高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.3三角函数的图像与性质课件文北师大版
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
3 4
cos������-
2
sin������ = √2cos ������ + 4 ,
π
(方法 2)∵f(x)在 2kπ≤x+4≤2kπ+π,k∈Z 上为减函数,
π
∴2kπ-4≤x≤2kπ+4π,k∈Z,
令 k=0 可知 x∈
π
-13考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)函数 y= cos������- 2 的定义域为 π π A. - , B.
6 6 π π ������π- 6 ,������π + 6 (k∈Z) π π 2������π- 6 ,2������π + 6 (k∈Z)
√3
( C )
C. D.R π π (2)已知函数 f(x)=sin ������ + ,其中 x∈ - ,������ ,若 f(x)的值域是 - ,1 ,则 α 的取值范围是( D ) 2 A. 0, 3 π 2π C. 2 , 3 (3)函数
1 x≥2,
sin2������ > 0, (3)由题意可知 9-������ 2 ≥ 0, π ������π < ������ < ������π + 2 ,������∈Z, π π 得 故-3≤x<-2或 0<x<2. -3 ≤ ������ ≤ 3. 因此,函数 y=lg(sin 2x)+ 9-������ 2 的定义域为 -3,- 2 ∪ 0, 2 .
π
,
√2
故函数 f(x)=sin
2 π 2������- 4
,1 , 在区间 0, 2 上的最小值为- 2 .
π
-9知识梳理
考点自诊
4.(2018全国1,文8)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( B ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
解析:(1)∵cos x- 2 ≥0,得 cos x≥ 2 ,∴2kπ-6≤x≤2kπ+6,k∈Z.
π 3 π 6 π x+6
√3
√3
π
π
(2)若- ≤x≤α,则- ≤x+ ≤α+ ,
(3)解析式表示过 A(cos x,sin x),B(3,4)的直线的斜率,则过定点 (3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,设切线的斜率为 k,则直线 方程为 y-4=k(x-3),即 kx-y-3k+4=0,
π π
- 2 ,3 .3源自-12考点1考点2
考点3
思考如何求三角函数的定义域?求三角函数值域的常用方法有哪 些? 解题心得1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组),解三 角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图像. 2.求三角函数值域、最值的方法: (1)利用sin x和cos x的值域直接求. (2)形如y=asin x+bcos x的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式求 值域;形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t 的二次函数求值域(最值). (3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.
π ,0 2 2 2
, (π,-1)
,
3π ,0 2
,(2π,1).
-3知识梳理
考点自诊
2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质
函数 图象
y=sin x
y=cos x
y=tan x
定义域 值域 周期性 奇偶性
R
[-1,1] 2π 奇函数
R
[-1,1] 2π 偶函数
������ x∈R,且 π x≠kπ+ 2 ,k∈Z R
- 2 ,3 .
3√3
-11考点1
考点2
考点3
解析: (1)由 2sin x-1≥0,得 sin
π 5π 故 2kπ+6≤x≤2kπ+ 6 (k∈Z). π π π 5π (2)因为 x∈ 0, 2 ,所以 2x-6 ∈ - 6 , 6 , π 1 所以 sin 2������- 6 ∈ - 2 ,1 , π 3 所以 3sin 2������- 6 ∈ - 2 ,3 , π 所以函数 f(x)在区间 0, 2 上的值域是
π 奇函数
-4知识梳理
考点自诊
函数
y=sin x
π π
y=cos x
y=tan x
π 2
单调递增 2������π- 2 , 2������π + 2 (k [2kπ-π,2kπ](k∈Z) 区间 ∈Z) 单调递减 区间
3π 2
������π- 2 , ������π + (k∈Z)
π
2������π + 2 , 2������π + (k∈Z)
π 5π B. 2������π + 6 ,2������π + 6 (k∈Z) π 5π C. 2������π + ,2������π + (k∈Z) 6 6 π 5π D. ������π + 6 ,������π + 6 (k∈Z) π π (2)函数 f(x)=3sin 2������- 6 在区间 0, 2 上的值域为( B ) 3 3 3 3√3 3√3 A. - 2 , 2 B. - 2 ,3 C. - 2 , 2 D. π π 3 ,∪ 0 , 2 (3)函数 y=lg(sin 2x)+ 9-������ 的定义域为 2 2 π 5π , 6 6
,k∈Z,
-17考点1
考点2
考点3
考向2 知三角函数的单调性求参数值 例3(2018全国2,文10)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最 大值是( C )
A.4
π
B.2
π
√2
C. 4
2
3π
√2
D.π
解析:∵f(x)=cos x-sin x=√2 (方法 1)作图如图所示. 易知 amax= π.
|-3������+4| ������2 +1
=1,
6± √6 6+√6 ,∴kmax= , 4 4 4-sin������ 6+√6 则函数 y= 的最大值为 4 . 3-cos������
∴k=
-15考点1
考点2
考点3
三角函数的单调性(多考向) 考向1 求三角函数的单调区间
例 2(1)已知函数 f(x)=√3sin ωx+cos ωx(ω>0),y=f(x)的图像与直 线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x)的递增区间是( C ) A. ������πB. C. D.
2π π
-6知识梳理
考点自诊
1.函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T= ,函数 y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 T=|ω |.
2.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的 两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间 的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离 是半个周期.
D.2π
tan������ 解析:f(x)= 1+tan2 ������
=
=
1 sin 2
2x,
∴f(x)的最小正周期是 π,故选 C.
3.函数 f(x)=sin 2������A.-1 B.- 2
π 4
√2
π 4
在区间 0,
π 2 √2 C. 2
π
上的最小值为( B ) D.0
π 3π 4
解析:由已知 x∈ 0, 2 ,得 2x-4 ∈ - 4 , 所以 sin 2������∈ √2
解析:因为 f(x)=2cos x-(1-cos x)+2=3cos = cos 2x+ ,
3 2 5 2 2π 2
2
2
2
1+cos2������ x+1=3× 2 +1
所以函数 f(x)的最小正周期为 =π,当 cos 2x=1 时,f(x)max=4.
5.函数 f(x)=sin 2������
π π
π 1 6 3 π π
4-sin������ y= 的最大值为 3-cos������
B. 3 , 2 π D. 3 ,π
6+√6 4
.
-14考点1
考点2
考点3
π π 6 6 π π 7π π 1 ∵当 x+6=-6或 = 6 时,sin ������ + 6 =-2, 1 π π 7π π ∴要使 f(x)的值域是 - 2 ,1 ,则有2≤α+6 ≤ 6 , 3 ≤α≤π, π 即 α 的取值范围是 3 ,π .
π 2
π
[2kπ,2kπ+π](k∈Z) 无
������π + 2 ,0 (k∈Z)
π ������π 2
对称中心 (kπ,0)(k∈Z) 对称轴 x=kπ+ (k∈Z)
,0 (k∈Z)
x=kπ(k∈Z)
无
-5知识梳理
考点自诊
3.周期函数的定义 对于函数 f(x),如果存在一个 非零常数T ,使得当 x 取定义域 内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫做周期函数. 非零常数 T 叫做这个函数的周期;函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的周期均为 T=|������|;函数 y=Atan(ωx+φ)的周期为 T=|������|.
π 5π ,������π + ,k∈Z 12 12 5π 11π ������π + ,������π + ,k∈Z 12 12 π π ������π- ,������π + ,k∈Z 3 6 π 2π ������π + 6 ,������π + 3 ,k∈Z
(2)已知 ω>0,函数 f(x)=sin ������������ + 4 在 2 ,π 内单调递减,则 ω 的 取值范围是( A ) A. ,
4.3
三角函数的图像与性质
-2知识梳理
考点自诊
1.正弦函数的“五点法”作图 (1)在正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是: π 3π (0,0) , ,1 , (π,0) , ,-1 , (2π,0) . (2)在余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是: (0,1),
1 5 2 4
π
π
B. ,
1 3 2 4
C. 0,
1 2
D.(0,2]
-16考点1
考点2
考点3
解析: (1)f(x)=√3sin ωx+cos ωx=2sin ������������ +
2π ������
由函数 y=f(x)的图像与直线 y=2 的两个相邻交点的距离为 π,知 函数 y=f(x)的最小正周期 T=π,所以 T= =π,解得 ω=2.即 f(x)=2sin 2������ +
π π π 6
π 6
.
.
π π π π π π π π
令 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2(k∈Z),得 kπ-3≤x≤kπ+6(k∈Z). (2)由2<x<π,得2ω+4<ωx+4<πω+4,
π π 由题意,知 + ,π������ + ⊆ 4 4 π π π ������ + ≥ 2������π + ,������∈Z 4 2 ∴ 2 π 3π π������ + ≤ 2������π + ,������∈Z, 4 2 1 5 ∴4k+2≤ω≤2k+4,k∈Z, 1 5 当 k=0 时,2≤ω≤4,故选 A. π ������ 2 π 3π 2������π + ,2������π + 2 2
π + 3
∈Z) 图像的对称轴方程为 x= 2 + 12(k.
π π x=kπ+2(k∈Z),
������π
π
解析:∵函数 y=sin x 图像的对称轴方程为
∴2x+3=kπ+2,则 x= 2 + 12(k∈Z).
������π
-10考点1
考点2
考点3
三角函数的定义域、值域
例 1(1)函数 y= 2sin������-1的定义域为( B ) A.
-8知识梳理
考点自诊
2.(2018 全国 3,文 6)函数 f(x)= A. 4
π
B. 2
π
tan������ 的最小正周期为( 1+tan2 ������
C )
C.π
sin������ sin������cos������ cos������ = sin2 ������ cos2 ������+sin2 ������ 1+ 2 cos ������
������ |ω |
2������
-7知识梳理
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)y=cos x在第一、第二象限内是减函数. ( × ) (2)若y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值是k+1. ( × ) (3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数 f(x)的周期. ( √ ) π (4)函数y=sin x图像的对称轴方程为x=2kπ+ 2 (k∈Z).( × ) (5)函数y=tan x在整个定义域上是增函数. ( × )
cos������-
2
sin������ = √2cos ������ + 4 ,
π
(方法 2)∵f(x)在 2kπ≤x+4≤2kπ+π,k∈Z 上为减函数,
π
∴2kπ-4≤x≤2kπ+4π,k∈Z,
令 k=0 可知 x∈
π
-13考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)函数 y= cos������- 2 的定义域为 π π A. - , B.
6 6 π π ������π- 6 ,������π + 6 (k∈Z) π π 2������π- 6 ,2������π + 6 (k∈Z)
√3
( C )
C. D.R π π (2)已知函数 f(x)=sin ������ + ,其中 x∈ - ,������ ,若 f(x)的值域是 - ,1 ,则 α 的取值范围是( D ) 2 A. 0, 3 π 2π C. 2 , 3 (3)函数
1 x≥2,
sin2������ > 0, (3)由题意可知 9-������ 2 ≥ 0, π ������π < ������ < ������π + 2 ,������∈Z, π π 得 故-3≤x<-2或 0<x<2. -3 ≤ ������ ≤ 3. 因此,函数 y=lg(sin 2x)+ 9-������ 2 的定义域为 -3,- 2 ∪ 0, 2 .
π
,
√2
故函数 f(x)=sin
2 π 2������- 4
,1 , 在区间 0, 2 上的最小值为- 2 .
π
-9知识梳理
考点自诊
4.(2018全国1,文8)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( B ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
解析:(1)∵cos x- 2 ≥0,得 cos x≥ 2 ,∴2kπ-6≤x≤2kπ+6,k∈Z.
π 3 π 6 π x+6
√3
√3
π
π
(2)若- ≤x≤α,则- ≤x+ ≤α+ ,
(3)解析式表示过 A(cos x,sin x),B(3,4)的直线的斜率,则过定点 (3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,设切线的斜率为 k,则直线 方程为 y-4=k(x-3),即 kx-y-3k+4=0,
π π
- 2 ,3 .3源自-12考点1考点2
考点3
思考如何求三角函数的定义域?求三角函数值域的常用方法有哪 些? 解题心得1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组),解三 角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图像. 2.求三角函数值域、最值的方法: (1)利用sin x和cos x的值域直接求. (2)形如y=asin x+bcos x的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式求 值域;形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t 的二次函数求值域(最值). (3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.
π ,0 2 2 2
, (π,-1)
,
3π ,0 2
,(2π,1).
-3知识梳理
考点自诊
2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质
函数 图象
y=sin x
y=cos x
y=tan x
定义域 值域 周期性 奇偶性
R
[-1,1] 2π 奇函数
R
[-1,1] 2π 偶函数
������ x∈R,且 π x≠kπ+ 2 ,k∈Z R
- 2 ,3 .
3√3
-11考点1
考点2
考点3
解析: (1)由 2sin x-1≥0,得 sin
π 5π 故 2kπ+6≤x≤2kπ+ 6 (k∈Z). π π π 5π (2)因为 x∈ 0, 2 ,所以 2x-6 ∈ - 6 , 6 , π 1 所以 sin 2������- 6 ∈ - 2 ,1 , π 3 所以 3sin 2������- 6 ∈ - 2 ,3 , π 所以函数 f(x)在区间 0, 2 上的值域是
π 奇函数
-4知识梳理
考点自诊
函数
y=sin x
π π
y=cos x
y=tan x
π 2
单调递增 2������π- 2 , 2������π + 2 (k [2kπ-π,2kπ](k∈Z) 区间 ∈Z) 单调递减 区间
3π 2
������π- 2 , ������π + (k∈Z)
π
2������π + 2 , 2������π + (k∈Z)
π 5π B. 2������π + 6 ,2������π + 6 (k∈Z) π 5π C. 2������π + ,2������π + (k∈Z) 6 6 π 5π D. ������π + 6 ,������π + 6 (k∈Z) π π (2)函数 f(x)=3sin 2������- 6 在区间 0, 2 上的值域为( B ) 3 3 3 3√3 3√3 A. - 2 , 2 B. - 2 ,3 C. - 2 , 2 D. π π 3 ,∪ 0 , 2 (3)函数 y=lg(sin 2x)+ 9-������ 的定义域为 2 2 π 5π , 6 6
,k∈Z,
-17考点1
考点2
考点3
考向2 知三角函数的单调性求参数值 例3(2018全国2,文10)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最 大值是( C )
A.4
π
B.2
π
√2
C. 4
2
3π
√2
D.π
解析:∵f(x)=cos x-sin x=√2 (方法 1)作图如图所示. 易知 amax= π.
|-3������+4| ������2 +1
=1,
6± √6 6+√6 ,∴kmax= , 4 4 4-sin������ 6+√6 则函数 y= 的最大值为 4 . 3-cos������
∴k=
-15考点1
考点2
考点3
三角函数的单调性(多考向) 考向1 求三角函数的单调区间
例 2(1)已知函数 f(x)=√3sin ωx+cos ωx(ω>0),y=f(x)的图像与直 线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x)的递增区间是( C ) A. ������πB. C. D.
2π π
-6知识梳理
考点自诊
1.函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T= ,函数 y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 T=|ω |.
2.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的 两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间 的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离 是半个周期.
D.2π
tan������ 解析:f(x)= 1+tan2 ������
=
=
1 sin 2
2x,
∴f(x)的最小正周期是 π,故选 C.
3.函数 f(x)=sin 2������A.-1 B.- 2
π 4
√2
π 4
在区间 0,
π 2 √2 C. 2
π
上的最小值为( B ) D.0
π 3π 4
解析:由已知 x∈ 0, 2 ,得 2x-4 ∈ - 4 , 所以 sin 2������∈ √2
解析:因为 f(x)=2cos x-(1-cos x)+2=3cos = cos 2x+ ,
3 2 5 2 2π 2
2
2
2
1+cos2������ x+1=3× 2 +1
所以函数 f(x)的最小正周期为 =π,当 cos 2x=1 时,f(x)max=4.
5.函数 f(x)=sin 2������
π π
π 1 6 3 π π
4-sin������ y= 的最大值为 3-cos������
B. 3 , 2 π D. 3 ,π
6+√6 4
.
-14考点1
考点2
考点3
π π 6 6 π π 7π π 1 ∵当 x+6=-6或 = 6 时,sin ������ + 6 =-2, 1 π π 7π π ∴要使 f(x)的值域是 - 2 ,1 ,则有2≤α+6 ≤ 6 , 3 ≤α≤π, π 即 α 的取值范围是 3 ,π .
π 2
π
[2kπ,2kπ+π](k∈Z) 无
������π + 2 ,0 (k∈Z)
π ������π 2
对称中心 (kπ,0)(k∈Z) 对称轴 x=kπ+ (k∈Z)
,0 (k∈Z)
x=kπ(k∈Z)
无
-5知识梳理
考点自诊
3.周期函数的定义 对于函数 f(x),如果存在一个 非零常数T ,使得当 x 取定义域 内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫做周期函数. 非零常数 T 叫做这个函数的周期;函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的周期均为 T=|������|;函数 y=Atan(ωx+φ)的周期为 T=|������|.
π 5π ,������π + ,k∈Z 12 12 5π 11π ������π + ,������π + ,k∈Z 12 12 π π ������π- ,������π + ,k∈Z 3 6 π 2π ������π + 6 ,������π + 3 ,k∈Z
(2)已知 ω>0,函数 f(x)=sin ������������ + 4 在 2 ,π 内单调递减,则 ω 的 取值范围是( A ) A. ,
4.3
三角函数的图像与性质
-2知识梳理
考点自诊
1.正弦函数的“五点法”作图 (1)在正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是: π 3π (0,0) , ,1 , (π,0) , ,-1 , (2π,0) . (2)在余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是: (0,1),
1 5 2 4
π
π
B. ,
1 3 2 4
C. 0,
1 2
D.(0,2]
-16考点1
考点2
考点3
解析: (1)f(x)=√3sin ωx+cos ωx=2sin ������������ +
2π ������
由函数 y=f(x)的图像与直线 y=2 的两个相邻交点的距离为 π,知 函数 y=f(x)的最小正周期 T=π,所以 T= =π,解得 ω=2.即 f(x)=2sin 2������ +
π π π 6
π 6
.
.
π π π π π π π π
令 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2(k∈Z),得 kπ-3≤x≤kπ+6(k∈Z). (2)由2<x<π,得2ω+4<ωx+4<πω+4,
π π 由题意,知 + ,π������ + ⊆ 4 4 π π π ������ + ≥ 2������π + ,������∈Z 4 2 ∴ 2 π 3π π������ + ≤ 2������π + ,������∈Z, 4 2 1 5 ∴4k+2≤ω≤2k+4,k∈Z, 1 5 当 k=0 时,2≤ω≤4,故选 A. π ������ 2 π 3π 2������π + ,2������π + 2 2
π + 3
∈Z) 图像的对称轴方程为 x= 2 + 12(k.
π π x=kπ+2(k∈Z),
������π
π
解析:∵函数 y=sin x 图像的对称轴方程为
∴2x+3=kπ+2,则 x= 2 + 12(k∈Z).
������π
-10考点1
考点2
考点3
三角函数的定义域、值域
例 1(1)函数 y= 2sin������-1的定义域为( B ) A.
-8知识梳理
考点自诊
2.(2018 全国 3,文 6)函数 f(x)= A. 4
π
B. 2
π
tan������ 的最小正周期为( 1+tan2 ������
C )
C.π
sin������ sin������cos������ cos������ = sin2 ������ cos2 ������+sin2 ������ 1+ 2 cos ������
������ |ω |
2������
-7知识梳理
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)y=cos x在第一、第二象限内是减函数. ( × ) (2)若y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值是k+1. ( × ) (3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数 f(x)的周期. ( √ ) π (4)函数y=sin x图像的对称轴方程为x=2kπ+ 2 (k∈Z).( × ) (5)函数y=tan x在整个定义域上是增函数. ( × )