不等式的自动发现原理及其实现

演 示 了 ｌ ０ ０程 序 丰 富 的指 令 集 及 使 用 方 法 ，指 出 ａ ｌ ０ ０程 序 不 仅 可 以 自动 发 现 不 等 １ ２ ｇ２ １
式 ， 而 且 还 可 以完 成 指 定 的 任 务 ；提 出 了 不 等 式 磨 光 器 的概 念 ，并 设 计 了 若 干 实 用 的磨 光 器 ，从 而 为 自动 加 强 不 等 式 提 供 了一 个 有 用 的 途 径 ． 关 键 词 ：不 等 式 自动 发 现 ；半 正 定 ；差 分 代 换 ；随 机 数 验 证 程 序
● 对两 个 列 表 中的元 素 逐一 相 乘 ；
● 对 列 表 中 的元 素 取循 环 和或 取 循环 积 ；
以 上运 算 为 数 据 的基 本运 算 ） ； ● 对 上述 基 本运 算 的结果 进 行 收集 ，得 到 一个 表 达 式集 合 ； ● 对 表 达 式集 中 的元 素乘 以适 当 系数 （ 目的是 希 望得 到 的 表达 式 具 有零 点 （ ， ， １１
成 海量 信 息 ，所 以输 出 的结 果 常 常 出人 预料 ，其 中有 许 多 我们 不 曾见 过 的新 面孔 ． 解 决 了发 现 不 等式 的 两个 难 题 ，就 可 以编 写 自动 发 现不 等式 程 序 了． 有 了程 序 ，
只需 给 程 序 提供 一 些 最 基本 的原 始材 料 ，就 可 以 自动 产 生 不 等式 了． 由于 自动发 现不
…
，
１ ） 进 行 两 两 比较 ，或 者 与 给定 的表 达 式 进 行 比较 ，并 用 随机 数 验证 程 ）后
序 进行 非 负 性 测试 ； ● 收 集并 输 出所 有 的非 负 式 ． 按 上 述 步 骤得 到 的表 达式 类 型是 十 分丰 富 的 ，因 为 它 的排列 组合 情形 非 常 多 ，构
（Ｉ ４ （Ｐ ．０Ｃ Ｉ ， ２４１ＧＩｚ １Ｏ ｛ Ｉ） ： Ｕ ２４ Ｉ ｚ ． Ｉ ． ．０（ｌ ．
１ 不 等 式 自动 发 现 原 理
１１ 不 等 式 自动 发 现 的策 略 和 算 法 ．
不 等 式 自动 发 现 需 要 解 决 两 个 主 要 问题 ：首 先 要 解 决 所 给 表 达 式 非 负性 测 试 问
题 ． 由 于用 随机 数 的 方 法 成 功 解 决 了不 等 式 中变 元 的 自动 赋 值 问题 ，这 使 得 非 负 一
收 稿 日期 ：２ Ｉ 一 ２ ３ ０ （ Ｉ —０ ）
作 者 简 介 ：刘 保 乾 （９ ２ ） Ｉ６ 一 ，男 ， 陕 西 凤 翔 人 ，计 算 机 本 科 ． 研 究 方 向 ：多 项 式 不 等 式 与机 器 证 明
等式 程 序 需 要 调 用 ａ Ｉ ０ ９程 序 的诸 多功 能 ，故 自动 发 现不 等 式 程 序 作 为 ａｌ ０ ９程 ｇ２ ０ ｇ２ ０ 序 的一 个 模 块 使 用． 为 了 与文 献 ［ ］ 的程序 相 区别 ，增 加 了 自动发 现 不 等式 功 能 的 ６中
ａ ｌ ０ ９程 序 现 升级 为 ａ ｌ ０ ０ 显 然 ，ａ ｌ ０ ０除具 有 ａ ２ ０ ｇ ２０ ｇ２ １． ｇ２ ｌ ０ ９程 序 的 全 部 功 能 外 ，
１ ． 表 达 式构 造 命 令 ．１ ２ ａ Ｉ ０ ０程 序 表 达式 构 造 命 令 主要 包 括 ：一 是 表 内运 算 ，即完 成 列 表 内元 素之 间 ２ １ 的各 种 运 算 ；二是 表 间运算 ，即 完成 列表 之 间元 素 的各 种 运算 ；三 是 盲 运算 ，这 种 运 算是 对 数 据 不作 鉴 别 直 接运 算 ，不作 人 为 干预 ，任 由机 器 按数 据 的基本 运 算 去 自由发
通 过 观察 已知 不 等式 可 知 ，不 等式 无 非是 一些 材 料 （ 或 者几 何 量 等 ） 过 运算 复 数 通
合 而 成 ，这 些 运 算包 括 常 见 的各 种 运算 ．选 择运 算 的 方案 和 计划 构 成 自动发 现 不等 式 的策 略． 以下 方案 或 策 略其 实 也是 自动发 现 不等 式程 序 的算 法 ：
中 图分 类 号 ：（ ２ ． ）ｌ２３ 文 献 标 识 码 ：＾
Ｏ 引 言
我 们 知 道 ，传 统 的 不 等式 证 明器 （ 如 ）ｅ ａ等 软件 【 只能 对 给 定 的不 等 式进 行 判 ｔｍ ｔ Ｉ ） 定 ，即要 事 先 写 出 不 等式 ，才 能 交 给计 算 机 去 验证 （ 献 ［ ］ 的不 等 式 就 是 通过 这 种 文 ２中 方 式 发 现 的 ） 而 事 先 该 写 什 么 ，采 用 什 么 形 式 ，涉 及 什 么 量 等 ，在 人 们 脑 子 里是 模 ． 糊 的 ，需 要 经 验 和 实 际研 究 来 明确 ，要 想得 到 经 验 以外 的东 西 是 十分 困难 的 ． 为 了解 决 这 个 问题 ，人 们 寄 希 望 于不 等式 的 自动发 现 ． 不 等式 的 自动 发 现 是 自动 推 理 领域 的
Ｉｘ ｈ ：完 成 对 ２个 列 表 中 的元 素相 除 ｏ ｂｃ ｕ ， ｘ ｌｈｊ ｈＩ ｐ ：完 成 对 ２个 列 表 中元 素 求 几何 平 均 ； ｊ ｙｌｑ ：完 成 对 ２个 列 表 中元 素 循 环 求 和 ； ｓ ｈ ｈ ｙｌｄ ｓ ：完 成对 ２个 列 表 中元 素循 环 求 积 ； ｈ ｓｑ ： 分 别 从 ３个 列表 中各 取 １ ｂｈ 个元 素求 和 ；
文章 编 号 ： Ｉ １ ４ ｌ （０ Ｉ ０ ０ ０ — ９ （ — ２ ７ ２ ｌ ） ２— ０ ３ ０ 砌
不 等 式 的 自动 发 现 原 理 及 其 实 现
刘 保 乾
（ 藏 自治 区 组 织 编 制 信 息 管 理 中 ， 西 １。西 藏 ２ 拉萨 ８（）（ ５Ｍ（） ））
摘
要 ：提 出 了 自动 发 现 不 等 式 的思 路 、算 法 并 编 写 了 应 用 程 序 ａ ｌ ０ ０；通 过 大 量 的实 例 ｇ２ ｌ
虽 然 可 以 让 机 器 对 提 供 的初 始 材 料 进 行 盲 运 算 ，但 这 样 做 会 产 生 大 量 的无 用 数 据 ，导致 不 等 式 发 现 效 率 下 降 ，而 且 在 许 多 情况 下 得 不 到 所 要 求 的 表 达式 ． 为 了饵 决 这 个 问题 ，需 要 对 数 据 进 行 科 学合 理 的组 织 ．可 以根 据 表 达式 的性 质 ，结 合 表 达 式 构 造 命 令 进 行 模 块 化 组 织 和管 理 ． 在 △／ Ｃ中 ，约 定 用 Ｔ ｐ ｄ ｇ表 示 基 本 表 达 式 集 合 Ｉ Ｂ ＿ —ｅ
２ ０１ １年 ５ 月
Ｍ ａ ２ Ｉ ｙ ０ Ｉ
．
汕 头 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｉ ｕ ｎ ｌｏ ｈ ｎ ｏ ｉｅ ｓｔ Ｎ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＳ ａ ｔ ｕ Ｕｎｖ ｒ ｉ ｙ（ ａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ）
第２ ６卷
第 ２期
Ｖ ．６ ２ Ｎ０ ２
…； Ｉ ｗｓ ｒ ７＠ Ｉ ３ （ ｆ ｌ： ｉ ｈ ９８ ６ ．Ｏ Ｔ ： Ｉ
４
汕 头 大学 学 报 （ 自然 科学 版 ）
第 ２ 卷 ６
性 测试 得 以轻松 实现 ． 而且 通 过 随机 数验 证 方式 测试 非 负 性 ，原 则 上来 说 对表 达 式 的 形 式 没 有 限 制 ，这 使 得 随机 数 方法 的实 用 性 增 加 了． 其 次 要 解 决 自动 构 造 表 达 式 问 题 ，这 才是 关 键 和 难 点．
如果 取 为 ｒ ，则 表 达式 由高 、角 平分 线 、中线 、类 似 中线 和 旁 切 圆半径 构 成 ；
一大难题 ，目前 已有一些源自应用程序 ，如文献 ［ ］ ３ 中的 Ｉ Ｓ Ｏ ＥＩ ｌ程序．笔者在文献 ｝Ｃ Ｖ Ｉ ｌ Ｉ Ｅ
［］ ４ 中应 用 随机 数 验 证 程 序 ｉ 对 不 等 式 的 自动 发 现 作 了初 步 尝试 ． 本 文 另 辟 蹊径 ，对 ｓ ］
不 等 式 自动发 现 的算 法 和 程 序作 了新 的探讨 ，实 现 了不 等式 的 自动发 现 和 自动 加强 ．
第 ２期
刘 保 乾 ：不 等式 的 自动发 现 原 理 及其 实 现
５
达 式 ．它 的每 一 步 运 算 是 受 支 配 的 ，最 大优 点 是 产 生 的数据 比较精 简 ，无 意 义 的数 据 少 ． 五是 特 定 方 案 ． 与盲 运 算 相 反 ，特定 方 案 是 根 据 已知 结 果 的指 引 ，按 预 定 的表 达 式 而设 计 的运 算 形 式 ．这 种 运算 类 型 的所 有操 作 过 程 都 向 预设 的 目标 靠 拢 ，针 对 性极 强 ，输 出结 果 的形 式 也 是 可 以预料 的． 根据 以上 运 算 目标 ，可 以 设计 出丰 富且 功 能 各 异 的 表达 式 构 造 命 令 ．下 面介 绍 几 个 主 要命 令 ． Ｉｘｕ ：完 成 对 ２个 列 表 中 的元 素相 乘 ； ｂｃ ｎ
ｓ ｃＪ ｔ１ ．分别 从 ３个 列 表 中各取 １ 元 素求 积 ； ，Ｉ 个 ｓ ｈ ：从 ２个 列 表 中各 取 １个 元素 求 和 再 与 第 ３个 列 表 中 的元 素 取 差 ： ｂｅ
ｙｃ ：完 成 对 列 表 中的 元 素取 乘 方 ． ｓ｜ １ ． 表 达 式 构 造 材 料 的 组 织 ．２ ２
●
● ●
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对 材 料取 和 ，取 积 ，取乘 方 ，取 比值 ，取循 环 和 等运 算 ，构 成 一个 列 表 ；
对 两 个 列 表 中 的元 素逐 一 相 除 ； 对 同一 列 表进 行 自乘或 自除 ；
对 列 表 中的元 素 两两 取 和 ，取 积 ，取几 何 平 均或 乘 方 等 ； 对 列 表 中的元 素 进行 其 他 可 能 合 理 的运 算 ， 以涵 盖 各 种 可 能 的形 式 （ 妨 称 不
挥（ 可能会产生无意义的表达式 ，但对条件不等式却有用） ，不 同形式和不 同次数的数 据 混 在 一 起 ，形 成 一个 数 目庞 大 的原 始数 据 库 ，然 后让 机 器进 行 过 滤 和归 类 ．盲 运算
的最 大 特 点是 输 出结果 对 用 户 来说 是不 透 明的 ，常会 有 一些 出人 预 料 的结 果 ，缺 点是 占据 系 统 资源 大 ，花 费 时 间多 ；四是选 择 运算 ，即选 择基 本 运 算 中的特 定 运算 构 造 表
以下 约 定 ：ＡＡ／ ／ Ｃ三 边 为 ， ， ，半 周 长 为 ，角 平 分 线 、中线 、高 、旁 切 圆
半径分别为 叫 ， 仇 ，ｍ ，以． ｈ ，ｈ 和 ｌ，ｒ， ， 内切 圆 和外 接 圆半 径 分 、ｈ ｒ ＾ ｒ Ｉ
别为 ｒ 和 ，用 ∑表 示 循 环 和 ．另 外 ，本 文 不 等 式 验 证 的 硬 件 环 境 为 ＪｌｌＩ ｅ ｌ ｍ ｎｅ （ ）Ｐ ｎｉ ／ ｕ
（ 了 保 证 元 素 的位 置 固定 ，在 实 际 计 算 时 没 有 使 用 集 合 而 使 用 了列 表 ） 为 ，其 中 ７的
含 义是 表 达式 ，ｐ的 含 义是 ７的属 性 ，ｄ ｇ 示 表 达 式 的 次数 ．具 体 含 义如 Ｆ： ’ ｅ表
如果 ，取 为 ｎ ， ，则 表 达式 由 三角 形 边 长 构成 ；
还 增 加 了包 括 不 等 式 自动发 现 与判 定 在 内的许 多 新功 能 ．
１ ． 表 达 式构 造 ２
由于不 等 式 自动发 现 一个 极 为关 键 的 环节 就是 构 造 表达 式 ，所 以这 里 先 以三 角形
不 等式 的发 现 为 例说 明构 造表 达 式 的思 路 和方 法．