1041 不等式的应用(一)

1041 不等式的应用（一）
一、知识要点:
1. 不等式始终贯穿在整个中学数学之中, 诸如集合问题、方程（组）的解的讨论、 函数单调性的研究、函数的定义域、值域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题， 无一不与不等式有着密切关系。

2. 不等式的应用主要有两类.
Ⅰ）一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围．这类问题所进行的必须是等价转化．
Ⅱ）一类是解决与不等式有关的实际问题．这类问题首先应认真阅读题目、理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决．
3. 运用均值不等式求最值时，要注意是否具备使用定理的条件，即＂一正二定三等＂，三者缺一不可．
二、基本训练
1、下列函数中，最小值为4的是……………………………………………… ( )
(A )x x y 4+= (B ))0(sin 4sin π<<+=x x
x y (C ) x x e e y -+=4 (D ) )1(3log 4log 3<+=x x y x
1、若x +2y =4,且x >0,y >0,则 lg x +lg y 的最大值为 ………………………………（ ）
（A ）2 （B ）2lg2 （C ）lg2 （D ）2
1lg 2、设a,b 为实数，且a +b =3,则2a +2b 的最小值是 ………………………………（ ）
（A ）6 （B ）24 （C ）22 （D ）8
3、函数)0( 15
≥++=x x x y 图象上最低点的坐标为…………………………（ ）
（A ）（0，5） (B ) （3，4） (C ) （3，2） (D ) （8，
313） 4、x 、y ∈R +，那么不等式y x a y x +⋅≤+恒成立的最小正数a = .
5、(1)若xy y x 则,2=+的最大值是 ；(2)函数tgx +ctgx 的值域是 ；
6.现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐在5%以上，6%以下的食盐水，设需要加 入含盐4%的食盐水x 克，则x 的范围是 .
三、例题分析
例1、（2004年南通市模拟）已知函数32()(,)f x x ax b a b R =-++∈
（1） 若函数()y f x =图象上任意不同的两点连线斜率小于1，求证：a <
（2） 若01[,]x ∈，函数()y f x =上任一点切线斜率为k ，议论1||k ≤的充要条件。

答案：1a ≤≤1号P208例4）
例2、有一位同学写了一个不等式: c c c x c
x +≥+++1122 (x ∈R)
(1) 他发现当c=1,2,3时, 不等式都成立. 试问: 不等式是否对任意的正数c 都成立?为什么?
(2) 对于已知的正数c, 这位同学还发现, 把不等式右边的”c c
+1”改成某些值, 如－c, 0等, 不
等式总是成立的.试求出所有的这些值的集合M.
例3、函数112
()bx f x a =+⋅的定义域为R ，且0*lim ()()n f n n N →∞-=∈ （1） 求证：00,a b ><；
（2） 若415(),f =且()f x 在01[,]上的最小值为12
， 求证：1111222
*()()...()()n f f f n n n N ++++>+-∈ （提示：名师1号P398，第15题）
四、同步练习1041 不等式的应用（一）。