辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高二上学期第一次阶段考试数学(理)试题

2014—2015学年度上学期第一阶段考试高二数学科（理科）试卷
答题时间：120分钟满分：150分
命题人：高二数学备课组使用时间：10月15日
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.平面内有一长度为4的线段，动点满足，则的取值范围是
A．B. C. D.
2.以下命题正确的个数为
①命题“若”的否命题为“若”；
②命题“若则”的逆命题为真命题；
③命题“”的否定是“”；
④“”是“”的充分不必要条件.
A．1 B.2 C.3 D.4
3.设为坐标原点，点坐标为，若满足不等式组：，则的最大值为
A. 12
B. 8
C. 6
D. 4
4．已知命题p：x∈R，使sin x=；命题q：x∈R，都有x2+x+1>0.给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题；④命题“”是假命题；其中正确的是
A．②③B．②④C．③④D．①②③
5.方程表示椭圆，则的取值范围
A. B.
C. D.
6. a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1<0和a2x2＋b2x＋c2<0的解集分别为集合M和N，那么“”是“M＝N”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
7.各项均为实数的等比数列{a n }前n项之和记为,若, , 则等于
A．150 B．-200 C．150或-200 D．-50或400
8. 已知x,不等式恒成立,则实数a的取值范围为
A．B．C．D．
9. 给定正整数按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第行）只有一个数.例如时数表如图所示，则当时最后一行的数是
A．B．C．D．
10. 设等差数列｛｝{ }的前n 项和为，，若，则=
A. B. C. D.
11.设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是
A. B. C. D.
12.已知为正实数，则的最大值为
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为
14.设数列满足，
则.
15.已知正数满足，则最小值是______
16.已知在平面直角坐标系下，点分别为轴和轴上的两个动点，满足，点为线段的中点，已知点，，则的最小值为______
三、解答题:本大题共6小题，共70分.
17.(本小题满分10分)
设有两个命题：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；函数f(x)＝－(4－2a)x在(－∞，＋∞)上是减函数．若命题为真，为假，则实数a的取值范围是多少？
18.（本小题满分12分）
已知数列的前n项和．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设为数列的前n项和，求
19.（本小题满分12分）
在中，.
(Ⅰ)求重心G的轨迹方程
(Ⅱ)设P为（1）中所求轨迹上任意一点，求的最小值.
20.（本小题满分12分）
东北大学软件园新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏。

为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）。

该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一翻（即增加1倍），游戏规定：闯关者须在闯关前任选一种奖励方案。

（1）设闯过n关关后三种奖励方案获得的货币依次为试分别求出的表达式；
（2）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应该如何选择奖励方案。

21.（本小题满分12分）
数列中，已知，时，．数列满足：．
（Ⅰ）证明：为等差数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，说明理由．
22.（本小题满分12分）
已知椭圆，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过的椭圆的右焦点任作一条斜率为（）的直线交椭圆于A，B两点，问在右侧是否
存在一点D，连AD、BD分别交直线于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好过，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
2014—2015学年度上学期第一阶段考试高二数学科（理科）试卷
答题时间：120分钟满分：150分
命题人：高二数学备课组使用时间：10月15日
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.平面内有一长度为4的线段，动点满足，则的取值范围是（A）
A．B. C. D.
2.以下命题正确的个数为C
①命题“若”的否命题为“若”；
②命题“若则”的逆命题为真命题；
③命题“”的否定是“”；
④“”是“”的充分不必要条件.
A.1
B.2
C.3
D.4
3.设为坐标原点，点坐标为，若满足不等式组：，则的最大值为A
A. 12
B. 8
C. 6
D. 4
4．已知命题p：x∈R，使sin x=；命题q：x∈R，都有x2+x+1>0.
给出下列结论：
①命题“”是真命题③命题“”是真命题；
②命题“”是假命题④命题“”是假命题
其中正确的是C
B．②③B．②④C．③④D．①②③
5.方程表示椭圆，则的取值范围（D）
A. B.
C. D.
6. a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1<0和a2x2＋b2x＋c2<0的解集分别为集合M和N，那么“”是“M＝N”( D )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
7.各项均为实数的等比数列{a n}前n项之和记为S n,若S10 =10, S30 =70, 则S40等于( A )
A．150 B．-200 C．150或-200 D．-50或400
8.已知x,不等式恒成立,则实数a的取值范围为（C ）
A B C D
9. 给定正整数按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数，在下面一行的每相邻两个
数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数
（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第行）只
有一个数.例如时数表如图所示，则当时最后一行的数是
C
A. B.
C. D.
10. 设等差数列｛｝{ }的前n 项和为，，若 ，则 = B
A. B. C. D.
11.设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是 A
A. B. C. D.
13.已知为正实数，则的最大值为（ B ）
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为
14. 设数列满足，
则 .8052
15. 已知正数满足，则最小值是______
16. 已知在平面直角坐标系下，点分别为轴和轴上的两个动点，满足，点为线段的中点，已知点，，则的最小值为______
三、解答题:本大题共6小题，共70分.
17.(本小题满分10分)
设有两个命题：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；函数f (x )＝－(4－2a )x 在(－∞，＋∞)上是减函数．若命题为真，为假，则实数a 的取值范围是多少？
[解析] 记命题p ：A ＝{a |x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立}，
命题q ：B ＝{a |f (x )＝－(4－2a )x 在(－∞，＋∞)上是减函数}，
则A ＝{a |－2<a <2}，B ＝{a |a <32
}， ∵p 与q 中仅有一个为真命题，
∴命题p 真且命题q 假或命题p 假且命题q 真，
∴原题转化为求(A ∩∁R B )∪(∁R A ∩B )，
∵∁R A ＝{a |a ≥2或a ≤－2}，
∁R B ＝{a |a ≥32
}， ∴A ∩∁R B ＝{a |32
≤a <2}， ∁R A ∩B ＝{a |a ≤－2}，
18.（本小题满分12分）
已知数列的前n项和．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设为数列的前n项和，求
解：(Ⅰ)∵，∴．
当时，，，于是；令，则数列是首项、公差为的等差数列，；
∴．
(Ⅱ) ∵，
∴，
记①，则②，
①-②有，
∴．
故
19.（本小题满分12分）
在中，.
(Ⅰ)求重心G的轨迹方程
(Ⅱ)设P为（1）中所求轨迹上任意一点，求的最小值.
答案：(Ⅰ) (Ⅱ)
20.（本小题满分12分）
东北大学软件园新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏。

为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）。

该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一翻（即增加1倍），游戏规定：闯关者须在闯关前任选一种奖励方案。

（3）设闯过n关关后三种奖励方案获得的货币依次为试分别求出的表达式；
（4）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应该如何选择奖励方案。

答案：(Ⅰ)
(Ⅱ)如果能穿过第10关，选择第三种方案；如果不能，选择第一种方案
21.（本小题满分12分）
数列中，已知，时，．数列满足：．
（Ⅰ）证明：为等差数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得
成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，说明理由．
解：(Ⅰ)方法1：由时，得，
两边同时乘以得，，即时，
故是公差为的等差数列．又，所以．
方法2：时，，代入整理得，故是公差为的等差数列．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，故，所以
则
因为，得
当时，；当时，
综上，存在符合条件的所有有序实数对为：．
22.（本小题满分12分）
已知椭圆，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过的椭圆的右焦点任作一条斜率为（）的直线交椭圆于A，B两点，问在右侧是否存在一点D，连AD、BD分别交直线于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好过，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由椭圆，离心率为，易知=5，椭圆的方程为或
…………………………………4分
（2）存在，理由如下：由题知，设AB的方程为。

设，由
得
，；----------------------6分
设，由M、A、D共线，，同理……………8分
又由已知得得
，
即有
整理得＞3，…………12分。