3任意角

课题：任意角
一、教材分析
编者意图本节课通过实际问题引出角的概念的推广问题，引发学生的认知冲突，通过具体例子将角推广到任意角，在此基础上引出象限角和终边相同的角的集合的概念.
教材的地位和作用本节课是三角函数的起始内容.在直角坐标中讨论角,让学生体会角“周而复始”的变化规律，为研究三角函数的周期性奠定基础.学习本节课，培养学生用运动的观点看待事物,用化归与转化、数形结合以及分类讨论的思想解决问题的能力.
教学目标分析
1.知识与技能：
(1)理解正角、负角、零角的定义；
(2)理解象限角、轴线角的概念；
(3)理解终边相同的角的集合的概念, 会判断某个角终边所在的位置,会表示特殊位置
的角的集合.
2.过程与方法：
（1）通过观察、类比、归纳等方法，引导学生探究概念的产生与发展；
（2）通过学生实验操作,合作交流的过程,培养学生创新意识.
3.情感、态度、价值观：
（1）通过情境创设,激发学生学习的兴趣；
（2）学生参与探究活动，对角的概念有一个全新的认识，从而体验数学发现与再创造的过程，体会到用运动变化的观点来认识周边的事物，感受图形运动与静止的和谐与统一.
重点与难点
重点：理解正角、负角、零角及象限角的概念，会表示终边相同的角的集合.
难点：理解终边相同的角的表示，判断给定角的终边所在的位置.
二、教学与学法分析
学生初中阶段已学习了角的概念，但当时主要局限在0°到360°的范围内.通过情境的创设，问题的设置，发挥教师的主导作用，引导学生用探究、小组合作的等方式学习，充分发挥学生的主体地位.
借助多媒体辅助教学，提高学习效率，增强学生的直观感知.
三、教学过程
（一）创设情境
投影显示：我们在初中学习了锐角，直角，钝角，平角，周角，生活中还有其它情形的角.如跳水中的“转体3周半”，体操中的“转体3周”.你知道“转体3周”旋转了多少度吗?
显然这个角度超出了我们所学的范围，我们有必要对角的概念进行推广. 角的概念是什么呢？
复习角的概念
提问：角是如何定义的呢？
定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
介绍角的始边OA，终边OB等概念.
∠可以简记为α.
∠可以用希腊字母表示,如α
AOB
设计意图：通过创设情境，让学生感受数学来源于生活，激发学生的学习兴趣和求知欲.复习角的概念,从学生的最近发展区寻找知识的生长点.
由角的这个定义，我们知道了角的形成结果，我们还要知道角的形成过程.角的形成过程与哪些量有关系呢?
(二)探究新知
1.角的概念的推广
思考：（1）如果你的手表慢了5分钟，你是怎么将它校准的？当时间较准后，分针旋转了多少度？
（2）如果你的手表快了5分钟，你是怎么将它校准的？当时间较准后，分针旋转了多少度？
师：相同的旋转量30︒,不同的旋转方向.如何表示旋转方向呢？
我们规定：
正角：按逆时针方向旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：一条射线没有作任何旋转时形成的角
引入了正角，负角与零角后，我们将角扩充到任意角.板书课题.
设计意图:通过思考题,让学生体会知道角的旋转方向和旋转量才能准备刻画角的形成过程.
口答：（1）钟表慢了5分钟，要校准它，分针要旋转多少度？
（2）钟表了快1.25小时，要校准它，分针要旋转多少度？
设计意图：巩固正负角的定义.
这些角都不在0°～360°的范围内，如何研究它呢？
2.象限角和轴线角的定义
我们常在直角坐标系中讨论角，为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.
象限角的定义：角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
轴线角定义：如果角的终边落在坐标轴上，那么通常称为轴线角.
注：（1）这样在直角坐标系中讨论角，所有的角都具有相同的始边，即x 轴的非负半轴；
（2）轴线角不属于任何象限.
演示象限角
动画从正角与负角两个方面演示
观察演示的过程中，提问：
这个角是多少度？它是第几象限角？
设计意图：帮助学生理解象限角的意义，理解象限角只与角的终边的位置有关.学习任意角后，画角是要画出旋转的方向.
讨论：下面说法是否正确？
（1）锐角是第一象限角,第一象限角是锐角；
（2）小于90°的角是锐角；
（3）三角形的内角是第一或第二象限角.
设计意图：通过讨论，进一步理解象限角和轴线角的意义
3.终边相同的角集合
小组合作探究:终边相同的角的集合
（1）在同一坐标系里画出下列角:30-︒，390-︒，330︒.
（2）观察：这些角共同的特点是什么?
（3）如何将30-︒的角分别旋转到390-︒的角，330︒的角的位置上，你会演示吗？这三个角在数量上可以化成共同的形式吗？
（5）与30-︒角终边相同的β的集合如何表示？
反思：与任意角α终边相同角β的集合又如何表示呢？
设计意图:由学生动手实践，通过画角，演示，讨论，合作交流等方式，发现终边相同的角在数上有30360()k k Z -︒+⋅︒∈的共同点，在形上由终边旋转周角的整数倍，再从特殊到一般,归纳出与任意角α终边相同角β的集合：
{ | 360,}S k k Z ββα==+⋅∈o
反思:
（1）一个角的终边如何旋转回来原来的位置？
（2）与330︒角终边相同的角如何表示?
（3）式子360()k k Z βα=+⋅∈o ，与小学里学习的带余除法是否类似？ α相当于里
面的哪一个量？
设计意图:（1）让学生体会在直角坐标中讨论角可以表示角的“周而复始”的变化规律；
（2）体会集合中α角的任意性；（3）用带余除法，0°～360°的范围内，可以找到与任意角的终边相同的角.
试一试：
例1．在0°～360°（即0360α︒︒
≤<）的范围内，找出与95012-︒′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
教师引导学生完成，提醒学生，带余除法中余数出现负数的处理方法.
练习：在0°～360°的范围内，找出与下列角终边相同的角，并判定它们是第几象限角：
（1）5418-︒′；（2）1190︒
设计意图：巩固象限角与终边相同的角的概念.
4．轴线角的集合
探究:终边在y 轴上角的集合
（1）在0°～360°范围内，终边在坐标轴上的每个半轴上的角如何表示？
（2）终边在y 轴非负半轴角的集合如何表示？
（3）终边在y 轴非正半轴角的集合如何表示？
设计意图：通过层层设问，由浅入深，引导学生逐步深入，对于第（4）问，如果有困难，可引导学生运用转化的数学思想，将270°拆成正比90°与180°的和，360°拆成180°的2倍，通过集合的并集运算，转化成同一种形式，体现了数学的简洁美.
拓展创新
（1）写出终边在x 轴上的角的集合；
（2）写出终边在坐标轴上的角的集合.
设计意图：巩固终边相同角的集合的概念，会表示轴线角的集合.
5．课堂小结：
本节课你学习了哪些内容？用了哪些数学思想？
知识结构：
（1） 正角，负角，零角；
（2） 象限角，轴线角，终边相同的角；
（3） 数学思想：数形结合，化归与转化，分类讨论等.
设计意图：引导学生进行自我小结，巩固新知，形成新的认知结构. 关注学生表现出来的情感、态度、价值观.
四、作业布置
必做题
1．P9习题1.1 A 组 第1,3题．
2.填空：
（1）终边在第一象限的角的集合是_____________________
（2）终边在第二象限的角的集合是_________________________
（3）终边在第三象限的角的集合是_________________________
（4）终边在第四象限的角的集合是_________________________
选做题：
若角α是第二象限的角，则2α的终边在什么位置? 2
α是第几象限的角? 设计意图：作业采用必做题与选做题，关注不同层次的学生，让不同的学生学习不同的数学.
五、评价分析
通过师生、生生交流，关注学生的学习过程，关注学生在活动中表现出来的情感态度的变化，以过程性评价为主，激励学生思辨，鼓励学生合作学习,鼓励学生勇于探索和创新.
六、板书设计
1．1．1任意角
1.角的概念的推广 3.终边相同的角集合探究正角例1
负角
零角 4.轴线角的集合作业2．象限角与轴线角。