二次型与极值

二次型与极值
摘要
n元函数极值的判别法很多，在本文中我们将利用二次型来判别n元函数的普通极值与条件极值并应用到二元函数上。

首先，再讨论二次型与普通极值的关系时我们先讨论极值存在的必要条件，再讨论极值存在的充分条件（第一充分条件和第二充分条件），在讨论第一充分条件是利用函数的连续性，而在讨论极值存在的第二充分条件中以二阶偏导数和泰勒展开式的知识为基础，利用二次型的性质得出极值的存在性和为何种极值就取决于二次型的正定性和负定性，当二次型为正定时多元函数此时取极小值；当二次型为负定时多元函数此时取极大值；当二次型为不定时，此时多元函数无极值。

再从多元函数的情形中得到二元函数和一元函数的极值判别法。

在讨论n元函数的条件极值问题时，利用的是拉格朗日乘数法先得出条件极值的必要条件，再根据必要条件讨论n元函数极值存在的充分条件再举一在实际问题中的条件极值的例子加以说明。

关键词：二次型，n元函数，极值，稳定点，正定性，负定性。

QUADRATIC FORM AND EXTREME V ALUE PROBLEME
OF MULTI-V ARIABLE FUNCTION
ABSTRCT
The circular function extreme value distinction law are very many, we will use in this article two time distinguished the circular function the ordinary extreme value and the condition extreme value and will apply in the dual function.
First, then discusses two time with when the ordinary extreme value relations we first discuss the extreme value existence the essential condition, then discusses the extreme value existence the in discusses the first sufficiency is uses the function the continuity, but in the discussion extreme value existence second sufficiency take two steps partial derivative and the Taylor’s expansion knowledge as the foundation，Obtains using two nature why the extreme value the existence and a kind of extreme value is decided by two qualitative and negative qualitative, when two this time are taking the minimum for fixed time the function of many variables; When two this time take the maximum value for the negative fixed time function of many variables; When two are the indefinite tenses, this time the function of many variables does not have the extreme value. Again obtains the dual function and a circular function extreme value distinction law from the function of many variables situation.
When discusses the n circular function the condition minimum problem ,uses is the Lagrange multi plicator law first obtains the condition extreme value the essential condition, then discusses the n circular function extreme value existence according to the essential condition the sufficiency to lift again one performs in the actual problem condition extreme value example to explain
KEY WORDS: Quadratic Form, Extreme Value, Multi-Variable Function, Extreme Value, Stable Point, Positive Definite Property, Negative Definite Property
目录
第一章绪论 (1)
1.1课题研究背景 (1)
1.2二次型与极值的发展及研究现状 (1)
第二章定义及相关定理 (2)
2.1定义 (2)
2.2二次型与矩阵的关系及相关定理 (2)
第三章普通极值与二次型 (4)
3.1定义 (4)
3.2极值存在的必要条件 (4)
3.3n元函数极值存在的充分条件 (5)
第四章条件极值与二次型 (9)
4.1定义 (9)
4.2条件极值存在的必要条件 (9)
4.3条件极值存在的充分条件 (11)
第五章总结和展望 (14)
5.1本文总结 (14)
5.2展望 (14)
参考文献 (15)
致谢 (16)
第一章绪论
1.1课题研究背景
怎样去求一个n元函数的极值，很多论文和教材都有不同的方法，其中最常见的是用二次型来判别极值。

由泰勒展式和二阶偏导得出的n元函数的极值与二次型的正定，负定性有关，当二次型不定时n元函数不取得极值，以及教材中所涉及的判断一元函数极值存在的求导法，在讨论n元函数的条件极值存在的必要条件和充分条件时利用泰勒展式和二阶偏导得出条件极值存在的必要条件和充分条件，这些论文或教材的讨论比较零乱，形式不一，内容不全面。

本文将在其他论文和教材的论述基础上进行整理，修正和提出自己的观点。

，
1.2发展及研究现状
目前纵多著作中所讨论的极值问题尤以二次型最多，有些著作讨论一元函数的情形，或n 元函数的情形并应用到二元函数上。

在讨论n元函数的普通极值时得出判别n元函数极值存在的必要条件（极值点是稳定点但稳定点不一定是极值点），再讨论函数存在的充分条件（第一充分条件和第二充分条件），利用泰勒展式和二阶偏导得出n元函数极值存在与二次型的正定，负定有关。

泰勒展式的形式不同（利用梯度知识或模长知识），并将n元函数的情形运用到二元函数上。

在讨论元函数的条件极值时利用的是拉格朗日乘数法，也是利用泰勒展式得出条件极值存在的必要和充分条件，最后利用二次型的正定性和负定性来判别条件极的存在和极值的类型。

第二章 定义及相关定理
§2-1定义
定义 1 设n 元函数()f x =1(,
)n f x x 在点000(,)n x x x =邻近有定义，如果存在
ξ0>，使得0()()f x f x ≥（或者0()()f x f x ≤）,0(,)x U x ε∀∈那么我们就说函数f 在
点0
x 取得极小值（极大值）；如果存在ξ0,>使得0()()f x f x >，0(,)x U x ε∀∈（或者
0()()f x f x <）那么我们就说函数f 在点0x 取得严格极小值（严格极大值）极小值与极大
值都称极值，严格极大值与严格极小值都称严格极值。

定义2 设为R 为一个数域，12,,
,n x x x 的一个系数在数域R 中二次多项式
2212111121211222(,,
)22n n n f x x x c x c x x c x x c x =++
++
2222n n nn nn c x x c x +
++
+， （1）
称为数域R 上的一个n 元二次型或简称二次型。

如：222112132233234x x x x x x x x x +++++叫做有理数域Q 上的三元二次型。

§2-2二次型与矩阵的关系及相关定理
令ij cji c c =又由于ij ji x x =所以二次型()1可以写成：
22121111212112212122222(,,
)n n n n f x x x c x c x x c x x c x x c x c x x =++++++++
2
1122n n n n nn n c x x c x x c x +++
11
n
n
i j ===∑
∑
ij i j c x x ， （2）
其中它的系数可以用一个n n ⨯矩阵来表示：111212122
212
n n n n nn n n
c c c c c c C c c c ⨯⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭它称为二次型()2的矩阵，因为ij ji c c =,,1,2,,i j n =所以'c c =我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此二
次型的矩阵都是对称的。

令12
n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
则二次型可以用矩阵的乘积来表示
()1112112122
221
2
12
n n T n n n nn n c c c x c c c x x cx x x x c c c x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
()
1112121121222211,,,n n n n n nn n c x c x c x c x c x c x c x c x =++++++
+11n
n
ij i j i j c x x ===∑∑。

故()12,,
,T n f x x x x cx =，111212122
212n n n n nn n n
c c c c c c C c c c ⨯⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭，()ij ji c c =如果二次型是正定的（负定的），那么我们就说它的系数方阵
C 是正定的（负定的）
Sylverister 定理：1211
(,,
)n
n T
n ij i j i j f x x x x cx c x x ====∑∑，()ij ji c c =为正定的充分必要条
件是：它的系数方阵C 的所有顺序主子是都大于0即：
1112
2122
0;
0;c c c c c >>1112121
22
212
;
n n n n nn
c c c c c c c c c 0;>
推论 ： ;,1
(),;n
ij i
j
ij
ji i j f x c x x c
c ==
=∑(,1,2,
)i j n =为负定的充要条件是
1112
2
112122
(1)0,(1)0,
c c c c c ->->11
121212221
2
(1)0n n n
n n nn
c c c c c c c c c ->。

第三章 n 元函数的普通极值与二次型的关系
§3-1 定义
定义1 偏导数：对于函数12()(,,)n t f x f x x x +=给变量i x 以增量i x 则函数f 的增量为1111(,
,,,,)(,
,,,
,)i i i i n i i n x f f x x x x x f x x x x --=+-假若0lim
i i x i
x f
x →∆∆存在则
此极限值为函数()f x 在点12(,,
)n x x x x 对i x 的偏导数极为
i
f
x δδ或i x f 。

若函数12()(,,)n f x f x x x =在某一个开区域R 上有对于其中一个变量的偏导数，
则该偏导数仍是12,,
n x x x 的函数，因此它可能在某一点00012(,,)n M x x x 仍有对相同变量
或不同变量的偏导数，这样的偏导数称为()f x 的二阶偏导数。

已知()f x 对i x 的一阶偏导数i i
f
f x ∂=
∂则它对i x 和j x （其中,1,2,,i j n i j =≠）的
导数记为22
ij i f f x ∂=∂，2ij i j f
f x x ∂=∂∂同样可以推出高阶偏导数：1,
11(,,1,
)s
s j j s s
f
f j j s x x ∂==∂∂
定义2：若
0i
x x f x =∂=∂，(1,2,
)i n =成立，则称0x 为()f x 的稳定点。

§3-2 极值存在的必要条件
定理1（判别极值存在的必要条件）设f 可微，若()f x 在000
012(,,
)n x x x x =取得
极值且偏导数
0()i
f
x x x δδ=存在，则()f x 在0x 处的微分为零。

证明（反证法）假设()f x 在0
x 处取得极大值，不妨设()f x 在0
x 处的微分不为0，则至少
存
在
一
个
量
i
x 使的
0()0i
f
x x x δδ=≠再设
0()0
i f x >则
000000001111000
(,,,,,)(,,,,
,)
lim lim i i n i i n x x f x x x x x f x x x x f
x x
--→→++-∆=∆∆由极限的性
质知存在0∆>>x h 使得
000000001111(,,,,
,)(,
,,,,)
0i i n i i n f x x x h x f x x x x h
--+->
即000000001111(,,,,,)(,,,,,)i i n i i n f x x x h x f x x x x --+>这与0()f x 为极大值相矛盾
则定理1成立。

同理可以证得()f x 若在0
x 取得极小值则得
0()0i
f
x x x δδ==此时的0x 称为()f x 的稳定点，由定理1知偏导数存在的函数的极值点必为稳定点，但稳定点不一定是极值点。

如函数w xyz =其中(0,0,0)是它的稳定点，但不是w xyz =的极值点。

因在点(0,0,0)处函数的值为0，在此点的任一邻域内，函数既可以取得正直也可以取得负值。

因此(0,0,0)不是函数w xyz =的极值点。

§3-3 n 元函数极值存在的充分条件
3-3-1 海赛矩阵
设n 元函数12()(,,
)n f x f x x x =在000012(,,)n x x x x =点具有二阶连续偏导数并记
为11121212201
2000000()
000()()()()()()()()
()n n n n n n n x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x f x f x f x f x f x H f x f x f x ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
此矩阵称为f 在点0
x 的Hessian 矩阵。

由二阶偏导数的连续性知0()f x H 是实对称矩阵。

3-3-2定理2（第一充分条件） 若函数12()(,,)n f x f x x x =在000012(,,
)n x x x x =处连续且在00()U x 内可微，如
果
121
(,,,)()0i
n
x n i i i f
x x x x x =-<∑，（或
0121
(,,
,)()0i
n
x n i i i f
x x x x x =->∑）且
0012(,,
)()n x x x U x ∈，则函数12(,,)n f x x x 在000012(,,)n x x x x =处有极大值（或极
小值）。

证明：设n 元函数12()(,,)n f x f x x x =，000012(,,)n x x x x =00()U x ∈
令000011()((),
,()n n f t f x t x x x t x x =+-+-，[] t 0,1∈由条件知()f x 在0x 处连续
且在00()U x 内可微，所以()f t 在[] 0,1上连续且在() 0,1内可微，于是存在()s 0,1∈使得
(1)(0)()f f f s -=
即
0()()f x f x -=100000111((),
,())()x n n f x s x x x s x x x x +-+--+
00011((),
,())()n x n n n f x s x x x s x x x x ++-+--
=
10011111
(,,)()(,
,)()0n x n x n n n f x f x s
θθθθθθ⎡⎤-+
+->⎣⎦或（0<）
则0()()f x f x <或0()()f x f x >即()f x 在处取得极大值（或极小值）
3-3-3 定理3（第二充分条件） 设函数12()(,,
)n f x f x x x =在点000012(,,)n x x x x =邻近至少是二阶连续可微的，
0x 是f 的一个稳定点00(()0,1,;()0,,1,
)i ij f x i n f x i j n ====
(1)如果函数f 在点0x 的Hessian 方阵0()f x H 是正定的，那么()f x 在点0x 取得极小
值。

(2)如果函数f 在0x 的Hessian 方阵0()f x H 是负定的,那么()f x 在点0x 取得极大值。

(3)如果函数f 在点0x 的Hessian 方阵0()f x H 是不定的，那么()f x 在点0x 不取得极
值。

证明：考察函数12()(,,
)n f x f x x x =在000012(,,)n x x x x =点处的Taylor 展开式：
0001
,11()()()()()()()
2!i n
n
x i i xi xj i i j j i i j f x f x f x x x f f x x x x x ===+-+--∑∑2
0()x x ο+-
1201100000220()[(),(),
()]n x x x n n x x x x
f x f x f x f x x x ⎛⎫- ⎪- ⎪
=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
()1112121
221
2000000
0001122000()()()()()()1
,,2!
()()
()n n n n n n n x x x x x x x x x x x x n n x x x x x x f x f x f x f x f x f x x x x x x x f x f x f x ⎛⎫
⎪ ⎪
+---
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
0110220n n x x x x x x ⎛⎫
- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭20()x x ο+-12
0000()[(),(),
()]n x x x f x f x f x f x x =+∆
02
()1()2!
T f x x H x x ο+∆∆+∆。

因此f 在点0
x 能否取得极值取决于二次型0()T f x x H x ∆∆的符号
(1)当二次型0()T f x x H x ∆∆是正定二次型（即0()f x H 是正定矩阵）即0()T
f x x H x ∆∆0>，
则在x ∆足够小时0()()0f x f x ->，则()f x 在0
x 处取得极小值。

(2) 当二次型0()T f x x H x ∆∆是负定二次型（即0()f x H 是负定矩阵）即0()T
f x x H x ∆∆0<，
则在x ∆足够小时0()()0f x f x -<，则()f x 在0
x 处取得极大值。

(3) 当0()f x H 不定时，则0()()f x f x -的符号是不定的，则无极值。

例1 三元函数2
2
2
(,,)23246f x y z x y z x y z =++++-求它的极值。

解由2201
44016601x y z f x x f y y f z z =+==-⎧⎧⎪⎪
=+=⇒=-⎨⎨⎪⎪=-==-⎩⎩
，
⇒ 稳定点 0
(1,1,1)x =---
00000()2,()0,()0,()0,()4xx xy xz yx yy f x f x f x f x f x ===== 0000()0,()0,()0,()6,yz zx zy zz f x f x f x f x ====
可得0()
200040006f x H ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
又2002020,80,040004006>=>>
所以，0()f x H 是正定的则(,,)f x y z 在点0(1,1,1)x =---处取得极小值即
222(1,1,1)(1)2(1)312(1)4(1)f ---=-+⨯-+⨯+⨯-+⨯-
616-⨯=-
3-3-4 当f 为二元函数
对二元函数(,)z f x y =在稳定点00(,)x y 处00(,)0x f x y =00(,)0y f x y =，令
000000(,),(,)(,),xx xy yx u f x y v f x y f x y === 00(,),yy w f x y =
（1）当0()f x H u v
v w
=
正定时，即20,0u uw v >->，则函数(,)z f x y =，在点00(,)x y 处取得极小值。

（2）当0()f x H u v
v w
=
负定时，即20,0u uw v <->，则函数(,)z f x y = 在点00(,)x y 处取得极大值。

（3）在二次矩阵0()
f x H u v v w
=
中因为2
0uw v ->，,u w 中至少有一个不为0或0u w ==时函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处不取得极值。

3-3-5 当()f x 为一元函数
若()f x 在点0
x 处有二阶连续的偏导数且'0
()0f x =
（1）当''0
()0f x >时即0()f x H =''0()0f x ⎡⎤>⎣⎦时()f x 在点0x 处取得极小值。

（2）当''0
()0f x <时即0()f x H =''0()0f x ⎡⎤<⎣⎦
时()f x 在点0x 处取得极大值。

第四章 n 元函数的条件极值与拉格朗日乘数法
§4-1 定义
定义1 目标函数：在实际问题中我们要求某个函数使得其总能取得的值尽可能的大或小，来得到最好的效益，我们称这种能反映我们所期望的效益的函数为目标函数。

定义2条件极值：在实际问题中，有时要考察这样的目标函数
12()(,,
)n t f x f x x x +=， (1)
它的变元必须满足一定的约束条件
1111()(,,)0
()(,
,)0
n t t
t n t f x f x x f x f x x ++==⎧⎪⎨
⎪==⎩， （2）
我们有时需要求目标函数（1）在条件（2）的约束下的极值这样的极值称为条件极值。

§4-2 条件极值存在的必要条件
4-2-1 在讨论之前先假定(1)和(2)中的函数均连续可微且(2)中的各函数满足以下正则条件
1
111n t t t n t f f x x rank t f f x x δδδδδδδδ++⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，（3）
rank 即表示矩阵的秩，条件（3）在一定的情况下要变换形式，假定在所涉及的点邻
近有
()
()
11,,0,,t n n t f f x x ++∂≠∂（4）于是在这些点附近由（2）可以解出 1111(,,)
(,
,)
n n n t
t n x g x x x g x x ++=⎧⎪⎨
⎪=⎩，（5）
把（5）代入（1）可以得到这样一个函数
12(,,)n F x x x =1(,,n f x x 11(,,),n g x x 1,(,,))t n g x x （6）
于是条件极值问题就转化为求目标函数（6）的无条件极值问题，然而在实际运用中困难很大，因为从方程组（2）中解出（5）不容易。

4.2.2 我们可以采用一种简易的处理方法即拉格朗日提出的待定系数法：首先要定义一个含有t 个待定乘数12,,
t λλλ的辅助函数（7）其次证明目标函数（1）在条件（2）的
约束下的极值点都是这辅助函数的稳定点。

定理4 目标函数（1）在条件（2）的约束下在点12(,,)n t b b b b +=达到极值，那么存
在12(,,
)t
t R λλλλ=∈使得(,)b λ是辅助函数（7）1
(,)()()t
r r r F x f x f x λλ==+∑的稳定点
即b 和λ应满足方程组：
1()()()0,1,()0,1,t
r r
r k k r f b f b b k n t
x x f b r t λ=∂∂⎧+==+⎪∂∂⎨⎪==⎩
∑（8）
证明：如前所述，所讨论的条件极值问题等价于函数（6）的无条件极值问题，因而在点12(,,
,)n b b b b =处应有0,1,i
g
i n x ∂==∂即10,1,
,t
j
j i n j i
g f f i n x x x =+∂∂∂+==∂∂∂∑（9）
而
i f x ∂∂和n j
f x +∂∂均在12(,,,)n t b b b +处取值，但
j i
g x ∂∂在12(,,,)n b b b 处取值，
1,,,1,
,i n j t ==假定以后遇到类似的情形，同样去理解，由于计算隐函数偏导数的麻
烦，有必要消去（9）中的
j i
g x ∂∂，我们可以用下面一些恒等式：
1111(,,(,,),,(,,))0r n n t n U x x g x x g x x =，(1,
)r t =
对这些恒等式两边对i x (1,
)i n =求偏导得到
10,1,,,1t j
r r j i n j i
g u u r t i n x x x =+∂∂∂+===∂∂∂∑（10）将（10）中的各式分别乘以待定乘
数然后加到（9）上去，可以得到：
111()0(1)t t t
j r r r r r j r i i n i n j i
g u u f f i n x x x x x λλ===++∂∂∂∂∂+++==∂∂∂∂∂∑∑∑（11） 因为
()
()
111,()0,((,
,),,t n t n n t u u b b b b x x +++∂≠=∂我们可选择12,,t λλλ使得
1()()0t
r r r n i n j
u f b b x x λ=++∂∂+=∂∂∑ （12） 对于这样选择的12,,
t λλλ从（11）式又可以得到
1
()()0,1,,t
r r r i i u f
b b i n x x λ=∂∂+==∂∂∑（13）
由（12）和（13）我们得到约束极值的必要条件：存在12(,,)t t R λλλλ=∈使得
(,)b λ适合方程组
1(,)()()0,1,,(,)()0,1,,t
r r r r k k
r r
u F
f b b b k n t
x x x F b U b r t
λλλλ=∂∂∂⎧=+==+⎪∂∂∂⎪⎨
∂⎪===⎪∂⎩∑（14）
§4-3 条件极值存在的充分条件
为了讨论条件极值的充分条件的方便，我们将满足条件（2）的点X 的集合记为P ，设
点b 满足定理4中所述的必要条件，对于P 上邻近于b 的点X ，记h x b =-则有
22
1,11()()()()()2n t
n t k l k k k l k l k
f f f b h f b b h b h h h x x x ο++==∂∂+-=++∂∂∂∑∑，
（15） 由于展式中的一阶导不一定为0，所以不能利用二阶导来判别极值是否存在，为了便于讨论，我们设法从（15）式中消去一阶项,b P ∈,b h P +∈应有
0=()(),1,
,r r U b h U b r t +-=用泰勒公式展开即得
22
1,110()()()1,
,2n t
n t r r k l k k k l k
l k u u b h b h h h r t x x x ο++==∂∂=++=∂∂∂∑∑，
（16） 将（16）式中的各项分别乘以12,,
t λλλ，然后加到（15）式上 （其中b 和λ满足条
件（8））可以得到：22
,11()()(,)()2n t l k k l l k F f b h f b b h h h x x λο+=∂+-=+∂∂∑通过考察上式中的
二次型2,1(,)n t
l k k l l k
F
b h h x x λ+=∂∂∂∑得到以下关于条件极值的充分条件：
定理5设（1）和（2）中的各函数至少是二阶连续且可微的，又设b 和λ满足必要条件
（8）并记1(,)()()t
r r r F x f x u x λλ==+∑如果方阵2,1
(,)n t
l k k l F b x x λ+=⎛⎫
∂ ⎪
∂∂⎝⎭
是正定的（负定的），
那么目标函数（1）在条件（2）的约束下在b 点取得严格极小值（严格极大值）。

例2曲线230(0,0)y x x y -=><与直线19
027
x y --
=之间距离最短的两点位置。

解：设曲线上的点为(,)x y ，直线上的点为(,)a b 则这两点间的距离为
l =222()()l x a y b =-+-，(0)l >
下面将采用拉格朗日乘数法求l 的最小值。

令2
2
3
1219(,,,)()()27
F x y a b l y x a b λλ=+-+--
2
2
2
3
1219()()()(27
x a y b y x a b λλ=-+-+-+--
） 由2112223
2()30,
2()20,
2()0,
2()0,0(0,0),
19
0.27x y a b F x a x F y b y F x a F y b y x x y a b λλλλ⎧=--=⎪
=--=⎪⎪=--+=⎪
⎪=---=⎨-=>>⎪⎪⎪--=⎪
⎪⎩解得124,98,2713,18
1,541,545
.
9x y a b λλ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎪⎪=-⎪⎩
得到稳定点0
48131
(,,,)(,
,,)9271854
U x y a b ==又因为 126,0,2,0,xx xy xa xb F x F F F λ=-==-=10,22,0,2yx yy ya yb F F F F λ==+==- 2,0,2,0,ax ay aa ay F F F F =-===0,2,0,2,bx by ba bb F F F F ==-==
019()26,2xx F u x λ=-=11
228
yy F λ=+=所以Hessian 矩阵为
0()
902021002820200202f u H ⎛⎫
- ⎪ ⎪
⎪-= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
123902
92
09
1
820,0,0
0012
830
20
2
8
H H H -=>=
>==>-75,04
H =-< 此时的矩阵既不正定也不负定，由于只有一个稳定点且问题本身决定它一定能够取得最小值，即在稳定点处能取得最小值，则曲线上的点48(,
)927和直线上的点131
(,)1854
即为所求。

第五章 总结和展望
§5-1 本文总结
本文正文部分共分三章：第一章介绍极值和二次型的定义及相关的定理推论，第 二章简介二次型与普通极值的关系主要系统介绍极值存在的必要条件和第一，第二充分件， 并应用到二元和一元函数的情形，特举一例说明二次型判别法的不足之处，第三章主要介绍 条件极值与拉格朗日乘数法，在理论上我们可以用代入法把n 元函数的条件极值转化为无条 件极值的问题进行解决，但在实际运用中很难解出隐函数，于是就提出了拉格朗日乘数法， 采用泰勒展开式我们可以得出条件极值存在的必要和充分条件（利用二次型来判别条件极 值）。

总之本文是在原来所讨论的零散的关于极值的知识点上进行肯定，整理，加工并在此 基础上提出自己的观点。

§5-2 展望
用二次型的正定和负定型判别n 元函数的极值问题虽然是个好方法，但具有一定的局限性，因为充分条件对二次型正定和负定的要求是很严格的，若条件不满足，那么结论就不成立，比如对于二元函数(,)z f x y =在点0
(,)x y 处如果0()
f x H u v
v w
=
是不定的，即20uw v -<那么可以断定函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处不取得极值；但如果
0()f x H u v v w
=
是半正定的即2
0uw v -=，那么此方法就不能判断极值的存在性了。

对于三元函数及更多元的函数()f x ，即使在0
x 点的Hessian 方阵0()f x H 是不定的也不能判定
()f x 在0x 点就不取得极值，如例1。

因此这就要求我们去寻求更好的判别普通极值存在的
方法。

判别条件极值的存在性时，条件约束也很强当2,1
(,)n t
l k k l F b x x λ+=⎛⎫
∂
⎪∂∂⎝⎭
不定时并不能判
定其极值是否存在如例2。

求条件极值在实际的生活运用中有很大的价值，因此要求我们更
进一步的去研究判别条件极值存在的方法。

参考文献：
[1] 华师大数学系《数学分析》华师大第3版；
[2] 林源渠《数学分析》北大2003年版；
[3] 北大数学系几何与代数教研室代数小组《高等代数》北大；
[4]《高等代数》科大版；
[5] 陈怀琴《利用二次型判别多元函数的极值》吉安师专学院第18卷第六期；
[6] 杨文杰，孙静《多元函数的极值问题》辽宁工学院学报第24卷第1期；
[7] 秦桂香，高纯一《n元函数极值的探讨》数学理论与应用第23卷第4期；
[8] 李玲《关于多元函数极值问题的注记》重庆职业技术学院学报第15卷第2期；
[9] 李辉《二次型条件正定与条件负定新判据》沈阳工业大学学报第22卷第5期。

致谢
本文的研究及工作是在优秀导师项明寅副教授的关怀和悉心指导下完成的。

在三年多的求学生涯中，导师以其严谨、求实的治学态度，敏锐深邃的洞察力，高度的责任心和敬业精神，平易近人的工作作风，一直深深地影响和激励着我，使我在学习上和生活上受益匪浅。

感谢汪宏建副教授在学习和工作中的教导和支持，从他身上我获得了许多宝贵的知识和经验，同时也学到了更多为人处事的道理和做科研的一种执着精神。

在课题的研究过程中，得到了王同学的帮助，支持和指点，在此表示衷心的感谢。

最后衷心的感谢对我寄予厚望、又给予我无限关怀的父母，在此论文脱稿之际，向含辛茹苦在背后支持我的父母表示由衷的感谢和崇高的敬意。