【北师大版】高中数学必修一期末试卷附答案(2)

一、选择题
1．已知函数()102x
x f x =+-的零点为a ，()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则
a b +=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x R f x α∈∈=，(){}
0x R g x β∈∈=，若存在
α、β，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点关联函数”．若函数
()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点关联函数”，则实数a 的取值范围
为（ ）
A ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．[]2,3
D ．[]
2,4
3．已知一元二次方程210x mx ++=的两根都在()0,2内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5,22⎛⎤
-- ⎥⎝⎦
[)2,⋃+∞ B ．5,22⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭()2,⋃+∞ C ．5,22⎛⎤
-
- ⎥⎝⎦
D ．5,22⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
4．若关于x 的不等式34log 2x
a x -≤在10,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．10,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
5．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）
A ．a <b <1<c <d
B ．b <a <1<d <c
C ．1<a <b <c <d
D ．a <b <1<d <c
6．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）
A ．32⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦，
B ．3
,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．31,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
7．已知函数()y f x =是定义在R 上的单调函数，()0,2A ，()2,2B -是其函数图像上的
两点，则不等式()12f x ->的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()(),31,-∞-⋃+∞ C ．()1,1-
D ．()
(),13,-∞+∞
8．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且
()1
12
f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式
()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）
A ．(]
[),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(],1-∞
9．设f (x )､g (x )､h (x )是定义域为R 的三个函数，对于以下两个结论:
①若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均为增函数，则f (x )､g (x )､h (x )中至少有一个增函数; ②若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均是奇函数，则f (x )､g (x )､h (x )均是奇函数， 下列判断正确的是（ ） A ．①正确②正确
B ．①错误②错误
C ．①正确②错误
D ．①错误②正确
10．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|11B x x =-<<，集合{}|10C x mx =+>，若()A
B C ⊆，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．{}|21m m -≤≤
B ．1|12m m ⎧⎫-≤≤⎨
⎬⎩⎭
C ．1|12m m ⎧
⎫-≤≤
⎨⎬⎩⎭ D ．11|24m m ⎧⎫-
≤≤⎨⎬⎩⎭
11．集合{}
*
|421A x x N =--∈，则A 的真子集个数是（ ） A ．63
B ．127
C ．255
D ．511
12．如果集合{
}
2
210A x ax x =--=只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0
B ．0或1
C ．1-
D ．0或1-
二、填空题
13．已知当0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（0>ω）有且仅有5个零点，则ω的取值范围是______.
14．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于1
2
的正根，则实数m 的取值范围为____________.
15．已知函数(
)
2
12
log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数，则a 的取值范围是______.
16．若()34
,0m n
m n =≠，则4log 3=______.（用m n ，表示）
17．函数2()23||f x x x =-的单调递减区间是________．
18．已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，
，，
则不等式()()f x f x >-的解集为
_______________．
19．若集合A 具有以下两条性质，则称集合A 为一个“好集合”.
（1）0A ∈且1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且当0x ≠时，有1
A x
∈.
给出以下命题：
①集合{}2,1,0,1,2P =--是“好集合”； ②Z 是“好集合”； ③Q 是“好集合”； ④R 是“好集合”；
⑤设集合A 是“好集合”，若x 、y A ，则x y A +∈；
其中真命题的序号是________.
20．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A
B ⊗=∈且}x A B ∉，已知
{|
2}2
x
A x x =<+，{|3}
B x x =>-，则A B ⊗=_________ 三、解答题
21．某化工厂一种溶液的成品，生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质，过滤初期溶液含杂质为2%，每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，记过滤次数为*
()x x N ∈时溶液杂质含量为y
（1）分别求出1次过滤、2次过滤以后的溶液杂质含量1y ，2y 的值． （2）写出y 与x 的函数关系式（要求写出定义域）
（3）按市场要求，出厂成品杂质含量不能超过0.02%，问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求？(参考数据：lg2=0.301)
22．某产品拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x （0x a ≤≤）万元满足1
41
m x =-
+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入25万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ 23．已知：2256x ≤且21log 2
x ≥ （1）求x 的取值范围；
（2）求函数f （x
）＝2log 22x ⎛⎛⎫
⎪ ⎝⎭
⎝⎭
的最大值和最小值.
24．已知222log ()log log x y x y +=+，则x y +的取值范围是__________. 25．已知函数()()k
f x x x R x
=+∈，且()()12f f =. （1）求k ；
（2）用定义证明()f x 在区间
)
+∞上单调递增.
26．已知不等式()2
10x a x a -++≤的解集为A . （1）若2a =，求集合A ；
（2）若集合A 是集合{}4|2x x -≤≤的真子集，求实数a 的取值范围.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
设()()1lg 2h x g x x x =+=+-，可知函数()h x 的零点为1b -，令()0f x =，可得出
102x x =-，令()0h x =可得出lg 2x x =-，在同一平面直角坐标系中作出函数
10x y =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象，利用函数10x y =、lg y x =的图象关于
直线y x =的对称，并求出直线y x =、2y x =-的交点坐标，进而可求得+a b 的值. 【详解】
设()()1lg 2h x g x x x =+=+-，由于函数()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则函数
()h x 的零点为1b -.
令()0f x =，可得102x x =-，令()0h x =，可得出lg 2x x =-，
在同一平面直角坐标系中作出函数10x
y =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象，如下图
所示：
由于函数10x
y =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称，
直线2y x =-与直线y x =垂直，
设直线2y x =-与函数10x
y =的交点为点A ，直线2y x =-与函数lg y x =的图象的交点为点B ，易知点A 、B 关于直线y x =对称，
直线2y x =-与直线y x =的交点为点()1,1C ，且C 为线段AB 的中点，所以
12a b +-=，
因此，3a b +=. 故选：C. 【点睛】
易错点点睛：本题考查函数零点之和，解题的关键在于利用函数10x
y =、lg y x =互为反函数，这两个函数的图象关于直线y x =对称，结合对称性来求解.
2．C
解析：C 【分析】
先求得函数()f x 的零点为1x =，进而可得()g x 的零点β满足02β≤≤，由二次函数的图象与性质即可得解. 【详解】
由题意，函数()1
2x f x e
x -=+-单调递增，且()10f =，
所以函数()f x 的零点为1x =， 设()2
3g x x ax a =--+的零点为β，
则11β-≤，则02β≤≤，
由于()2
3g x x ax a =--+必过点()1,4A -，
故要使其零点在区间[]0,2上，则()()020g g ⋅≤或()()00200022g g a ⎧>⎪
>⎪⎪
⎨∆≥⎪
⎪≤≤⎪⎩，
即()()3730a a -+-≤或()230
370430022a a a a a -+>⎧⎪-+>⎪⎪
⎨--+≥⎪
⎪≤≤⎪⎩
，所以23a ≤≤，
故选：C. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是将题目条件转化为函数()g x 零点的范围，再由二次函数的图象与性质即可得解.
3．C
解析：C 【分析】
设()2
1f x x mx =++，根据二次函数零点分布可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得
实数m 的取值范围. 【详解】
设()21f x x mx =++，则二次函数()2
1f x x mx =++的两个零点都在区间()0,2内，
由题意()()24002
2
010
2250
m m f f m ⎧∆=-≥⎪
⎪<-<⎪⎨⎪=>⎪=+>⎪⎩，解得522m -<≤-. 因此，实数m 的取值范围是5,22⎛⎤
-- ⎥⎝⎦
. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用二次方程根的分布求参数，一般分析对应二次函数图象的开口方向、判别式、对称轴以及端点函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
4．A
解析：A 【分析】
转化为当10,2
x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
时，函数3
42
x
y =-
的图象不在log a y x =的图象的上方，根据图象
列式可解得结果.【详解】
由题意知关于x的不等式
3
4log
2
x
a
x
-≤在
1
0,
2
x
⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦
恒成立，
所以当
1
0,
2
x
⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦
时，函数
3
4
2
x
y=-的图象不在log a
y x
=的图象的上方，
由图可知
01
11
log
22
a
a
<<
⎧
⎪
⎨
≥
⎪⎩
，解得
1
1
4
a
≤<.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：利用函数
3
4
2
x
y=-的图象与函数log a
y x
=的图象求解是解题关键. 5．B
解析：B
【分析】
根据指数函数的图象与性质可求解.
【详解】
根据函数图象可知函数①y=x a；②y=x b为减函数，且1
x=时，②y=1b<①y=1a，所以1
b a
<<，
根据函数图象可知函数③y=c x；④y=d x为增函数，且1
x=时，③y=c1>④y=d1，
所以1
c d
>>
故选：B
【点睛】
本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题. 6．B
解析：B
【分析】
先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解.
【详解】
由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，
2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，
ln y t =在定义域内单调递增，
234t x x =-++对称轴为3
2
x =
，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,
2⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
单调递减， 所以2
()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
故选：B 【点睛】
本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题
7．D
解析：D 【分析】
根据题意可得出(0)2,(2)2f f ==-，从而得出()f x 在R 上为减函数，从而根据不等式
()12f x ->得，(1)(2)f x f -<或(1)(0)f x f ->，从而得出12x ->或10x -<，解
出x 的范围 【详解】
解：由题意得(0)2,(2)2f f ==-， 因为函数()y f x =是定义在R 上的单调函数， 所以()f x 在R 上为减函数，
由()12f x ->，得(1)2f x ->或(1)2f x -<-， 所以(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<， 所以10x -<或12x ->， 解得1x <或3x >，
所以不等式()12f x ->的解集为()(),13,-∞+∞，
故选：D 【点睛】
关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查绝对值不等式的解法，解题的关键是把
()12f x ->转化为(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<，再利用()f x 在R 上为减函数，得
10x -<或12x ->，考查数学转化思想，属于中档题 8．B
解析：B 【分析】
计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()2
34f x f x
-⋅≥，可得出()()2
32f x
x f -≥-，再由函数()y f x =在R 上
的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】
由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=
，()()
1
121f f -=
=. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.
设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()2
34f x f x
-⋅≥，可得
()()232f x x f -≥-.
所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()2
34f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.
故选B. 【点睛】
本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9．D
解析：D 【分析】
可举出反例判断①错误；根据奇偶性的性质可判断②正确，结合选项可得答案． 【详解】
①错误，可举反例：21()31x
x f x x x ⎧=⎨
-+>⎩
，
230
()30121x x g x x x x x +⎧⎪
=-+<⎨⎪>⎩
，0()20x x h x x x -⎧=⎨>⎩，均不是增函数；
但()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数； 故①错误； ②
()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是奇函数；
()()()()[()()]2()f x g x f x h x g x h x f x ∴+++-+=为奇函数；
()f x ∴为奇函数；
同理，()g x ，()h x 均是奇函数； 故②正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义与性质，知道()f x 和()g x 均是奇函数时，()()f x g x ±也是奇函数．
10．B
解析：B 【分析】
求出A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，利用集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，分类讨论，可得结论． 【详解】
由题意，A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}， ∵集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，
①m ＜0，x 1m -＜，∴1m -≥2，∴m 12≥-，∴1
2
-≤m ＜0； ②m ＝0时，C ＝R,成立；
③m ＞0，x 1m -＞，∴1
m
-≤-1，∴m ≤1，∴0＜m ≤1， 综上所述，1
2
-≤m ≤1， 故选：B ． 【点睛】
此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
11．B
解析：B 【分析】
先求得{
}*
|421A x x N =--∈的元素个数,再求真子集个数即可.
【详解】
由{
}*
|421A x x N
=--∈,则421x --为正整数.则21x -可能的取值为0,1,2,3,
故210,1,2,3x -=±±±,故x 共7个解.即{}*
|421A x x N =--∈的元素个数为7
故A 的真子集个数为721127-= 故选：B 【点睛】
本题主要考查集合中元素个数的求解与知识点：元素个数为n 的集合的真子集有21n -个. 属于基础题型.
12．D
解析：D 【分析】
由题意得知关于x 的方程2210ax x --=只有一个实数解，分0a =和00a ≠⎧⎨∆=⎩
两种情况讨论，可得出实数a 的值. 【详解】
由题意得知关于x 的方程2210ax x --=只有一个实数解.
当0a =，{}
12102A x x ⎧⎫=--==-⎨⎬⎩⎭
，合乎题意； 当0a ≠时，则440a ∆=+=，解得1a =-. 综上所述：0a =或1-，故选D. 【点睛】
本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题.
二、填空题
13．【分析】令利用正弦函数的性质解方程得出非负根中较小的六个根根据题意得出且整理即可得出答案【详解】令得则或整理得或则非负根中较小的有则且解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范 解析：56163
ω≤<
【分析】
令()0f x =，利用正弦函数的性质解方程1sin 62
x πω⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，得出非负根中较小的六个根，根据题意，得出44
π
π
ω
≤
且
2434
πππωω+>，整理即可得出答案. 【详解】
令()0f x =，得1sin 62x πω⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
则26
6
x k π
π
ωπ+
=+或52,6
6
x k k Z π
π
ωπ+
=+
∈ 整理得2k x π
ω
=
或22,3k x k Z π
π
ω
ω
=
+
∈ 则非负根中较小的有22224240,,,,,333πππππππωωωωωωω
++
则
44
π
π
ω
≤
且
2434πππωω+> 解得：56
163
ω≤<
故答案为：56163
ω≤< 【点睛】
本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于中档题.
14．（-∞-）【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判别式及根
解析：（-∞，-12
） 【分析】 方程有两个大于1
2
的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】
解：根据题意，m 应当满足条件
2(1)40
112211(1)042
m m m m m ⎧
⎪∆=-+>⎪
-⎪->⎨
⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：1
2m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-1
2
）. 故答案为：（-∞，-12
）. 【点睛】
本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.
15．【分析】函数为复合函数且原函数为减函数根据题意需要满足一元二次函数在上是增函数且在上恒大于或等于零然后求解关于a 的不等式即可得到结果【详解】令则原函数化为此函数为定义域内的减函数要使函数在上是减函数
解析：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
【分析】
函数为复合函数,且原函数为减函数,根据题意需要满足一元二次函数2x ax a -+在()
3,+∞
上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,然后求解关于a 的不等式即可得到结果. 【详解】
令2t x ax a =-+,则原函数化为
12
()log g t t =,此函数为定义域内的减函数,要使函数
()212
log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数,则函数2t x ax a =-+在()3,+∞上是增函数,
且在()3,+∞上恒大于或等于零,即有23
2
330
a
a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩,解得92a ≤. 故答案为:9,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【点睛】
本题考查了复合函数的单调性,需要掌握复合函数的同增异减,本题还要注意对数函数的定义域是求解的前提,这里容易漏掉,需要掌握此类题目的解题方法.
16．【分析】利用换底公式化简即可【详解】设则故故答案为：【点睛】本题主要考查了指对数的互化以及换底公式的运用属于中档题 解析：
n m
【分析】
利用换底公式化简即可. 【详解】
设()34,0m n
a m n ==≠,则34log ,log m a n a ==,
故344
341
log 3log log log 31log 4log log a a a a n
a m a
====. 故答案为：n m
【点睛】
本题主要考查了指对数的互化以及换底公式的运用,属于中档题.
17．【分析】讨论的符号去绝对值得到的分段函数形式根据其函数图象及对称轴即可确定单调递减区间【详解】函数图像如下图示可知的单调递减区间为故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调区间利用函数的图象及其对称性确
解析：33
(,],[0,]44
-∞-
【分析】
讨论x 的符号去绝对值，得到()f x 的分段函数形式，根据其函数图象及对称轴，即可确定单调递减区间
【详解】
函数22
223,0()23||23,0
x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩图像如下图示
可知，()f x 的单调递减区间为3
3(,],[0,]44
-∞- 故答案为：33(,],[0,]44
-∞- 【点睛】
本题考查了函数的单调区间，利用函数的图象及其对称性确定单调区间，属于简单题
18．【分析】由表达式可知函数为奇函数则等价转换为解不等式即可【详解】因为当时则；同理当时又综上所述为奇函数则即当时解得；当时解得故的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查由分段函数解不等式函数奇偶性 解析：()
()2,02,-+∞
【分析】
由表达式可知，函数()f x 为奇函数，则()()f x f x >-等价转换为()0f x >，解不等式即可 【详解】
因为2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩
，，
，，当0x >时，0x -<，则
()()()2
222f x x x x x -=----=-+，
()()f x f x -=-；同理当0x <时，
()()()2
20,22x f x x x x x ->-=---=+，
()()f x f x -=-，又()00f =，综上所述()
f x 为奇函数，则()()()()f x f x f x f x >-⇔>-，即()20f x >，当0x >时，
()2020f x x x >⇔->，解得2x >；当0x <时，()2020f x x x >⇔-->，解得
20x -<<，故()()f x f x >-的解集为()
()2,02,-+∞
故答案为：()()2,02,-+∞
【点睛】
方法点睛：本题考查由分段函数解不等式，函数奇偶性的判断，常用以下方法： （1）对于分段函数判断奇偶性可用定义法，也可采用数形结合法，结合图象判断； （2）由函数性质解不等式可采用代数法直接运算求解，也可结合函数图象求解.
19．③④⑤【分析】取结合（1）可判断①的正误；取结合（2）可判断②的正误；利用好集合的定义可判断③④的正误；由可推导出再结合（1）可判断⑤的正误【详解】对于命题①但①错误；对于命题②但②错误；对于命题③
解析：③④⑤ 【分析】
取2x =，2y =-结合（1）可判断①的正误；取2x =结合（2）可判断②的正误；利用“好集合”的定义可判断③④的正误；由y A ，可推导出y A -∈，再结合（1）可判断
⑤的正误. 【详解】
对于命题①，2P ∈，2P -∈，但()224P --=∉，①错误；
对于命题②，2Z ∈，但1
2
Z ∉，②错误； 对于命题③④，显然，集合Q 、R 均满足（1）（2），所以，Q 、R 都是“好集合”，
③④正确； 对于命题⑤，当y
A 时，由于0A ∈，则0y y A -=-∈，
当x A ∈，则()x y x y A +=--∈，⑤正确. 故答案为：③④⑤. 【点睛】
解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．
20．【分析】先计算集合A 再根据定义得到答案【详解】或且或故答案为：【点睛】本题考查了集合的新定义问题意在考查学生的理解能力和解决问题的能力
解析：(,4)(3,2]-∞---
【分析】
先计算集合A ，再根据定义得到答案. 【详解】
{{|
2}42
x
A x x x x =<=<-+或2}x >-，{|3}
B x x =>- {|A B x x A B ⊗=∈且{}4x A B x x ∉⋂=<-或}32x -<≤-
故答案为：(,4)(3,2]-∞---
【点睛】
本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和解决问题的能力.
三、解答题
21．（1）1%，0.5%；（2）2
11
()50x y =⨯，*x ∈N ；（3）7． 【分析】 （1）1次过滤后，
11502⨯，2次过滤后，111
5022
⨯⨯，化简即可； （2）由每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半得12%(1)2x
y =⨯-，*x ∈N ；
（3）结合lg20.301=，解不等式11
()002
0.2%5x ⨯，即可得到x 的范围． 【详解】
（1）1次过滤后，溶液杂质含量111
0.011%502
y =⨯==， 2次过滤后，溶液杂质含量2111
0.0050.5%5022
y =
⨯⨯==； （2）因为每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，
所以过滤次数为*
()x x N ∈时溶液杂质含量111222%(1)()50x x y =⨯-=⨯，*x ∈N ．
（3）设至少应过滤x 次才能是产品达到市场要求，则
11
()002
0.2%5x ⨯， 即0121()10
x ，所以12
1
lg
2100 6.7
lg 2lg
x
=≈， 又*x ∈N ，所以7x ，
即至少应过滤7次才能使产品达到市场要求． 【点睛】
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
22．（1）25
1081
y x x =--+（(0,]x a ∈）；（2）当4a ≥时，该服装厂2020年的促销费用投入4万元时，利润最大；当04a <<时，该服装厂2020年的促销费用投入a 万元
时，利润最大.
【分析】
（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；
（2）对函数进行配凑，使之可用基本不等式，即可求得利润的最大值. 【详解】
（1）由题意知：每件产品的销售价格为8252m
m
+⨯ 所以()8252825m
y m m x m
+=⋅
-++825m x =+-. 182541x x ⎛
⎫=+-- ⎪
+⎝⎭251081x x =--+（(0,]x a ∈） 所以25
1081
y x x =--+（(0,]x a ∈）. （2）当4a ≥时，
由251081y x x =--+()2510911x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦
10999≤-= 当且仅当
25
11
x x =++，即4x =时取等号.又(0,]x a ∈ 当4x =时，y 有最大值；
当04a <<时，令()25
1091
f x x x =--+ 在(]0,a 上任取12,x x 使得12x x <
()()()()()1212211212252525
10910911111f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=-
--++=--
⎪ ⎪++++⎝⎭
(]()()()()
122112121225
,0,,401125,10
11x x x x x x a a x x x x ∴-∈<∴<++<∴+<<>-
+
()()()120f x f x f x ∴-<∴是(]0,a 上的增函数..
所以x a =时，y 有最大值；
答：当4a ≥时，该服装厂2020年的促销费用投入4万元时，利润最大； 当04a <<时，该服装厂2020年的促销费用投入a 万元时，利润最大.. 【点睛】
关键点睛：解题关键在于，当4a ≥时，利用均值不等式得到，
251081y x x =-
-+()2510911x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣
⎦
10999≤-=；当04
a <<时，令()25
1091
f x x x =-
-+，利用定义法判断()f x 的单调性，进而求出x a =时，y 有最大值，最后得到答案，难度属于中档题
23．（18x ；（2）min max 1(),()24
f x f x =-= 【分析】
（1）利用指数与对数不等式求出x 的范围，求出交集即可．
（2）通过x 的范围求出log 2x 的范围，化简函数表达式，通过二次函数的最值求出函数的最值即可． 【详解】
（1）由2x ≤256得x≤8，21log 2
x >得2,28x x ∴.
（2）由（18x 得
21
log 32
x ，
f （x ）＝2
log 2x ⎛⎫
⎪⎝⎭
⎝⎭
＝（log 2x ﹣log 22）(
)
2
=（log 2x ﹣1）（log 2x ﹣2）＝2
231log 24x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
当log 2x ＝
32，f （x ）min ＝﹣1
4
； 当log 2x ＝3，f （x ）max ＝2． 【点睛】
本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查换元，配方法，考查学生的计算能力，属于中档题．
24．[4,)+∞
【分析】
利用对数式的运算性质把给出的等式变形，去掉对数符号后利用基本不等式转化为关于(x +y )的二次不等式，求解后即可得到x +y 的取值范围. 【详解】
222log ()log log x y x y +=+，
x y xy ∴+=，0,0x y >>，
2
(
)2
x y x y xy +∴+=≤，当且仅当2x y ==时，等号成立。

解不等式得+4x y ≥或+0x y ≤（舍去）
【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质，考查了基本不等式,数学转化思想, 一元二次不等式的解法，是中档题.
25．（1）2；（2）证明见解析. 【分析】
（1）由题得122
k
k +=+
，解方程即得解；
（2
）利用定义法证明函数在区间)
+∞上单调递增. 【详解】
（1）由()()12f f =得122
k k +=+， 解得2k =，所以()2f x x x
=+ （2
）21x x ∀>>
()()21212122f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫
-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()1221212112222x x x x x x x x x x -⎛⎫
=-+-=-+ ⎪⎝⎭
()
()
122112
2x x x x x x -=-，
∵21x x >>，∴210x x ->，212x x >， ∴()()210f x f x ->，即()()21f x f x >， 所以函数()f x
在区间)
+∞上单调递增.
【点睛】
方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设12,x x D ∈，且12x x <；②作差，求12()()f x f x -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判
断
12()()f x f x -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.
26．（1）{}|12x x ≤≤；（2）[]4,2. 【分析】
（1）当2a =时，不等式化为2320x x -+≤，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）把不等式化为()()10x x a --≤，分类讨论，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】
（1）由题意，当2a =时，不等式()2
10x a x a -++≤，即2320x x -+≤，
即()()120x x --≤，解得12x ≤≤，所以集合{}|12A x x =≤≤. （2）由()2
10x a x a -++≤，可得()()10x x a --≤，
当1a <时，不等式()()10x x a --≤的解集为{}|1x a x ≤≤.
由集合A 是集合{}4|2x x -≤≤的真子集可得4a ≥-，所以41a -≤<， 当1a =时，不等式()()10x x a --≤的解集为{}|1x x =满足题意；
当1a >时，不等式()()10x x a --≤的解集为{}|1x x a ≤≤， 由集合A 是集合{}4|2x x -≤≤的真子集，可得2a ≤，所以11a <≤， 综上可得：42x -≤≤，即实数a 的取值范围为[]4,2-. 【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的求解及其应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，结合集合的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.。