2020学年湖北省孝感市新高考高二数学下学期期末监测试题

同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设x ∈R ，则“2
3x <<”是“21x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要条件
C ．充分条件
D ．既不充分也不必要条件
2．设A ，B 是抛物线24y x =上两点，抛物线的准线与x 轴交于点N ，已知弦AB 的中点M 的横坐标
为3，记直线AB 和MN 的斜率分别为1k 和2k ，则22
12k k +的最小值为（ ）
A ．22
B ．2
C ．2
D ．1
3．已知函数f(x)＝12
log ,1,
24,1,
x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )
A ．4
B ．－2
C ．2
D ．1
4．在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为8
21
，那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为 A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．若点M 为圆2
2
:(2)1C x y -+=上的动点，则点M 到双曲线2
2
13
y x -=渐近线的距离的最小值为（ ）
A ．
32
B ．31-
C ．3
D ．31+
6．如图，F 1，F 2分别是双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径
的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A 3
B ．2
C 31－
D 31
7．5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是（ ）
A ．4
5C
B ．4
5A
C ．
45 D ．54
8．设2342018=++++M i i i i ，2342018=⋅⋅⋅N i i i i ，i 为虚数单位，则M 与N 的关系是（ ）.
A ．+=M N O
B ．M N <
C ．M N >
D ．M
N
9． “3a =，23b =”是“双曲线22222(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为7
2
”的（ ）
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．既不充分也不必要条件
D ．充分不必要条件
10．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确．．的是( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°
C ．假设三内角至多有一个大于60°
D ．假设三内角至多有两个大于60°
11．已知ABC ∆的周长为9，且sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为（ ） A ．1
4
-
B ．
14
C ．23
-
D ．
23
12．已知双曲线22
22:1(0,0)x y M a b a b
-=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M 的
离心率为（ ） A ．
23
B ．3
C ．2
D ．
23
或2 二、填空题：本题共4小题
13．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()x f x e x -=-，则(ln 2)f =__________． 14．已知幂函数()f x 的图象过点
(
)
3,33，则满足方程()8f x =的x 的值为______.
15．如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且1CD =，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面α，若四面体ABCD 绕AB 所在直线旋转.且始终在平面α的上方，则它在平面α内影子面积的最小值为________.
16．设2
lg ,0
(){
3,0
a
x x f x x t dx x >=+≤⎰，若((1))1f f =，则a =
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的焦距为23，点13,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上.
（1）求椭圆C 方程；
（2）设直线l ：()0,0y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P ，Q 两点，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率之和为0.
①求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标； ②求OPQ ∆面积的最大值. 18．已知
（1）求的最大值、最小值；
（2）
为
的内角平分线，已知
，
，
，求
19．（6分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于2
2
，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =-的焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:2l y kx =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，在y 轴上是否存在点D ，使直线AD 与BD 关于y 轴对称？若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．
20．（6分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(其中t 为参数）.现以坐标原点为
极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若点P 坐标为(1,0)-，直线l 交曲线C 于A ,B 两点，求PA PB +的值. 21．（6分）选修4-5：不等式选讲 已知函数2
()3f x x x =-+. （Ⅰ）求不等式()3f x x ≥的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式2
()2
x
f x x a -≤
+恒成立，求实数a 的取值范围. 22．（8分）已知集合{
}{
}
2
22
|340,|240A x x x B x x mx m =--≤=-+-≤.
（1）若[]1,4A B ⋂=，求实数m 的值； （2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
分析两个命题的真假即得，即命题23x <<⇒21x -<和21x -<⇒23x <<． 【详解】
2321x x <<⇒-<为真，但21x -<时121x -<-<⇒13x <<．所以命题21x -<⇒23
x <<为假．故应为充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】
本题考查充分必要条件判断，充分必要条件实质上是判断相应命题的真假：p q ⇒为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 2．D 【解析】 【分析】
设1122(,),(,),(3,),(1,0)A x y B x y M t N -，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，可得1212
k k =，再由基本不等式可得所求最小值． 【详解】
设1122(,),(,),(3,),(1,0)A x y B x y M t N -，可得2
2
11224,4y x y x ==， 相减可得121212()()4()y y y y x x -+=-， 可得1211212142
2y y k x x y y t t
-====-+，
又由24t k =
，所以1212
k k =，
则22
211221k k k k ≥=+
，当且仅当122
k k ==
时取等号， 即22
12k k +的最小值为1.
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了抛物线的方程和性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 3．B 【解析】
1
21242242f ⎛⎫
=+=+= ⎪⎝⎭
，则()12
14log 422f f f ⎛⎫
⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 4．C 【解析】 【分析】
利用古典概型列出恰有1个中奖号码的概率的方程，解方程即可． 【详解】
依题意，从10个小球中任意取出1个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为
8
21
， 所以13
10410
821n n
C C C -⨯=， 所以n （10﹣n ）（9﹣n ）（8﹣n ）＝180，（n ∈N *） 解得n ＝1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了古典概型的概率公式的应用，考查了计数原理及组合式公式的运算，属于中档题． 5．B 【解析】 【分析】
首先判断圆与渐近线的位置关系为相离，然后利用圆上一点到直线距离的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径，由此即可得到答案。

【详解】
由题知，圆2
2
(2)1x y -+=的圆心0(2)C ，，半径1r =.由双曲线2
2
13
y x -=
的渐近线方程为y =，
则圆心C
到双曲线渐近线的距离为1d r =>=，
故圆C 与双曲线渐近线相离，圆C 上动点M 到双曲线
渐近线的最小距离为1d r -=，故选B ．
【点睛】
本题考查点到直线的距离公式的运用，考查学生基本的计算能力，属于基础题， 6．D 【解析】 【分析】
连接1AF ，利用三角形边之间的关系得到122c AF =
，121)a AF =，代入离心率公式得到答案. 【详解】
连接1AF ，依题意知：
21AF =，12122c F F AF ＝＝，
所以21121)a AF AF AF =-=
1c
e a ===.
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，利用三角形边之间的关系和双曲线性质得到,a c 的关系式是解题的关键. 7．D 【解析】 【分析】
根据乘法原理得到答案. 【详解】
5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是
5444444⨯⨯⨯⨯=
答案为D 【点睛】
本题考查了乘法原理，属于简单题. 8．D 【解析】 【分析】
先根据i 性质化简,M N ，再判断选项. 【详解】
234201823456789102015201620172018())()(M i i i i i i i i i i i i i i i i i =++++++++++++++=+++
101=-+=-,
2342018234567891020112012201320142015201620172018()111)(N i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i =⋅⋅⋅
⋅⋅==-⨯=-所以M N
故选：D 【点睛】
本题考查i 性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．D 【解析】 【分析】
当3,a b ==时，我们只能得到a b =，故可得两
者之间的条件关系. 【详解】
当3,a b ==22222x y a b -=-化为标准方程是22
12418
y x -=，
其离心率是
2e =
=；
但当双曲线22222(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2
时，
即22
221(0,0)22y x a b b a -=>>2=，得a b =，
所以不一定非要3,a b ==
故“3,a b ==22222x y a b -=-(0,0)a b >>”的充分不必要条件.故选
D. 【点睛】
充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 10．B 【解析】
“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论. 【详解】
“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时， 反设是假设三内角都大于60︒. 故选：B . 【点睛】
本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题. 11．A 【解析】 【分析】
由题意利用正弦定理可得3,2,4a b c ===,再由余弦定理可得 cosC 222
2a b c ab
+-=
的值． 【详解】
由题意利用正弦定理可得三角形三边之比为::a b c = 3：2：4，再根据△ABC 的周长为9，可得
3,2,4a b c ===．
再由余弦定理可得 cosC 22294161
22324
a b c ab +-+-===-⨯⨯，
故选A ． 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，求得3,2,4a b c ===是解题的关键，属于中档题． 12．C 【解析】 【分析】
转化条件得b a =e =即可得解.
【详解】
由题意可知双曲线的渐近线为b
y x a
=±
， 又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，
∴
tan 603b
a
==
∴双曲线离心率2e ==.
【点睛】
本题考查了双曲线的性质，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．2ln2+ 【解析】 【分析】
由偶函数的性质直接求解即可 【详解】
()()()ln2ln2ln2ln22ln2f f e =-=--=+.
故答案为2ln2+ 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力 14．1 【解析】 【分析】
设()f x x α
=，可得α=，解得α，即可得出．
【详解】 设()f x x α
=，
则α=，解得3α=．
()3f x x ∴=．
令38x =，解得2x =． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了幂函数的定义、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于容易题．
15．
6
【解析】 【分析】
在四面体中找出与AB 垂直的面，在旋转的过程中CD 在面α内的射影始终与AB 垂直求解. 【详解】
ABD ∆和ABC ∆都是等边三角形，取AB 中点M ，
易证MD AB ⊥，MC AB ⊥，即AB ⊥平面CDM ，所以AB CD ⊥.
设CD 在平面α内的投影为C D ''，则在四面体ABCD 绕着AB 旋转时，恒有C D AB ''⊥. 因为AB ∥平面α，所以AB 在平面α内的投影为2A B AB ''==. 因此，四面体ABCD 在平面α内的投影四边形A B C D ''''的面积
1
2
S A B C D C D ''''''=
⋅= 要使射影面积最小，即需C D ''最短；
在DMC ∆中，MC MD ==1CD =，且DC 边上的高为2
MN =
，
利用等面积法求得，边MC 上的高DH 6
=
，且DH MN <，
所以旋转时，射影C D ''的长的最小值是6
C D ''=
.
所以min S = 【点睛】
本题考查空间立体几何体的投影问题，属于难度题. 16．1 【解析】 【分析】 【详解】
((1))(lg1)(0)f f f f ==23300
03|a
a
t dt t a =+==⎰11a =⇒=
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）2214
x y +=；
（2）①证明见解析；②1 【解析】 【分析】
(1)由条件有c =
12M ⎫⎪⎭代入椭圆方程结合222a b c =+，可求解椭圆方程.
(2) ①设点()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线OP ，PQ ，OQ 的斜率分别为12,,k k k ，由条件有
12121212
0y y kx m kx m
k k x x x x ++++=++=，将直线方程与椭圆方程联立，将12x x +，12x x ⋅代入化简可得
m =，得到直线过定点.
②由①利用弦长公式可求出PQ ，再求出原点O 到直线PQ 的距离，则OPQ ∆的面积可表示出来，从而可求其最大值. 【详解】
解：（1
）由题意可得c =
12M ⎫⎪⎭在椭圆C 上，故得22
31
14a b
+=， ∵22223a b c b =+=+，解得24a =，21b =.
∴椭圆C 的方程为2
214
x y +=；
（2）设点()11,P x y ，()22,Q x y .
联立22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222
148440k x kmx m +++-=， ∴(
)()()2
2
2
2
22644144416140k m k
m
k m ∆=-+-=+->，
化简得2
2
14m k <+①，122814km x x k +=-+②，2122
44
14m x x k
-⋅=+③ 设直线OP ，PQ ，OQ 的斜率分别为12,,k k k
直线OP ，PQ ，OQ 的斜率之和为0，∴120k k k ++=，
即
12121212
y y kx m kx m
k k x x x x ++++=++ ()1221283344m x x km k k m x x m +-=+=+⨯-()222243412=04444
k m km k m m --==--， ∴23m =，又0m >
，∴m =. 综上可得，直线l
经过定点(. ②由①知2
1
2
k >
.
∴
PQ =
=
原点O 到直线PQ
的距离d =
=
∴
2
12342
2
OPQ
k
S PQ d
-=
=
2
2
2
2342
23
42
42
k
k
k
-
==
-+
-
，
∵2
2
4223
42
k
k
-+≥
-
，
当且仅当2
2
42=
42
k
k
-
-
，即2
51
=
42
k>取“=”.
∴1
OPQ
S≤，即OPQ
∆面积的最大值为1.
【点睛】
本题考查求椭圆方程和证明直线过定点、求三角形的面积的最值，考查方程联立，利用韦达定理的舍而不求的方法的应用，考查计算化简能力，属于难题.
18． (1) ；(2)
【解析】
【分析】
（1）先利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求最值，（2）先根据正弦定理得，再根据余弦定理列方程解得，即得结果.
【详解】
（1）
在上单调递增，上单调递减，
（2）中，，中，，
，
中， ，
中，
，
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式以后正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
19．（1）2
212
x y +=；（2）见解析.
【解析】
分析：（1）由题意得2222
21c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，求解即可； （2）假设存在点D 满足条件，则0AD BD k k +=，设()00,D y ，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程，从而
可得122
122812612k x x k x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=
⎪+⎩，又由0AD BD k k +=，得1020120y y y y x x --+=，从而求得答案. 详解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
则有222
2
1c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪
⎪⎩
，解得222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．
（Ⅱ）假设存在点D 满足条件，则0AD BD k k +=．
设()00,D y ，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2
2122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22
12860k x kx +++=，
()222
64241216240k k k ∆=-+=->，122122812612k x x k x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=
⎪+⎩
，
由0AD BD k k +=，得
1020120y y y y x x --+=，即21121201212231
2222x y x y kx x y x x x x +==+=-+=++， 综上所述，存在点10,
2D ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，使直线AD 与BD 关于y 轴对称． 点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得结果． 20．（1）10x y -+=，()2
239x y -+=；（2
）【解析】 【分析】
（1）根据参普互化和极值互化的公式得到标准方程；（2）联立直线和圆的方程，得到关于t 的二次，再
由韦达定理得到12PA PB t t +=+=【详解】
（1
）由12
2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y -+=
又由6cos ρθ=得2
6cos ρρθ=，
由x cos y sin ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，
即()2
239x y -+=；
（2
）其12
2x t y ⎧=-+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入2260x y x +-=
得270t -+=，
则121270t t t t +==>
所以1212PA PB t t t t +=+=+=21． (1){}
31x x x ≥≤或;(2)(][),33,-∞-+∞.
【解析】
分析：（Ⅰ）对x 分两种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（Ⅱ）
问题等价于32
x a x ++≥恒成立，因为22222222x x x x x x x x
a x a a a a ++=+++≥+-+=+≥，只需3a ≥即可得结果.
详解：（Ⅰ）当0x ≥时，()2
33f x x x x =-+≥,即2430x x -+≥,
解得3x ≥或1x ≤.所以3x ≥或01x ≤≤；
当0x <时，()2
33f x x x x =++≥，此不等式2230x x -+≥恒成立，所以0x <.
综上所述，原不等式的解集为{}
31x x x ≥≤或. （Ⅱ）()2
2x f x x a -≤
+恒成立，即33x x a -+≤+恒成立，即32
x
a x ++≥恒成立， ∵
22222222
x x x x x x x x
a x a a a a ++=+++≥+-+=+≥ 当且仅当0x =时等式成立，∴3a ≥，解得3a ≥或3a ≤-. 故实数a 的取值范围是(][
),33,-∞-⋃+∞. 点睛：绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 22．（1）3m =（2）6m >或3m <- 【解析】 【分析】
（1）先化简集合{}
{}2
||14340A x x x x x =--≤=-≤≤，
{}{}22|240|22B x x mx m x m x m =-+-≤=-≤≤+，根据[]1,4A B ⋂=求解.
（2）由（1）得到{|2R C B x x m =<-或}2x m >+，再利用子集的定义由R A C B ⊆求解. 【详解】
（1）因为集合{}
{}2
||14340A x x x x x =--≤=-≤≤，
{}{}22|240|22B x x mx m x m x m =-+-≤=-≤≤+，
又因为[]1,4A B ⋂=， 所以21m -=， 所以3m =.
（2）{|2R C B x x m =<-或}2x m >+， 因为R A C B ⊆，
所以42m <-或21m +<-，
解得6m >或3m <-. 【点睛】
本题主要考查集合的基本关系及其运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知高为3的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的每个顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为21π，则此正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为()
A B ．
272
C D ．18
2．已知()()1f x f x x '+=+，且()01f =，()()2
1g x x f x x =⋅--.若关于x 的方程
()()()()2
110g x m g x +++=有三个不等的实数根1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，
2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，则()()()()2
123g x g x g x ⋅⋅的值为（ ）
A
B ．e
C ．1
D ．
12
3．已知函数()()f x x R ∈满足()()=f x f a x -，若函数2
5y x ax =--与()y f x =的图像的交点为
()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，且1
2m
i i x m ==∑，则a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．用数学归纳法证明不等式“11
12123
22
n n ++
++
>（2n ≥，n *∈N ）”的过程中，由n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是（ ） A ．
1
1
2
k + B ．
1
21
k
+ C ．11
1
2122
2k k k k
++++++
D ．
1
11
12122
2k k k ++++++ 5．i 是虚数单位，若集合S={1,0,1}-，则 A ．i S ∈
B ．2i S ∈
C ．3i S ∈
D ．
2S i
∈ 6．若|x ﹣1|≤x|x+1|，则（ ）
A ．x ≥
1
B ．x ≤1
C ．x ≤ 1
D ．x ≥7．已知1F 、2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1
MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A ．4+
B 1
C 1
D 8．()3
2
233f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ） A ．2-
B ．2
C ．3-
D ．3
9．给定下列两个命题：
①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件；
②“x R ∀∈，都有0x e x +>”的否定是“0x R ∃∈，使得000x
e x +≤”， 其中说法正确的是（） A ．①真②假
B ．①假②真
C ．①和②都为假
D ．①和②都为真
10．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72
D ．120
11．已知35sin(),(,)4524
π
ππ
αα-
=∈，则sin =α（ ）
A ．
10
B ．-
C ．±
D ．或10
12．复数
5(12i
i i
-是虚数单位)的虚部是( ) A ．2-
B ．1
C ．2i -
D ．i
二、填空题：本题共4小题
13．曲线1()x f x x e -+=+在1x =处的切线方程为__________.
14．已知复数z 满足()1213i z i +=-（i 是虚数单位），则z =______．
15．将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里放且只放1个小球，则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是______.
16．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 ．（以数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为
3
4
；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为4
.每台仪器各项费用如表：
（1）求每台仪器能出厂的概率；
（2）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）； （3）假设每台仪器是否合格相互独立，记X 为生产两台仪器所获得的利润，求X 的分布列和数学期望.
18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是2
2
，以C 的长轴和短轴为对角线的四边形的面积
是42.
（1）求C 的方程；
（2）直线2y x m =+与C 交于A ，B 两点，M 是C 上一点，(4,1)N -，若四边形AMBN 是平行四边形，求M 的坐标.
19．（6分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线2
4y x =相交于不同的A B 、两点．
（1）如果直线l 过抛物线的焦点，求·OA OB 的值；
（2）如果·4OAOB =-，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．
20．（6分）如图，AB 是圆柱的底面直径且2AB =，PA 是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面面圆周上的点.
（1）求证：BC ⊥平面PAC ；
（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求二面角C PB A --的大小；（结果用反三角函数值表示） （3）若1AC =，D 是PB 的中点，点E 在线段PA 上，求CE ED +的最小值.
21．（6分）已知直线11cos ,:sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数），圆2cos ,
:sin x C y θθ=⎧⎨=⎩
(θ为参数）.
(1)当3
π
α=
时，求1C 与2C 的交点坐标.
(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为,A P 为OA 的中点.当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？
22．（8分）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到如表：（单位：人） 经常使用网络外卖 偶尔或不用网络外卖 合计 男性
50
50
100
女性 60 40 100 合计
110
90
200
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？ （2）将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差． 参考公式：
，其中
．
参考数据：
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
根据体积算出球O 的半径r,再由几何关系求出地面三角形的边长，最后求出其体积即可。

【详解】
因为球O 的表面积为21π，2421R ππ= 所以球O 的半径21
2
R = 又因高为3
所以底面三角形的外接圆半径为219
344
r =-=，边长为3 底面三角形面积为9
34
S 正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为27
34
V Sh ==【点睛】
本题考查正三棱柱的体积公式，考查了组合体问题，属于中档题。

2．C 【解析】 【分析】
求出()f x ，可得()1x
x g x e
=
-，若关于x 的方程()()()()2
110g x m g x +++=有三个不等的实数根1x ，2x ，3x ，令x x t e =
，即2
(1)(1)(1)10t m t -++-+=，易知此方程最多有两根，所以1t ，2t ，3t 必有两个相等，画出x x
t e
=的图像，可得1230x x x ＜＜＜，根据图像必有23t t =，可得()()231g x g x ⋅=，
()()311g x g x ⋅=，可得答案.
【详解】
解：由()()1f x f x x '+=+，可得()()10f x x f x '-+-=，设()()h x f x x =-，
可得：()()0h x h x '+=，可得()x
h x ae -=，由()01f =，可得1a =，()x
f x e
x -=+，
可得()()2
22
111x x x x g x x f x x x x e e
=⋅--=
+--=-， 若关于x 的方程()()()()2
110g x m g x +++=有三个不等的实数根1
x ，2
x
，3x ，
令x x
t e =
，且11x x t e =，22x x t e =，33
x
x t e = 则有2
(1)(1)(1)10t m t -++-+=，易知此方程最多有两根，所以1t ，2t ，3t 必有两个相等， 由x x t e =
，易得'
1x x t e -=在(,1)x ∈-∞上单调递增，此时
1(,)t e
∈-∞； 在(1,)x ∈+∞，此时1
(0,)t e
∈，其大致图像如图所示，
可得1230x x x ＜＜＜，根据图像必有23t t =，
又12t t 、为2
(1)(1)(1)10t m t -++-+=的两根，即为()2
110t m t +-+=的两根
即()()231g x g x ⋅=又23t t =，故13(1)(1)1t t --=，()()311g x g x ⋅=，
故()()
()()2
1231g x g x g x ⋅⋅=.
【点睛】
本题主要考查微分方程，函数模型的实际应用及导数研究函数的性质等，综合性大，属于难题. 3．D 【解析】 【分析】
求出f （x ）的对称轴，y=|x 2-ax-5|的图象的对称轴，根据两图象的对称关系，求和，解方程可得所求值． 【详解】
∵f （x ）=f （a-x ），
∴f （x ）的图象关于直线x=
2
a
对称， 又y=|x 2-ax-5|的图象关于直线x=2
a
对称，
当m 为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=2
a
对称， ∴x 1+x 2+x 3+…+x m =
2
m
•a=2m ，解得a=1． 当m 奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x=2a 对称，另一个交点在对称轴x=2
a
上， ∴x 1+x 2+x 3+…+x m =a•-12m +2
a
=2m ． 解得a=1． 故选D ． 【点睛】
本题考查了二次型函数图象的对称性的应用，考查转化思想以及计算能力． 4．D 【解析】 【分析】
把n 用1n +替换后两者比较可知增加的式子． 【详解】
当n k =时，左边111123
2k =+
++
， 当1n k =+时，左边1
111111
123
22122
2k k k k +=+
++
++++++， 所以由n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是1
11
1
2122
2k k
k ++++++， 故选：D. 【点睛】
本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的概念是解题基础．从n k =到1n k =+时，式子的变化是数学归纳法的关键． 5．B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由21i =-可得，2i S ∈，i S ∉，3i i S =-∉，2
2i S i
=-∉. 考点：复数的计算，元素与集合的关系. 6．A 【解析】 【分析】
对x 按照1x ≤-，11x -<<，1x ≥进行分类讨论，分别解不等式，然后取并集，得到答案. 【详解】
11x x x -≤+
①当1x ≤-时，()11x x x -+≤--，即21x ≤-， 解得x ∈∅ 所以x ∈∅
②当11x -<<时，()11x x x -+≤+，即2210x x +-≥
解得1x ≤-1x ≥-
所以11x -+≤<
③当1x ≥时，()11x x x -≤+，即21x ≥-
解得x ∈R 所以1x ≥
综上所述，1x ≥
故选A 项. 【点睛】
本题考查分类讨论解不含参的绝对值不等式，属于简单题. 7．C 【解析】 【分析】
设P 为边1MF 的中点，由双曲线的定义可得122PF PF a -=，因为正三角形12MF F 的边长为2c ，所以
2c a -=，进而解得答案。

【详解】
因为边1MF 的中点在双曲线上，设中点为P ，则122PF PF a -=，122F F c =,
因为正三角形12MF F 的边长为2c 2c a -=，
整理可得1
c e a === 故选C 【点睛】
本题考查双曲线的定义及离心率，解题的关键是由题意求出,a c 的关系式，属于一般题。

8．D 【解析】 【分析】
对()f x 求导，判断函数()f x 在区间[]1,1-上的单调性，即可求出最大值。

【详解】
()2666(1)f x x x x x '=-=-
所以()f x 在[]1,0-单调递增，在[]0,1单调递减，
()max (0)3f x f ==
故选D 【点睛】
本题考查利用导函数求函数的最值，属于基础题。

9．D 【解析】 【分析】
由充分条件和必要条件的定义对①进行判断，由全称命题的否定是特称命题对②进行判断，从而得到答案。

【详解】
对①，“p q ∧”为真，则命题p ，q 都真，“p q ∨”为真，则命题p ，q 至少一个为真，所以“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件，①为真命题；
对②，全称命题的否定是特称命题，所以“x R ∀∈，都有0x e x +>”的否定是“0x R ∃∈，使得
000x e x +≤”， ②为真命题；
故答案选D 【点睛】
本题考查命题真假的判定，属于基础题。

10．C 【解析】 【分析】
根据题意,分2种情况讨论: ①A 不参加任何竞赛,此时只需要将,,,B C D E 四个人全排列，对应参加四科竞赛即可；②A 参加竞赛,依次分析A 与其他四人的情况数目，由分步计数原理可得此时参加方案的种数，进而由分类计数原理计算可得结论. 【详解】
A 参加时参赛方案有313
42348C A A = (种)，
A 不参加时参赛方案有4
424A = (种)，
所以不同的参赛方案共72种，故选C. 【点睛】
本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 11．B 【解析】
分析：根据角的范围利用同角三角函数的基本关系求出cos （α4π-）的值，再根据sinα=sin [（α4
π-）+
4
π
]，利用两角差的正弦公式计算求得结果． 详解：∵5,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，3sin 45
πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，
∴4π
α-
∈（
4π，π），∴cos （4
π
α-）=﹣45，或45（舍）
∴sinα=sin[（4πα-）+4π]=sin （4πα-）cos 4π+cos （4πα-）sin 4
π
=3
5-45- 故选B ．
点睛：本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，解题关键根据角的取值范围对cos
（4
π
α-）的值进行取舍，属于中档题．
12．B
【解析】 【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而可得答案． 【详解】
()()()512510*********i i i i i i i i +-+==-+--+， ∴复数
512i
i
-的虚部是1． 故选B ． 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 二、填空题：本题共4小题 13．y=2 【解析】
分析：求函数的导数，计算(1)f 和'(1)f ，用点斜式确定直线方程即可. 详解：1
'()1x f x e
-+=-，'(1)0f =，
又(1)2f =，故切线方程为2y =. 故答案为2y =.
点睛：本题考查函数导数的几何意义即函数的切线方程问题，切线问题分三类： （1）点00(,)x y 在曲线上，在点00(,)x y 处的切线方程
①求导数
'()f x ；②切线斜率0'()f x ；
③切线方程000'()()y y f x x x -=-.
（2）点00(,)x y 在曲线上，过点00(,)x y 处的切线方程
①设切点11(,)x y ；②求导数
'()f x ；③切线斜率1'()f x ；
④切线方程111'()()y y f x x x -=-； ⑤将点00(,)x y 代入直线方程求得11,x y ；
⑥确定切线方程.
（3）点00(,)x y 在曲线外，步骤同（2）. 14．2 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算化简z ，进而求得z . 【详解】 依题意()()()()13i 12i 13i 55i
1i 12i 12i 12i 5
z -----=
===--++-，故()()
22
112z =-+-=
故答案为：2. 【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题. 15．0.65 【解析】
设红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为P ，再设红球在红盒内的概率为1P ，黄球在黄盒内的概率为2P ，红球在红盒内且黄球在黄盒内的概率为3P ，则()1231P P P P =-+-
:P 红球不在红盒且黄球不在黄盒
由古典概型概率公式可得，1234!3!,5!5!P P P ==
=，则()1234!3!131125!5!20P P P P ⎛
⎫=-+-=-⨯-=
⎪⎝⎭
，即0.65P =，故答案为0.65.
16．288. 【解析】
解：∵数学课排在前3节，英语课不排在第6节， ∴先排数学课有1
3C 种排法，
再排最后一节有1
4C 种排法， 剩余的有4
4A 种排法， ∴根据分步计数原理知
共有13C 14C 4
4A =288种排法.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）
1920
；（2）1
5P =（3）见解析
【解析】 【详解】
试题分析：（Ⅰ）每台仪器能出厂的对立事件为不能出厂，根据对立事件的概率可得结果；（Ⅱ）由表可知生产一台仪器所获得的利润为1600元即初检不合格再次检测合格，根据相互独立事件同时发生的概率可得结果；（Ⅲ）由题意可得X 可取3800，3500，3200，500，200，2800-，根据相互独立事件同时发生的概率计算出概率，可得分布列及期望.
试题解析：（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件A ，则()341
114520
P A ⎛
⎫⎛⎫=--=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以每台仪器能出厂的概率()
11912020
P A =-
=． （Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率3411455
P ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭．
（Ⅲ）X 可取3800，3500，3200，500，200，2800-．
()33938004416P X ==⨯=，()1
213335005410P X C ==⨯⨯=，()2
113200525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()12311350044540P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()12
111120054550
P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2
111280045400P X ⎛⎫=-=⨯=
⎪⎝⎭
． X 的分布列为：
()()380035003200500200280033501610254050400
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=．
18．（1）22142x y +=（2）(,33
-
【解析】
分析：（1）根据题意可得222
22,1,2ab a b a
⎧=⎪
⎨-=⎪⎩，解之可得C 的方程；
（2）设()()1122,,,A x y B x y ，()33,M x y ， 由222,
1,42y x m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得2298240x mx m ++-=，
0∆=>，解得3232m -<<，1289m x x +=-
，122
9
y y m +=， 由四边形AMBN 是平行四边形线，∴AN MB =，可得3849x m =-+，32
19
y m =-，
代入椭圆方程，则M 的坐标可求. 详解：
（1）椭圆长轴长2a ，短轴长2b ，
由已知，得
12222,22
c a b a ⋅⋅== ∴222
22,
1,2ab a b a ⎧=⎪⎨-=⎪
⎩解得2,
2,a b =⎧⎪⎨
=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程是22
142
x y +=．
（2）（2）设()()1122,,,A x y B x y ，()33,M x y ，
由222,
1,4
2y x m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得2298240x mx m ++-=，
()()
2
2849240m m ∆=-⨯⋅->，解得3232m -<
1289m x x +=-
，12122
229
y y x m x m m +=+++=， 四边形AMBN 是平行四边形线，∴AN MB =， ∴()()1123234,1,x y x x y y ---=--， ∴3128449x x x m =++=-
+，3122
119
y y y m =+-=-， 代入椭圆方程，得2
2
824199142m m ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即2
22129411
92m m ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-+= ⎪⎝⎭
，
∴2193m -=±，解得92
m ±=，
又((99,22+--∈-，
∴m =，
∴38244149933m x m ⎛⎫⎛⎫=-+=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3219m y =-=
∴点M 的坐标是,33⎛- ⎝
⎭． 点睛：本小题考查椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，推理
论证能力；考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想．
19．（Ⅰ）-3（Ⅱ）过定点()2,0，证明过程详见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y 的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积． (Ⅱ)设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y 的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于4-，做出数量积表示式中的b 的值，即得到定点的坐标．
【详解】
(Ⅰ)由题意：抛物线焦点为()1,0
设l ：x ty 1=+代入抛物线2
y 4x =消去x 得， 2y 4ty 40--=，设()11A x ,y ，()22B x ,y
则12y y 4t +=，12y y 4=-
()()12121212OA OB x x y y ty 1ty 1y y ∴⋅=+=+++
()2121212t y y t y y 1y y =++++
224t 4t 143=-++-=-．
(Ⅱ)设l ：x ty b =+代入抛物线2y 4x =，消去x 得
2y 4ty 4b 0--=设()11A x ,y ，()22B x ,y。