙同学的逻辑排名更靠前，故①正确； 对于②，乙同学的总排名比较靠前，但是他的逻辑思维排名比较靠后，说明他的阅读表达排名比逻辑排名成绩更靠前，故②错误；
对于③，比较两个图形中甲乙丙的横坐标，可知甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲、丙、乙，甲同学是靠前，故③正确；
对于④，甲同学的逻辑思维能力比较靠前，但是总成绩比较靠后，说明阅读表达能力排名比逻辑思维能力更靠后，故④错误，故答案为①③. 【点睛】
本题主要考查阅读理解能力、逻辑思维能力以及数形结合思想的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
18．【解析】【分析】设条直线将圆最多分成的部分数组成数列利用归纳推理可得利用累加法可得结果【详解】设条直线将圆最多分成的部分数组成数列则归纳可得以上式子相加整理得故答案为【点睛】归纳推理的一般步骤:一通
解析：()11+2
n n +
【解析】 【分析】
设n 条直线将圆最多分成的部分数,组成数列{}n a ，利用归纳推理可得1n n a a n -=+，利用累加法可得结果. 【详解】
设n 条直线将圆最多分成的部分数组成数列{}n a ， 则11,11n a ==+,212,2n a a ==+,
32433,3,4,4,...n a a n a a ==+==+,
归纳可得，
1n n a a n -=+,
以上式子相加整理得，
()11123 (12)
n n n a n +=+++++=+
，故答案为()112
n n ++
.
【点睛】
归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质
中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
19．45【解析】【分析】归纳可知的三次方就是个连续奇数相加且从2开始这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现由此规律即可找出的分裂数中有一个是2017时的值【详解】由归纳可得从到正好用去从3开始的连续
解析：45 【解析】 【分析】
归纳可知，n 的三次方就是n 个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出3m 的“分裂数”中有一个是2017时n 的值. 【详解】
由3
3
3
235,37911,413151719,.=+=++=+++⋅⋅⋅， 归纳可得，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数共
()()21234 (2)
m m m +-++++=
个，
2017是从3开始的第1008个奇数，
当44m =时，32到344，用去从3开始的连续奇数共
()()4424498192
+-=个，
当45m =时，32到345，用去从3开始的连续奇数共
()()45245110092
+-=个，
所以3m 的“分裂数”中有一个是2017，则45m =，故答为45. 【点睛】
本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
20．【解析】分析：根据已知中的等式：我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系归纳推断后即可得到答案详解：观察已知中等式：得f （4）＞2f （16）＞3…则f （2n ）≥（n ∈N*）故答案为：f （2n ）
解析：2
(2)2
n
n f +≥
【解析】
分析：根据已知中的等式：()()()352,42,822f f f =
>>,()()7
163,322
f f >>我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案． 详解：观察已知中等式：
得 ()322
f =
， f （4）＞2，
()582
f >
， f （16）＞3， …， 则f （2n ）≥
2
2
n +（n ∈N *） 故答案为：f （2n ）≥
2
2
n +（n ∈N *） 点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】
试题分析：（1）利用分析法，
0,0a b >>，要证
22a b ab
a b
+≥+，只要证()
2
4a b ab +≥，只要证()2
40a b ab +-≥，只需证明()2
0a b -≥即可，该式显然成
立，从而可得结论；(2)本题是一个全部性问题,要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法,假设,,a b c ,不全是正数,这时需要逐个讨论,,a b c 不是正数的情形,但注意到条件的特点(任意交换,,a b c 的位置不改变命题的条件），我们只要讨论其中一个数〔例如a ，其他两个数〔例如,b c 〕与这种情形类似. 试题 （1）证明：
0,0a b >>，要证
22a b ab a b
+≥+，只要证()2
4a b ab +≥，只要证()
2
40a b ab +-≥，即证2220a ab b -+≥，而()2
2220a ab b a b -+=-≥恒成立，故
22a b ab
a b
+≥+成立. （2）假设,,a b c 不全是正数，即其至少有一个不是正数，不妨先设0a ≤，下面分0a =和
0a <两种情况讨论，如果0a =，则0abc =与0abc >矛盾，0a ∴=不可能，如果0a <，那么由0abc >可得，0bc <，又
0,0a b c b c a ++>∴+>->，于是
()0ab bc ca a b c bc ++=++<，这和已知0ab bc ca ++>相矛盾，因此，0a <也不可
能，综上所述，0a >，同理可证0,0b c >>，所以原命题成立.
【方法点睛】本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词. 22．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】
（1）利用分析法逐步平方得出2125<成立，可证明出原不等式成立； （2）先验证1n =时等式成立，然后假设当(
)n k k N
*
=∈时等式成立，可得出
()()2
1427311k k k k ⨯+⨯+
++=+，然后再等式两边同时加上()()134k k ++，并在
所得等式右边提公因式，化简后可得出所证等式在1n k =+时成立，由归纳原理得知所证
不等式成立. 【详解】
（1<(2
2
<成立，
即证明1020+<5<成立，即证明2125<成立，
因为2125<+<
（2）①当1n =时，314n +=，等式左边144=⨯=，右边2124=⨯=，等式成立； ②设当n k =时，等式成立，即()()2
1427311k k k k ⨯+⨯+++=+，
则当1n k =+时，
()()()()()()
2
1427310311341134k k k k k k k k ⨯+⨯+⨯+
+++++=++++()()()()2
2134111k k k k k k =++++=+++，
即1n k =+成立， 综上所述，()()2
1427311n n n n ⨯+⨯+++=+．
【点睛】
本题考查分析法与数学归纳法证明不等式以及等式问题，证明时要熟悉这两种方法证明的基本步骤与原理，考查逻辑推理能力，属于中等题. 23．见解析 【分析】
由等差数列和等比数列性质，分别可得2B=A+C ，2b ac =，再利用余弦定理可证结论. 【详解】
由题，A ，B ，C 成等差数列，由2B=A+C ，又因为A,B,C 为三角形三内角，
3
A B C B π
π++=∴=
由a ，b ，c 成等比数列，可得2b ac =
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-化简可得a c = 又因为3
B π
=
所以三角形为等边三角形 【点睛】
本题考查了等差等比数列的性质，以及余弦定理解三角形，熟悉公式是解题的关键，属于中档题.
24．（1）见解析；（2）见解析 【分析】
(1)根据判别式大于零论证结果，(2)先假设，再根据假设推出矛盾，否定假设即得结果. 【详解】
（1）证明由2ax bx c bx ++=-得220ax bx c ++= ① ∵,0a b c a b c 且>>++=,∴ ()0,a b a c >=-+
∴()2
2
2
21344444024b ac a c ac a c a ⎡⎤
⎛⎫∆=-=+-=++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
∴①有两个不相等的实数根，即两函数图像一定由两个交点, （2）证明：若结论不成立，则c a ≤-2或c a ≥-1
2
（I ）由
c
a
≤-2，结合（1）a>0，得c≤-2a ，即a+c≤-a ，∴-b≤-a ∴a≤b 这与条件中a>b 矛盾
（II ）再由
c a ≥-1
2
，得2c≥-a ，即c≥-(a+c)=b ∴b≤c 这与条件中b>c 矛盾 故假设不成立，原不等式成立 【点睛】
本题考查反证法与函数与方程，考查基本分析论证能力，属中档题. 25． (Ⅰ)见解析；(Ⅱ) 见解析. 【解析】
试题分析：(Ⅰ)根据x y +≥(,)x y R *
∈，当且仅当x y =时等号成立，累加即可得
证；(Ⅱ)用反证法，假设0,0a b <<则0a b +<，又
()2
221454420a b x x x x x +=-++=++=+≥，这与假设所得的结论矛盾，故假设不
成立，命题得证. 试题
(Ⅰ)∵,,a b c 均为正实数
∴a b +≥
当且仅当a b =时等号成立)， ①
b c +≥当且仅当b c =时等号成立)， ②
c a +≥当且仅当a=c 时等号成立). ③
∴①+②+③
，得()()()a b b c c a +++++≥
2()a b c ++≥
∴
a b c ++≥a b c ==时取等号. ∴
a b c ++≥
(Ⅱ)假设a ，b 都小于0，即0a <，0b <，则0a b +<.
又∵222
14544(2)0a b x x x x x +=-++=++=+≥
∴这与假设所得0a b +<矛盾，故假设不成立. ∴a ，b 中至少有一个不小于O.
点睛：（1）对于含有“都是”、“都不是”、“至多”、“至少”形式的命题，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，证明时可考虑使用反证法． （2）用反证法证明命题的基本步骤：
①反设，设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏；
②归谬，从反设出发，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论； ③否定反设，从而得出原命题结论成立． 26．(1)见解析. (2)见解析. 【详解】
试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.
(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题 由11a b a b a b ab
++=
+=,0,0a b >>,得1ab =.
(1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥=,即2a b +≥ (2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,
则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.。