配套K12高三数学上学期期中模拟试卷(一)(含解析)

2015-2016学年江苏省南京市金陵中学河西分校高三（上）期中数学模拟试卷
（一）
一、填空题：.
1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=．
2．命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为．
3．若幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），则a= ．
4．若，均为单位向量，且⊥（﹣2），则，的夹角大小为．
5．若函数f（x）=是奇函数，则m= ．
6．已知点P是函数f（x）=cosx（0≤x≤）图象上一点，则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率的最小值为．
7．在等差数列{a n}中，S n是其前n项和，若S7=S5+4，则S9﹣S3= ．
8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=4，b=3，A=2B，则sinB= ．
9．已知函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，]上为增函数，且图象关于点（3π，0）对称，则ω的取值集合为．
10．如图：梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若•=﹣12，则•= ．
11．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，M为BC中点，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=DB，AE=3EC，若∠DME=90°，则cosA= ．
12．若函数f（x）=x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．
13．在四边形ABCD中， ==（1，1），，则四边形ABCD的面积
是．
14．已知函数f（x）=，若命题“∃t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题，则正实数k的取值范围是．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知函数f（x）=sinωx+acosωx满足f（0）=，且f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为π．（1）求a与ω的值；
（2）若f（a）=1，a∈（﹣，），求cos（a﹣）的值．
16．设函数y=lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为A，函数y=，x∈（0，m）的值域为B．
（1）当m=2时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
17．设△ABC的面积为S，且2S+•=0
（1）求角A的大小；
（2）若||=，且角B不是最小角，求S的取值范围．
18．如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD，其中AB、CD、DA都是线段，曲线段BC是抛物线的一部分，且点B是该抛物线的顶点，BA所在直线是该抛物线的对称轴，经测量，AB=2米，AD=3米，AB⊥AD，点C到AD、AB的距离CH、CR的长均为1米，现要用这块边角料截一个矩形AEFG（其中点F在曲线段BC或线段CD上，点E在线段AD上，点G在线段AB上）．设BG的长为x米，矩形AEFG的面积为S平方米．
（1）将S表示为x的函数；
（2）当x为多少米时，S取得最大值，最大值是多少？
19．已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣．
（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若x∈（0，1]， f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值．
20．已知函数f（x）=e x，g（x）=x﹣m，m∈R．
（1）若曲线y=f（x）与直线y=g（x）相切，求实数m的值；
（2）记h（x）=f（x）•g（x），求h（x）在[0，1]上的最大值；
（3）当m=0时，试比较e f（x﹣2）与g（x）的大小．
2015-2016学年江苏省南京市金陵中学河西分校高三（上）期中数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、填空题：.
1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B={﹣1，0，1} ．
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】A∪B={x|x∈A或x∈B}．
【解答】解：A∪B={﹣1，0，1}．
故答案为：{﹣1，0，1}．
【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．
2．命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为若a≤b，则2a≤2b．
【考点】四种命题．
【专题】综合题．
【分析】根据原命题与否命题的关系，可知若原命题为：若p，则q，否命题为：若┐p，则┐q，易得答案．【解答】解：根据否命题的定义：
若原命题为：若p，则q，否命题为：若┐p，则┐q．
∵原命题为“若a＞b，则2a＞2b”
∴否命题为：若a≤b，则2a≤2b
故答案为：若a≤b，则2a≤2b．
【点评】本题考查的知识点是四种命题，解题的关键是掌握四种命题之间的关系．若原命题为：若p，则q，逆命题为：若q，则p；否命题为：若┐p，则┐q；逆否命题为：若┐q，则┐p．
3．若幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），则a= ．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由于幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），可得，解出即可．
【解答】解：∵幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），
∴，∴ =2a，
∴a=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了幂函数的性质、指数的运算性质，属于基础题．
4．若，均为单位向量，且⊥（﹣2），则，的夹角大小为．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】平面向量及应用．
【分析】先根据另个向量垂直以及其为单位向量得到cosθ=﹣即可求出两个向量的夹角．
【解答】解：∵，均为单位向量，且⊥（﹣2），
∴=﹣2=0，
即1﹣2×1×1×cosθ=0，⇒cosθ=⇒θ=．
故答案为．
【点评】本题主要考查用数量积表示两个向量的夹角．解决此类问题的根据熟练掌握两个向量的数量积运算，以及两向量的夹角公式．
5．若函数f（x）=是奇函数，则m= 2 ．
【考点】有理数指数幂的运算性质；函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用奇函数的性质即可得出．
【解答】解：∵函数f（x）=是奇函数，
∴f（﹣x）+f（x）=+=0，
化为（m﹣2）（2x﹣1）=0，
∵上式恒成立，∴m﹣2=0，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了奇函数的性质，属于基础题．
6．已知点P是函数f（x）=cosx（0≤x≤）图象上一点，则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率的最小
值为﹣．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；导数的概念及应用；三角函数的求值．
【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由正弦函数的单调性，即可求得范围．
【解答】解：函数f（x）=cosx的导数f′（x）=﹣sinx，
设P（m，cosm），则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率为f′（m）=﹣sinm，
由于0≤m≤，则0≤sinm≤，
则﹣≤﹣sinm≤0，
则在点P处的切线斜率的最小值为﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查运用三角函数的性质求切线的斜率的范围，考查运算能力，属于中档题．
7．在等差数列{a n}中，S n是其前n项和，若S7=S5+4，则S9﹣S3= 12 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列的性质得：S5﹣S3，S7﹣S5，S9﹣S7仍然构成等差数列，然后利用等差中项的概念结合已知得答案．
【解答】解：在等差数列{a n}中，由等差数列的性质得：S5﹣S3，S7﹣S5，S9﹣S7仍然构成等差数列，
则S9﹣S7+S5﹣S3=2（S7﹣S5）=8，
∴S9﹣S3=8+（S7﹣S5）=8+4=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．
8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=4，b=3，A=2B，则sinB= ．
【考点】正弦定理的应用．
【专题】解三角形．
【分析】由正弦定理可得，且sinA=sin2B=2sinBcosB，故可求sinB．
【解答】解：A=2B⇒sinA=sin2B=2sinBcosB
由正弦定理知⇒cosB=
sinB==
故答案为：．
【点评】本题主要考察了正弦定理的应用，属于基础题．
9．已知函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，]上为增函数，且图象关于点（3π，0）对称，则ω的取
值集合为{，，1} ．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件可得，k∈Z，由此求得ω的取值集合．
【解答】解：由题意知，，即，其中 k∈Z，
故有ω=、或ω=、或ω=1，
故答案为：{，，1}．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性），三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等，属于中档题．
10．如图：梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若•=﹣12，则•= 0 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】首先，设，为基底，然后，根据•=﹣12，得到∠BAD=60°然后根据数量积的运算求解即可．
【解答】解：以，为基底，则=+， =﹣，
则=﹣
=4﹣8cos∠BAD﹣12
=﹣12，
∴cos∠BAD=，则∠BAD=60°，
则=
=
=
=4﹣4=0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．
11．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，M为BC中点，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=DB，AE=3EC，若
∠DME=90°，则cosA= ．
【考点】余弦定理的应用．
【专题】综合题；平面向量及应用．
【分析】建立如图所示的坐标系，设C（a，0），A（0，b），确定a，b的关系，再利用向量的夹角公式，即可求得结论．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，设C（a，0），A（0，b），则D（﹣，），E（， b），
∴=（﹣，），=（， b），
∵∠DME=90°，
∴•=0，
∴（﹣，）•（， b）=0，
∴﹣+=0
∴
∵=（﹣，﹣），=（，﹣ b），
∴cosA==．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的夹角公式，考查坐标化的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．若函数f（x）=x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣4，0] ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先通过讨论x的范围，将f（x）写出分段函数的形式，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．
【解答】解：解：f（x）=x2+a|x﹣2|=，
要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，
则：，解得﹣4≤a≤0；
∴实数a的取值范围是[﹣4，0]．
故答案为：[﹣4，0]．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了分段函数问题，是一道中档题．
13．在四边形ABCD中， ==（1，1），，则四边形ABCD的面积是．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据题意知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，再由向量数量积
运算的应用可得和，最终可得四边形ABCD的面积
【解答】解：由题，可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边
形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，
所以cos∠BAD==﹣，
故sin∠BAD=，S ABCD=（）2×=．
故答案为：．
【点评】本小题考查向量的几何运算，基础题．
14．已知函数f（x）=，若命题“∃t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是
假命题，则正实数k的取值范围是（，1] ．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由x＜1时函数的单调性，画出函数f（x）的图象，把命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题转化为“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，作出直线y=kx，设直线与y=lnx （x≥1）图象相切于点（m，lnm），求出切点和斜率，设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切于点（0，0），得切线斜率k=1，由图象观察得出k的取值范围．
【解答】解：当x＜1时，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，
当x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函数；
当0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在区间（0，）上是减函数，
在（，1）上是增函数；
画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；
命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命题，
即为任意t∈R，且t≠0时，使得f（t）＜kt恒成立；
作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），
则由（lnx）′=，得k=，
即lnm=km，解得m=e，k=；
设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）的图象相切于点（0，0），
∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），则有k=1，
由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x≥1）图象相切，
以及与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，
∴k的取值范围是（，1]．
故答案为：（，1]．
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了存在性命题与全称性命题的互相转化问题以及不等式恒成立的问题，是较难的题目．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知函数f（x）=sinωx+acosωx满足f（0）=，且f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为π．（1）求a与ω的值；
（2）若f（a）=1，a∈（﹣，），求cos（a﹣）的值．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；运用诱导公式化简求值．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由f（0）=，即可解得a=，f（x）=2sin（）且T=2π=，故可解得ω=1；
（2）先求出α的值，代入即可求出cos（）的值．
【解答】解：（1）∵f（0）=，∴sin0+acos0=，解得a=，
∴f（x）=sinωx+cosωx=2sin（），
∵f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为π．
∴T=2π=，∴ω=1．
（2）∵f（α）=1，∴sin（）=，
∵α∈（﹣，），∴∈（﹣，），∴=，即有，
∴cos（）=cos=cos（）=cos cos﹣sin sin=．
【点评】本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考察了运用诱导公式化简求值，属于中档题．
16．设函数y=lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为A，函数y=，x∈（0，m）的值域为B．
（1）当m=2时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的定义域．
【专题】简易逻辑．
【分析】（1）先求出A=（1，3），再求出B=（，2），取交集即可；（2）根据：“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得不等式解出即可．
【解答】解：（1）由﹣x2+4x﹣3＞0，解得：1＜x＜3，∴A=（1，3），
又函数y=在区间（0，m）上单调递减，
∴y∈（，2），即B=（，2），
当m=2时，B=（，2），∴A∩B=（1，2）；
（2）首先要求m＞0，
而“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
∴B⊊A，即（，2）⊊（1，3），
从而≥1，解得：0＜m≤1．
【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．
17．设△ABC的面积为S，且2S+•=0
（1）求角A的大小；
（2）若||=，且角B不是最小角，求S的取值范围．
【考点】余弦定理的应用．
【专题】解三角形．
【分析】（1）化简可得sinA+cosA=0，从而有tanA=﹣，即可求角A的大小；
（2）由已知和正弦定理得b=2sinB，c=2sinC，故S=sin（2B+）﹣，又2B+∈（，）即可求得S∈（0，）．
【解答】解：（1）设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c由2S+，
得2×，即有sinA+cosA=0，
所以tanA=﹣，
又A∈（0，π），所以A=．
（2）因为||=，所以a=，由正弦定理，得，
所以b=2sinB，c=2sinC，
从而S=bcsinA=sinBsinC=sinBsin（）
=sinB（cosB﹣sinB）=（sin2B﹣）=sin（2B+）﹣
又B∈（，），2B+∈（，），所以S∈（0，）
【点评】本题主要考察了余弦定理的综合应用，属于中档题．
18．如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD，其中AB、CD、DA都是线段，曲线段BC是抛物线的一部分，且点B是该抛物线的顶点，BA所在直线是该抛物线的对称轴，经测量，AB=2米，AD=3米，AB⊥AD，点C到AD、
AB的距离CH、CR的长均为1米，现要用这块边角料截一个矩形AEFG（其中点F在曲线段BC或线段CD上，点E在线段AD上，点G在线段AB上）．设BG的长为x米，矩形AEFG的面积为S平方米．
（1）将S表示为x的函数；
（2）当x为多少米时，S取得最大值，最大值是多少？
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）由题意先根据已知条件建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，然后将C点坐标给出来，代入方程求出p的值，然后分两段表示出S的值．
（2）按照分段函数求最值的方法，在两段上分别求出其最大值，然后大中取大，注意前一段利用导数研究单调性后求最值．后一段是二次函数的最值问题．
【解答】解：（1）以点B为坐标原点，BA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设曲线段BC所在抛物线方程为y2=2px（p＞0）．
将点C（1，1）代入，得2p=1．所以曲线段BC的方程为y=（0≤x≤1）．
又由点C（1，1），D（2，3）得线段CD的方程为y=2x﹣1（1≤x≤2），
而GA=2﹣x，所以，
（2）①当0＜x≤1时，因为，
所以，令S′=0得．
当时，S′＞0，所以此时S递增；
当时，S′＜0，所以此时S递减，所以当时，．
②当1＜x＜2时，因为．
所以当x=时，．
综上，因为，所以当米时，．
答：当x取值为米时，矩形AEFG的面积最大为．
【点评】本题充分考查了分段函数的应用性问题，要注意抓住题目中的等量关系列出函数表达式，然后分两段研究其最值．
19．已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣．
（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若x∈（0，1]， f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值．
【考点】指数函数单调性的应用；函数的值域；二次函数在闭区间上的最值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）利用函数的奇偶性、指数函数的单调性求出函数f（x）在[0，1]上的值域．
（2）根据f（x）的范围，利用条件以及二次函数的性质，分类讨论求得实数λ的值．
【解答】解：（1）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0）时，所以f（﹣x）=﹣=﹣2x．
又因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣x）=﹣f（x），
所以当x∈（0，1]时，f（x）=﹣f（﹣x）=2x，所以f（x）∈（1，2]，
又f（0）=0．
所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．
（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，
所以f（x）∈（，1]．
令t=f（x），则＜t≤1，
g（t）=f2（x）﹣f（x）+1=t2﹣λt+1=+1﹣，
①当≤，即λ≤1时，g（t）＞g（），无最小值，
②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g（t）min=g（）=1﹣=﹣2，
解得λ=±2（舍去）．
③当＞1，即λ＞2时，g（t）min=g（1）=﹣2，解得λ=4，
综上所述，λ=4．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．
20．已知函数f（x）=e x，g（x）=x﹣m，m∈R．
（1）若曲线y=f（x）与直线y=g（x）相切，求实数m的值；
（2）记h（x）=f（x）•g（x），求h（x）在[0，1]上的最大值；
（3）当m=0时，试比较e f（x﹣2）与g（x）的大小．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；
（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m的讨论；
（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．
【解答】解：（1）设曲线f（x）=e x与g（x）=x﹣m相切于点P（x0，y0），由f′（x）=e x，知e=1解得x0=0．又可求得P为（0，1），所以代入g（x）=x﹣m，解得m=﹣1．
（2）因为h（x）=（x﹣m）e x，所以h′（x）=e x+（x﹣m）e x=（x﹣（m﹣1））e x，x∈[0，1]．
①当m﹣1≤0，即m≤1时，h′（x）≥0，此时h（x）在[0，1]上单调递增，所以h（x）max=h（1）=（1﹣m）e；
②当0＜m﹣1＜1，即1＜m＜2时，当x∈（0，m﹣1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（m﹣1，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（0）=﹣m，h（1）=（1﹣m）e．
（i）当﹣m≥（1﹣m）e，即时，h（x）max=h（0）=﹣m．
（ii）当﹣m＜（1﹣m）e，即时，h（x）max=h（1）=（1﹣m）e．
③当m﹣1≥1，即m≥2时，h′（x）≤0，此时h（x）在[0，1]上单调递减，所以h（x）max=h（0）=﹣m．
综上，当m时，h（x）max=（1﹣m）e；当m时，h（x）max=﹣m．
（3）当m=0时，，g（x）=x．
①当x≤0时，显然e f（x﹣2）＞g（x）；
②当x＞0时， =e x﹣2．lng（x）=lnx．
记函数，则=，可知ω′（x）在（0，+∞）上递增，
又由ω′（1）＜0，ω′（2）＞0知：ω′（x）=0在（0，+∞）上有唯一实根x0，且1＜x0＜2，
则，即，
当x∈（0，x0）时ω′（x）＜0，ω（x）递减；当x∈（x0，+∞）时，ω′（x）＞0，ω（x）单调递增．
所以，结合（*）式，，知x0﹣2=﹣lnx0，
所以=，
则ω（x）=e x﹣2﹣lnx＞0，即e x﹣2＞lnx，所以，
综上e f（x﹣2）＞g（x）．
【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路，当比较两个函数大小的时候，就转化为两个函数的差的单调性，进一步确定最值确定符号比较大小．。